□ 葛敏輝

面對“雙減”的目標(biāo)導(dǎo)向，我們需要不斷思考深度教學(xué)的內(nèi)涵和創(chuàng)新路徑。不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)普遍仍以結(jié)果傳遞為主，這種注重結(jié)果導(dǎo)向的教學(xué)容易導(dǎo)致學(xué)生的理解呈現(xiàn)碎片化、淺表化的狀態(tài)。讓學(xué)生經(jīng)歷“概念構(gòu)圖”的過程，可有效促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深度理解。

一、“概念構(gòu)圖”教學(xué)的內(nèi)涵解析

概念圖是美國康奈爾大學(xué)的諾瓦克教授等人創(chuàng)建的一種表征意義關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖。它包括概念、連接、層次和命題四個(gè)要素，體現(xiàn)知識的順序和關(guān)系。概念構(gòu)圖指的是讓學(xué)生圍繞一個(gè)問題（或主題），根據(jù)自己的思維邏輯，用簡要的文字、符號、連接線畫出層次明晰的概念圖的過程。這個(gè)過程是學(xué)生依據(jù)已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)對新信息進(jìn)行加工、理解、關(guān)聯(lián)、重構(gòu)的過程，是讓學(xué)生的思維可視化、知識結(jié)構(gòu)化、理解深刻化的認(rèn)知過程，也是促使學(xué)生從“單一淺表的點(diǎn)狀思維”向“整體深層的結(jié)構(gòu)化思維”轉(zhuǎn)變的過程。

在很多的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師常常因?yàn)閿?shù)學(xué)思考的隱蔽性而忽視了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思維參與，把學(xué)習(xí)的過程簡單看成線性的知識傳遞。事實(shí)上，有意義學(xué)習(xí)的心理機(jī)制是“概念同化”，即通過一定的思維活動把原有概念和新學(xué)知識建立意義關(guān)聯(lián)。因此，讓思維可見對于學(xué)生深度理解概念非常重要。通過概念構(gòu)圖教學(xué)，讓學(xué)生將不可見的思維狀態(tài)和理解過程呈現(xiàn)出來，通過“生動地畫”“直觀地看”“形象地說”“拓展地想”等學(xué)習(xí)活動，在教學(xué)活動中看見學(xué)生的思考，強(qiáng)化舊知與新知的意義對接。通過概念構(gòu)圖，學(xué)生經(jīng)歷“認(rèn)知提取—表征內(nèi)化—結(jié)構(gòu)完善—抽象應(yīng)用”的深度學(xué)習(xí)過程，主動地修正、完善和拓展自己對知識的原有理解，發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維。概念構(gòu)圖教學(xué)是實(shí)現(xiàn)從“知識灌輸”向“理解進(jìn)階”轉(zhuǎn)變，從“注重知識傳遞”向“注重素養(yǎng)提升”轉(zhuǎn)變的有效教學(xué)方式。

二、概念構(gòu)圖教學(xué)的理解層次標(biāo)準(zhǔn)

概念圖能喚醒學(xué)生大腦中的已有經(jīng)驗(yàn)和知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，因此學(xué)生在構(gòu)圖、論圖、正圖、用圖的活動中發(fā)展思維，從而優(yōu)化認(rèn)知、深化理解?！白呦蛏疃壤斫狻弊非蟮氖菍W(xué)生理解的深刻性與整體性。將概念構(gòu)圖的關(guān)鍵要素轉(zhuǎn)化為理解層次標(biāo)準(zhǔn)，并以此來促進(jìn)概念構(gòu)圖教學(xué)的有效實(shí)施，這種逆向思維的教學(xué)設(shè)計(jì)能使教學(xué)架構(gòu)從“隨意、主觀”走向“準(zhǔn)確、客觀”，理解過程從“內(nèi)隱、淺表”走向“外顯、深層”，知識建構(gòu)從“被動、零散”走向“主動、系統(tǒng)”，能切實(shí)提升學(xué)生的理解水平。

基于SOLO 分類理論（如圖1），結(jié)合概念構(gòu)圖的實(shí)質(zhì)與特點(diǎn)，我們建構(gòu)了指向深度理解的概念構(gòu)圖教學(xué)理解層次標(biāo)準(zhǔn)（見表1）。設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，遵循從具體到抽象、從低級到高級的原則，把學(xué)生對概念的理解分成五個(gè)層次：（1）不理解；（2）經(jīng)驗(yàn)性理解；（3）衍生性理解；（4）結(jié)構(gòu)化理解；（5）抽象性理解。

圖1

表1 概念構(gòu)圖教學(xué)理解層次標(biāo)準(zhǔn)

續(xù)表

五個(gè)理解層次標(biāo)準(zhǔn)將宏觀理論指導(dǎo)轉(zhuǎn)化成中觀操作實(shí)踐，可以用來思考概念構(gòu)圖教學(xué)的框架?；谶@個(gè)理解層次標(biāo)準(zhǔn)再把具體的教學(xué)內(nèi)容細(xì)化，形成微觀的教學(xué)目標(biāo)，使得概念構(gòu)圖教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)施、評估有一個(gè)具體的理解層次標(biāo)準(zhǔn)。以《小數(shù)除以整數(shù)》一課為例，根據(jù)理解層次標(biāo)準(zhǔn)把學(xué)生在計(jì)算“11.5÷5”時(shí)不同的表現(xiàn)進(jìn)行了分層描述（見表2）。

表2 “小數(shù)除以整數(shù)”理解層次及案例

續(xù)表

表2 中的不同例子分別對應(yīng)學(xué)生算理理解的四個(gè)水平。前兩個(gè)層次代表了這個(gè)階段學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，后兩個(gè)層次是理解進(jìn)階的目標(biāo)。構(gòu)建了清晰的理解層次，教師可以更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，形成可促進(jìn)學(xué)生深度理解的概念構(gòu)圖教學(xué)框架和實(shí)踐策略。

三、促進(jìn)深度理解的概念構(gòu)圖教學(xué)實(shí)踐路徑

概念構(gòu)圖教學(xué)中，讓思維可見是手段，促進(jìn)深度理解是目的。教師要把知識點(diǎn)、思維點(diǎn)、能力點(diǎn)放在概念構(gòu)圖中，以概念構(gòu)圖為載體引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)和遷移性運(yùn)用。從中凸顯知識的本質(zhì)要素，強(qiáng)化知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識的拓展與應(yīng)用，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識的深度理解和整體建構(gòu)。

如何用概念圖呈現(xiàn)學(xué)生的已知和困惑？如何在概念構(gòu)圖教學(xué)中促使理解進(jìn)階？如何以圖啟思、以圖促學(xué)？研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過多年實(shí)踐，提煉出概念構(gòu)圖教學(xué)基本操作路徑，即通過“初學(xué)構(gòu)圖—互學(xué)論圖—合學(xué)正圖—拓學(xué)用圖”四個(gè)步驟推動理解進(jìn)階。其中，初學(xué)構(gòu)圖指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)初始階段，嘗試圍繞學(xué)習(xí)主題自行用構(gòu)圖的方式呈現(xiàn)已有的認(rèn)知和疑惑?；W(xué)論圖指的是學(xué)生圍繞不同的概念圖相互進(jìn)行解釋、比較、評論，在互動對話的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)理解的衍生、改造和擴(kuò)展。合學(xué)正圖指的是學(xué)生通過討論、合作等方式來進(jìn)一步完善理解，并對已有概念圖進(jìn)行修正或重構(gòu)，以達(dá)到具有上下層級和內(nèi)在關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化理解。拓學(xué)用圖指的是學(xué)生在應(yīng)用和拓展中提煉出抽象的本質(zhì)理解，并用圖將自己的所學(xué)知識引向廣泛的問題解決，以圖來促進(jìn)運(yùn)用和遷移。在這個(gè)過程中，學(xué)生相繼經(jīng)歷“經(jīng)驗(yàn)性理解—衍生性理解—結(jié)構(gòu)化理解—抽象性理解”四個(gè)理解水平發(fā)展階段，每個(gè)階段都依托于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和思考?！案拍顦?gòu)圖學(xué)習(xí)模型”如圖2所示。

圖2

下面繼續(xù)以《小數(shù)除以整數(shù)》一課的教學(xué)為例，具體談?wù)勔愿拍顦?gòu)圖來促進(jìn)深度理解的教學(xué)實(shí)施過程。

（一）嘗試表征，喚醒經(jīng)驗(yàn)性理解

從前測中可知，學(xué)生對于“小數(shù)除以整數(shù)”已經(jīng)有豐富的經(jīng)驗(yàn)，只是這些經(jīng)驗(yàn)因人而異，留存在各自的腦海里。概念構(gòu)圖教學(xué)的第一步就是要呈現(xiàn)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生借助情境、操作、圖像、算式等把對問題的思考表示出來。

師：這里有一道小數(shù)除以整數(shù)的除法“11.5÷5”，它的結(jié)果是多少？你是怎么想的？把你的想法在練習(xí)紙上寫出來。

（學(xué)生獨(dú)立思考后，教師呈現(xiàn)學(xué)生的方法，如圖3）

圖3

師：這些方法中，你看懂了哪一種？

生：我看懂了方法①，11.5元=115角，115角÷5=23角=2.3元。

生：我看懂了方法②，先用整數(shù)除法的豎式計(jì)算出商是23，因?yàn)楸怀龜?shù)11.5擴(kuò)大了10倍，所以商要縮小到原來的

生：我看懂了方法③，先把11元平均分成5份，每份是 2 元還余下 1 元。1 元是 10 角，10 角+5 角=15角。再把15角平均分成5份，15÷5=3角。2元+3角=2元3角=2.3元。

師：誰能用老師手上的錢幣把這個(gè)過程演示一遍？

（學(xué)生一邊操作一邊講解）

生：因?yàn)椴粔蚍至耍延嘞碌?元換成10角，就可以和另外的5角合起來繼續(xù)平均分。

師：如果用圖來表示這些方法的關(guān)系，你會怎么表示？

生：我把用“元角分”計(jì)算的分為一類，用豎式計(jì)算的分為另一類（如圖4）。

圖4

生：我覺得方法①和方法②可以是一類，因?yàn)樗鼈兌挤至艘淮?。方法③要分兩次，所以單?dú)一類。

（二）解釋比較，推動衍生性理解

當(dāng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)被喚醒之后，他們會自主提取相關(guān)的知識進(jìn)行再思考、再創(chuàng)造，生成新的方法和理解。交流、分享的過程其實(shí)是實(shí)現(xiàn)表征衍生和理解深入的過程。對于大部分學(xué)生來講，他們在解釋算法的過程中有機(jī)會對現(xiàn)有知識展開聯(lián)想，生成新的知識結(jié)構(gòu)，或者進(jìn)行不同表征的轉(zhuǎn)化，形成新的認(rèn)知。這是后續(xù)建立關(guān)聯(lián)、抽象本質(zhì)的基礎(chǔ)。

師：根據(jù)剛才同學(xué)的介紹，誰還有補(bǔ)充？（學(xué)生匯報(bào)不同的想法，如圖5）

圖5

師：大家比較一下這兩種方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我覺得方法⑤就是把方法③用豎式表示出來，它們其實(shí)講的是一個(gè)道理，都是要把余下的1元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，換成10 角，再與其他的5 角合并后平均分成5份。

師：誰也想來說一說其他方法有沒有聯(lián)系呢？

……

（三）建立聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化理解

全美數(shù)學(xué)教師理事會在2000 年頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中提出5 項(xiàng)數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是其中之一。可見，形成結(jié)構(gòu)化理解不僅是促進(jìn)深度理解的必要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑。結(jié)構(gòu)化理解強(qiáng)調(diào)在知識的關(guān)系中把握其內(nèi)涵與本質(zhì)，從而形成一個(gè)整體的結(jié)構(gòu)，這比僅僅在一個(gè)知識“點(diǎn)”上進(jìn)行深入理解更進(jìn)了一步。概念構(gòu)圖教學(xué)特別強(qiáng)調(diào)比較后的關(guān)聯(lián)，學(xué)生一般會選擇用知識的邏輯序來構(gòu)圖，也會選擇根據(jù)策略的關(guān)系分析來構(gòu)圖，還會選擇通過方法的異同情況來構(gòu)圖。

師：根據(jù)剛才的討論，這些方法可以怎么整理呢？你的構(gòu)圖可以做怎樣的修改？

（小組討論。教師出示活動要求：①各自陳述自己的構(gòu)圖和想法；②形成小組的意見重構(gòu)概念圖。學(xué)生準(zhǔn)備匯報(bào)）

師（出示圖6）：有兩個(gè)小組匯報(bào)了他們的觀點(diǎn)，方法①②都是先轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，再把商縮小。方法③④⑤都是不轉(zhuǎn)化，直接計(jì)算的。

圖6

生：我們組覺得方法②是對方法①的記錄，它們都是轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法計(jì)算的。方法④⑤這兩個(gè)豎式是對方法③的記錄，它們不轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法計(jì)算（如圖7）。

圖7

師：這兩個(gè)豎式都是在記錄方法③分的過程，它們哪里不一樣？

生：一個(gè)是以0.1為計(jì)數(shù)單位繼續(xù)除，一個(gè)是以1為計(jì)數(shù)單位。

師：你覺得哪種好一些？

生：我喜歡15÷5。如果是1.5÷5，那么后面還有小數(shù)部分，每次都要把這個(gè)小數(shù)寫出來，這樣太麻煩了。

師：可以怎么用構(gòu)圖的方式來表示剛才大家的發(fā)現(xiàn)呢？

生：我覺得方法⑤可以放到方法④的后面，因?yàn)榉椒á芷鋵?shí)也是要轉(zhuǎn)化為方法⑤進(jìn)行計(jì)算的，這和分錢過程是一致的（如圖8）。

圖8

（四）拓展反思，促進(jìn)抽象性理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是學(xué)生能發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的本質(zhì)原理以及其蘊(yùn)含的深刻思想，這對于遷移和拓展有著極其重要的意義。因此，概念構(gòu)圖教學(xué)十分重視抽象和遷移，在這個(gè)過程中學(xué)生能充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行理解、應(yīng)用、拓展。

教師出示以下題目，請學(xué)生用簡便方法來計(jì)算。

①932÷4 ②34.65÷5 ③96.6÷42

（學(xué)生獨(dú)立完成，全班校對后反饋）

師：你覺得小數(shù)除法與整數(shù)除法的豎式計(jì)算有什么相同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是當(dāng)余下的數(shù)不夠平均分時(shí)，都要化成更小的計(jì)數(shù)單位再繼續(xù)除（如圖9）。

圖9

生：都在記錄計(jì)數(shù)單位數(shù)量等分的過程。

師：通過剛才的討論，你能根據(jù)收獲進(jìn)一步修改自己的構(gòu)圖嗎？

（學(xué)生完善構(gòu)圖，展示交流，如圖10）

圖10

概念構(gòu)圖教學(xué)一定要在學(xué)習(xí)目標(biāo)和理解層次的指引下，更好地發(fā)揮“一圖勝千言”“以圖識本質(zhì)”的優(yōu)勢，幫助學(xué)生不斷探索、主動思考、深度理解。

總之，概念構(gòu)圖教學(xué)是指向深度學(xué)習(xí)的一種探索，它能為學(xué)生的深度理解提供思維支架和學(xué)習(xí)路徑。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，它不僅嚴(yán)謹(jǐn)，也具結(jié)構(gòu)。借助直觀的概念構(gòu)圖實(shí)施教學(xué)，能讓學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的全過程，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，真正實(shí)現(xiàn)輕負(fù)高質(zhì)的目標(biāo)。