□ 胡佳萍 韋 丹

《圓的認識》是一節(jié)概念課，這節(jié)課中涉及的概念比較多。教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)后能否主動建立起這些概念之間的聯(lián)系。指向理解進階的概念構(gòu)圖教學(xué)，可以充分把原本不可見的學(xué)生的理解狀態(tài)、思考路徑、思維方法呈現(xiàn)出來，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，幫助他們形成新的認知結(jié)構(gòu)?；谏鲜鏊伎?，我們設(shè)計了如下教學(xué)路徑（如圖1）。

圖1

一、自學(xué)教材，初學(xué)構(gòu)圖，呈現(xiàn)經(jīng)驗性理解

學(xué)生通過自學(xué)，對“圓”會形成一種個性化的理解，有了初步的認識。這時可請學(xué)生基于經(jīng)驗性理解進行初步概念構(gòu)圖。教師分析這些作品，按“概念缺失化呈現(xiàn)”“概念零散化呈現(xiàn)”“部分概念聯(lián)結(jié)化呈現(xiàn)”這三種情況進行分類整理（如表1）。

表1 學(xué)生經(jīng)驗性理解的不同類型

續(xù)表

從表1可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的概念理解水平呈現(xiàn)散點形態(tài)，缺乏內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解。由此確定本節(jié)課的重點：借助概念構(gòu)圖幫助學(xué)生建立概念聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的概念理解層次。

二、借助材料，互學(xué)論圖，形成衍生性理解

在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，針對性地設(shè)計了兩個活動。一是畫圓操作，促進學(xué)生理解概念之間的關(guān)系；二是比較史料，揭示圓的本質(zhì)。這兩個活動能幫助學(xué)生逐步感悟圓的本質(zhì)，達到“明晰聯(lián)系、抽象本質(zhì)”的目標。

（一）操作中明晰聯(lián)系

師：每位同學(xué)都準備了圓規(guī)，你能用圓規(guī)在紙上畫一個圓嗎？你能在圓中標出一條半徑和一條直徑嗎？大家先自己試試看。

（學(xué)生動手操作）

生：我按牢針尖，旋轉(zhuǎn)鉛筆就畫出了一個圓。圓心到圓上的距離就是一條半徑，再延伸下去就是一條直徑。

生：我先確定一個點作為圓心，再把圓規(guī)兩腳間的距離作為半徑，針尖不動，鉛筆旋轉(zhuǎn)一圈。直徑是兩端都在圓上的，所以穿過圓心再畫一條線段就是直徑。

師（小結(jié)）：連接圓心和圓上任意一點的線段叫作半徑，一般用字母r表示；通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作直徑，一般用字母d表示。

師：剛才同學(xué)們介紹的畫圓方法，有什么相同的地方？

生：都是繞著圓心畫一條曲線。

生：曲線離圓心的距離不能變（也就是曲線上的點離圓心的距離不能變）。

師（小結(jié)）：圓上任意一點到圓心的距離都不變。

師：你還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：半徑可以畫無數(shù)條，同一個圓里半徑都相等。

生：一條直徑由兩條半徑組成，所以直徑是半徑的2倍。

生：圓規(guī)兩腳間的距離越大畫出的圓越大，圓規(guī)兩腳間的距離越小畫出的圓越小，因此半徑?jīng)Q定圓的大小。

生：圓心的位置不同，圓的位置就不同，因此圓心決定圓的位置。

師（小結(jié)）：通過剛才的活動和討論，我們知道了因為圓心決定圓的位置，所以在畫圓時針尖不能動；因為半徑?jīng)Q定圓的大小，所以畫圓時圓規(guī)兩腳間的距離不能變。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)交流，你對原來的構(gòu)圖有什么修改或補充？

生：我把圖（如圖2）畫得太簡單了，我可以再補充直徑、半徑和圓心的字母式以及它們的特征。

圖2

生：在我的圖（如圖3）中，我把書本上講到的所有知識都像一個圓圈一樣發(fā)散開。自己動手畫圓之后，我發(fā)現(xiàn)圓心決定位置，半徑和直徑?jīng)Q定圓的大小，因此我會再調(diào)整這個概念圖的位置和順序。

圖3

生：通過自學(xué)書本，我知道了圓心、半徑和直徑分別用什么字母表示，通過畫圓，我了解了這三者的數(shù)量以及它們的特征，接下去我會對作品（如圖4）做一些修改，把概念間的關(guān)系表達得更加清晰。

圖4

借助畫圓的過程，學(xué)生完善了腦海中缺失的概念，深刻體會到各概念之間的關(guān)系，讓概念構(gòu)圖從“原來的零散概念”走向了“概念之間的聯(lián)結(jié)”。例如，從“半徑”這個概念走向“半徑的定義（半徑是連接圓心和圓上任意一點的線段）”“半徑的特征（半徑有無數(shù)條，并且半徑?jīng)Q定圓的大?。薄鞍霃脚c直徑的關(guān)系（在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍）”。學(xué)生自主修正和完善概念之間關(guān)系的過程，就是慢慢走向深度理解的過程。

同時，在這個過程中，學(xué)生也更加深刻地感悟到“圓是一條曲線”的本質(zhì)屬性，明白“定點”和“定長”是圓的特別之處。但這時讓學(xué)生來描述什么是圓，無疑是較煩瑣的或者是不精準的，因此，引入史料進行對比學(xué)習(xí)是幫助學(xué)生建立知識聯(lián)結(jié)的助推器。

（二）比較中抽象本質(zhì)

教師呈現(xiàn)我國古代名著《墨經(jīng)》中的這樣一句話：圓，一中同長也。

師：怎么理解這句話呢？

生：一中指的是“一個圓心”，同長指的是“半徑有無數(shù)條且相等”和“直徑有無數(shù)條且都相等”。

生：其實用圓規(guī)畫圓也是遵循“一中同長”的原理，一中指的是針尖，同長指的是圓規(guī)兩腳間叉開的距離都相等。

生：圓是一條曲線，曲線上的每一個點與圓心都保持相等的長度。

師：把《墨經(jīng)》中的“圓，一中同長也”放到我們的概念圖里，可以嗎？你會怎么完善概念圖？

對史料的解讀和比較，可以讓學(xué)生更深刻地體會到圓的本質(zhì)，即圓是一條“一中同長”的曲線。由此學(xué)生將用圓規(guī)畫圓的動作、圓的三要素特征、《墨經(jīng)》中“一中同長”這三種不同的表征方式有效關(guān)聯(lián)起來，形成豐富、深入、抽象的概念理解。

三、把握整體，合學(xué)正圖，完善結(jié)構(gòu)化理解

學(xué)生在弄清了各概念之間的聯(lián)系、明晰了圓的本質(zhì)后，依舊不一定能將其理解清晰、有序地表示出來。這時，教學(xué)進入“合學(xué)正圖”階段，即讓學(xué)生通過討論、合作等方式來完善理解，對已有概念圖進行修正或重構(gòu)，如補充、關(guān)聯(lián)、提煉等。學(xué)生在這個過程中會呈現(xiàn)出不同的理解成果，不斷地深化理解。

師：現(xiàn)在請你帶著自己的理解與小組成員一起討論如何修改概念圖。可以在原來構(gòu)圖的基礎(chǔ)上修改，也可以重新構(gòu)圖。

（小組討論后合作構(gòu)圖）

生：我來解釋一下我們小組的作品（如圖5）。我們認為圓有圓心、半徑和直徑三要素，所以把這三者放在圓的后面，加上連接詞就能把這些概念之間的關(guān)系說得更清楚了。它們都有自己的特征，如圓心用字母O表示，只有1 個，它決定圓的位置。半徑和直徑也有自己的特點。

圖5

生：我們組認為應(yīng)該把“直徑”和“半徑”放在同一邊，“圓心”放在另一邊（如圖6）。因為它們的特點完全不同，也沒有聯(lián)系。同時，把無數(shù)條且都相等和半徑、直徑?jīng)Q定圓的大小這兩個共同特征，放在“直徑”和“半徑”這一邊。

圖6

生：聽了前面同學(xué)的討論，我認為在構(gòu)圖的過程中還可以增加一些東西，比如直徑與半徑的聯(lián)系、畫圓的方法等。我還想到，圓心是直徑的中點，也是半徑的端點，因此還可以繼續(xù)深挖這些概念間的聯(lián)系。

“正圖”這個動態(tài)修正的過程可以促使學(xué)生不斷自主學(xué)習(xí)、深入思考、求聯(lián)求通。概念構(gòu)圖以圖促思，其實質(zhì)是把理解外化，這有利于學(xué)生完善認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展元認知，形成具有一定層級關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)理解。

四、聯(lián)系生活，拓學(xué)用圖，促進抽象性理解

拓學(xué)用圖是學(xué)生在理解了圓的本質(zhì)、形成了結(jié)構(gòu)化理解之后，檢驗自己能否自覺運用這些理解來解釋生活中的現(xiàn)象或概念的過程，是教學(xué)時不可忽視的環(huán)節(jié)。在此環(huán)節(jié)中設(shè)計了兩個研究任務(wù)（如圖7），以幫助學(xué)生應(yīng)用和拓展，進一步強化理解，從而形成抽象、精練的認知。

圖7

師：我們先來看任務(wù)1，你能解釋它們?yōu)槭裁炊际菆A的嗎？

生：圓形車輪滾動時，車軸離地面的距離始終相等，更平穩(wěn)。

生：圍著圓桌吃火鍋，所有人與火鍋的距離都相等，更方便。

生：圍成圓形的套圈游戲，所有人離紅旗的距離都相等，更公平。

師：這些現(xiàn)象中體現(xiàn)了圓的什么知識？

生：同一個圓里所有的半徑都相等。

生：圓上任意一點到圓心的距離都相等。

師：我們再來看任務(wù)2，“生活中我們經(jīng)常這樣描述圓”，你覺得這些描述都準確嗎？

生：硬幣的形狀或者說輪廓是圓的。

生：沒有角的圖形不一定是圓。

生：前面我們已經(jīng)學(xué)過，圓的本質(zhì)是一條“一中同長”的曲線，在概念構(gòu)圖上也清晰地體現(xiàn)了這一點，而球是立體圖形，所以不能說球是圓形的。

師：通過剛才的研究，你能根據(jù)自己的收獲進一步修改構(gòu)圖嗎？

（學(xué)生第三次修改構(gòu)圖，教師呈現(xiàn)學(xué)生作品，如圖8和圖9）

圖9

以上，學(xué)生借助解釋和應(yīng)用的過程，深化對圓的本質(zhì)的理解，以完善知識結(jié)構(gòu)。在這個過程中，思辨貫穿始終，突出體現(xiàn)了學(xué)以致用和以用促學(xué)的教學(xué)理念，學(xué)生在概念理解和數(shù)學(xué)思維方面都得到了很好的發(fā)展。

總之，概念課的學(xué)習(xí)要理解概念的本質(zhì)，要重視概念間的聯(lián)結(jié)。概念構(gòu)圖很好地把學(xué)習(xí)主動權(quán)還給了學(xué)生，使學(xué)生從“被動、接受、操練”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸鲃?、探究、思辨”，讓思維可視化、概念具象化、知識結(jié)構(gòu)化。