曹義剛 付萌萌 楊喜昶 李登峰 王曉霞

(鄭州大學(xué)物理學(xué)院,鄭州 450001)

Kelvin-Helmholtz 不穩(wěn)定性(KHI)增長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)分析是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域.本文解析研究了流體在橫截面不同的直管道中流動(dòng)時(shí),熱傳導(dǎo)對(duì)KHI 的影響.結(jié)果表明:管道中上下流體的界面相對(duì)切向速度會(huì)隨著波數(shù)的增加先增加后減小,并且小的界面熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)致相對(duì)切向速度隨波數(shù)的減小更多,不同于橫截面相同的直管道結(jié)果.另外,熱傳導(dǎo)會(huì)提高KHI 的增長(zhǎng)率,與橫截面相同的直管道一致.研究結(jié)果可以為實(shí)際管道中流體不穩(wěn)定性的分析以及管道的通風(fēng)設(shè)計(jì)和供暖等工程研究提供一定參考.

1 引言

流體不穩(wěn)定性是流體力學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題,通常發(fā)生在不同流體或者同種流體不同密度的界面.常見(jiàn)的界面不穩(wěn)定性有Reyleigh-Taylor 不穩(wěn)定性(RTI)[1,2]、Richtmyer-Meshkov 不穩(wěn)定性(RMI)[3,4]和Kelvin-Helmholz 不穩(wěn)定性(KHI)[5,6].RTI 發(fā)生在密度梯度和加速度方向相反的流體界面,當(dāng)沖擊波通過(guò)兩流體的界面時(shí)會(huì)產(chǎn)生RMI.RTI 和RMI均垂直于界面方向,而KHI 則是由平行剪切作用于界面時(shí)引起的.上述不穩(wěn)定性在天體物理[7]、等離子體[8]、超流體[9]、磁流體[10]以及慣性約束聚變(ICF)[11?13]等領(lǐng)域中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.

理解任何一種流體不穩(wěn)定性不僅對(duì)該不穩(wěn)定性本身很重要,而且對(duì)其他流體不穩(wěn)定性的理解也很重要.事實(shí)上,KHI 不僅會(huì)加劇非線性RTI 和RMI 的發(fā)展,是界面蘑菇狀結(jié)構(gòu)演變的關(guān)鍵,而且對(duì)由RTI 和RMI 產(chǎn)生的流動(dòng)向湍流的過(guò)渡起著至關(guān)重要的作用[14,15].

KHI 線性不穩(wěn)定性增長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)分析是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域.在過(guò)去的幾十年里,人們廣泛研究了各種因素對(duì)KHI 線性演化的影響.這些因素包括壓縮[16]、黏性[17]、表面張力[18]、熱傳導(dǎo)[19,20]、傾斜界面[21]等.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象是由物質(zhì)中大量的分子熱運(yùn)動(dòng)互相撞擊,從而使能量從物體的高溫部分傳至低溫部分,或由高溫物體傳給低溫物體的過(guò)程.熱傳導(dǎo)效應(yīng)在KHI 中不可忽視.之前人們[19]在橫截面不變的直管道中通過(guò)將熱傳導(dǎo)項(xiàng)加入到速度勢(shì)中,求解管道中上下流體界面的伯努利方程,從而得到了界面熱傳導(dǎo)系數(shù)與上下流體的界面相對(duì)切向速度和KHI 增長(zhǎng)率的關(guān)系.人們發(fā)現(xiàn):增加界面熱傳導(dǎo)系數(shù)會(huì)抑制上下流體的界面相對(duì)切向速度,但會(huì)提高KHI 的增長(zhǎng)率[19,20].實(shí)際上,管道的橫截面和管道中的流體速度均會(huì)發(fā)生改變[22].管道橫截面或流體速度的突然變化均會(huì)造成流體界面處的能量損失,從而引起水頭損失[22?24].水頭損失一般分為沿程水頭損失和局域水頭損失,而由管道橫截面突變產(chǎn)生的水頭損失為局部水頭損失[22].另外,流體流動(dòng)中,由于管道的橫截面發(fā)生變化,流體內(nèi)部各粒子的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換,流體內(nèi)部的熱傳導(dǎo)(這里主要是熱導(dǎo)率)也會(huì)受到影響.通過(guò)計(jì)算熱傳導(dǎo)對(duì)KHI 的影響,可以有效地設(shè)計(jì)日常通風(fēng)供暖等流體管道.

目前,人們對(duì)橫截面變化的直管道中(或者水頭損失存在下)熱傳導(dǎo)對(duì)流體不穩(wěn)定的影響研究甚少.本文將解析研究熱傳導(dǎo)對(duì)橫截面不同的直管道中KHI 的影響,并與橫截面相同的直管道結(jié)果相比較.論文安排如下:第2 節(jié)給出模型;第3 節(jié)對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析和討論;第4 節(jié)給出結(jié)論.

2 模型

假設(shè)一個(gè)水平放置的直管道,如圖1 所示.管道具有兩種不同的截面A1和A2,其中A1為窄管道的橫截面,A2為寬管道的橫截面,這兩部分的管徑分別是D1和D2.管道中有兩種不同的流體,密度小的流體在上,密度大的流體在下,兩種流體之間存在一個(gè)界面(y=0).假設(shè)上下流體密度、黏度、平均流速和溫度分別為ρu和ρl,μu和μl,Uu和Ul,Tu和Tl.此外,還假定流體不可壓縮且兩種流體之間沒(méi)有旋轉(zhuǎn)和摩擦,即兩種流體存在勢(shì)流以及流體之間無(wú)耗散.在流體流動(dòng)過(guò)程中,水頭損失主要由管道橫截面的突變引起.

圖1 兩種不同橫截面的直管道示意圖Fig.1.Schematic diagram of a straight pipe with two different cross sections.

上下流體的界面滿足:

式中函數(shù)F(x,y,t)中;t為時(shí)間;η為解界面擾動(dòng)振幅,表示為

其中η0為常數(shù),c.c.代表復(fù)共軛.這里假定管道壁面為光滑壁面.對(duì)于上下均勻流體,小的界面擾動(dòng)振幅滿足速度勢(shì)[19,25]:

式中,k,ω為擾動(dòng)的波數(shù)和頻率;α′為界面熱傳導(dǎo)系數(shù),定義為界面處的熱流強(qiáng)度與單位長(zhǎng)度的潛熱之比[19];hu(hl)為流體界面到上(下)壁面的距離.

因?yàn)榱黧w是無(wú)旋的,所以速度勢(shì)(3)式和(4)式滿足拉普拉斯方程[26]:

流體界面的控制方程為

流體界面的動(dòng)力學(xué)方程為

式中g(shù)為重力加速度,γ為界面張力系數(shù).上下流體之間的正壓力為Pu?Pl,可以表達(dá)為[20]

局域水頭損失可表示為[22]

式中水頭損失系數(shù)ζ與管道兩部分的截面比A1/A2有關(guān)[27],即ζ=(1?A1/A2)2;uu,x和ul,x分別是上、下流體在產(chǎn)生水頭損失時(shí)的瞬時(shí)速度.uu,x和ul,x可由速度勢(shì)(3)式和(4)式的負(fù)梯度得到

將(3)式、(4)式和(9)式—(13)式代入(8)式,可以得到

通過(guò)(14)式,可得到與ω有關(guān)的色散方程:

對(duì)照(15)式與(14)式,可得到各項(xiàng)系數(shù)為

令ω=ωR+iωI,可得

聯(lián)立方程(22)和方程(23),得

再將ωR代入到方程(22)中,就得到關(guān)于增長(zhǎng)率ωI的四次方程:

這里

KHI 是由于擾動(dòng)的增長(zhǎng)率大于零時(shí)引起的.如果增長(zhǎng)率小于零,擾動(dòng)將隨時(shí)間快速衰減.然而,當(dāng)增長(zhǎng)率大于零時(shí),擾動(dòng)隨時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)[18].因此只有當(dāng)增長(zhǎng)率為零時(shí)界面穩(wěn)定.KHI 的增長(zhǎng)率由擾動(dòng)頻率的虛部直接表征.令ωI=0 (即穩(wěn)定界面),并將其代入(25)式,于是有

將(16)式—(20)式代入(31)式,可以得到不同傳熱系數(shù)下,上下流體界面相對(duì)切向速度與波數(shù)之間的關(guān)系,見(jiàn)(A1)式,其中V=Uu?Ul是上下流體的相對(duì)切向速度.

在考慮KHI 的增長(zhǎng)率時(shí),由于有黏和無(wú)黏情況下得到的結(jié)果幾乎是一樣的[21],因此令μu=μl=0,并且將(16)式—(20)式代入(25)式中,就可以得到不同傳熱強(qiáng)度下,KHI 的增長(zhǎng)率隨波數(shù)的變化關(guān)系,見(jiàn)(A2)式.

3 結(jié)果分析與討論

為了定量分析熱傳導(dǎo)效應(yīng),取擾動(dòng)振幅η=0.03 m,管徑D1=0.05 m,其他參數(shù)取自參考文獻(xiàn)[25]:γ=0.06 N/m,ρu=1.2 kg/m3,ρl=1000 kg/m3,μu=0.00018 Pa·s,μl=0.01 Pa·s,hu=0.025 m,hl=0.025 m.界面熱傳導(dǎo)系數(shù)α′=α×103kg/(m3·s)的取值參照文獻(xiàn)[19],這里α是無(wú)量綱界面熱傳導(dǎo)系數(shù).此外,由文獻(xiàn)[22]可以看出,在水頭損失系數(shù)等于0 和0.2 時(shí),能夠明顯得到管道橫截面的變化對(duì)KHI 的影響效果.因此,圖2 給出了ζ=0,0.2 時(shí),不同界面熱傳導(dǎo)系數(shù)下上下流體的界面相對(duì)切向速度與波數(shù)的關(guān)系曲線.從圖2可以發(fā)現(xiàn):上下流體的界面相對(duì)切向速度V隨波數(shù)k的增加而增加,當(dāng)波數(shù)達(dá)到一定值的時(shí)候,界面相對(duì)切向速度達(dá)到最大,爾后隨著波數(shù)的繼續(xù)增加相對(duì)切向速度反而會(huì)降低.再者,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)ζ=0時(shí),即不存在水頭損失(或管道橫截面不發(fā)生變化)時(shí),相對(duì)切向速度隨著波數(shù)增加,最終趨于一致.而當(dāng)ζ=0.2 且相對(duì)切向速度開(kāi)始隨波數(shù)增大而減小時(shí),小的界面熱傳導(dǎo)系數(shù)會(huì)比大的界面熱傳導(dǎo)系數(shù)對(duì)相對(duì)切向速度的抑制更大.當(dāng)ζ=0.2時(shí),界面相對(duì)切向速度要低于ζ=0 時(shí)的相對(duì)切向速度.這是由于當(dāng)流體流經(jīng)橫截面變化的管道時(shí)能量會(huì)損失,從而導(dǎo)致較低的相對(duì)切向速度.

圖2 上下流體的界面相對(duì)切向速度與波數(shù)的關(guān)系Fig.2.Wavenumber dependence of the relative tangential velocity at the interface between upper and lower fluids.

圖3 給出了ζ=0,0.2 時(shí),不同界面熱傳導(dǎo)系數(shù)下KHI 的增長(zhǎng)率隨波數(shù)的關(guān)系曲線,其中參數(shù)取自參考文獻(xiàn)[19]:γ=0.06 N/m,ρu=1.2 kg/m3,ρl=0.001 kg/m3,hu=0.025 m,hl=0.025 m. 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)ζ=0 時(shí),增長(zhǎng)率隨波數(shù)的增長(zhǎng)先增大后減小并最終趨于不變.這是因?yàn)榻缑鎰?dòng)能隨波數(shù)增加而增大,導(dǎo)致增長(zhǎng)率增大,當(dāng)波數(shù)接近臨界值kc時(shí),KHI 被破壞,增長(zhǎng)率隨波數(shù)的增加而急劇減小,趨近于零[19,22].當(dāng)ζ=0.2 時(shí),即存在水頭損失(或管道橫截面發(fā)生變化)時(shí),KHI 的增長(zhǎng)率要大于不存在水頭損失時(shí)的增長(zhǎng)率,這是由于在管道橫截面變化時(shí),能量損耗的一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,促進(jìn)界面熱傳導(dǎo)對(duì)KHI 增長(zhǎng)率的影響.比較不同熱傳導(dǎo)系數(shù)的曲線,可以明白這一點(diǎn).

4 結(jié)論

本文建立了一個(gè)橫截面變化的直管道模型,并分析了熱傳導(dǎo)對(duì)在該管道中流動(dòng)的上下兩種流體KHI 的影響.結(jié)果表明,在管道橫截面變化的情況下增加界面熱傳導(dǎo)系數(shù)會(huì)抑制界面相對(duì)切向速度,與文獻(xiàn)[19,20]中報(bào)道的橫截面不變的直管道情況一致;與之不同的是,當(dāng)波數(shù)到達(dá)一定值,相對(duì)切向速度開(kāi)始隨著波數(shù)的增加而減小,并且小的界面熱傳導(dǎo)系數(shù)在波數(shù)較大的情況下對(duì)相對(duì)切向速度的抑制效果更大.另外,增加界面熱傳導(dǎo)系數(shù)會(huì)促進(jìn)KHI 的增長(zhǎng)率,這與文獻(xiàn)[19]中報(bào)道的橫截面不變的直管道的情況一致,但是相對(duì)于橫截面不變的直管道,熱傳導(dǎo)對(duì)KHI 增長(zhǎng)率的促進(jìn)效果更為明顯.

值得指出的是,本文沒(méi)有考慮不同橫截面處流體的密度、黏度以及平均流速的不同對(duì)結(jié)果的影響.考慮上述不同可能會(huì)對(duì)結(jié)果造成較大影響.另外,盡管本文的結(jié)論是由圓形橫截面的管道得出,但是也適用于非圓形橫截面的直管道.本文的結(jié)果對(duì)實(shí)際管道中流體不穩(wěn)定性的研究以及管道的通風(fēng)設(shè)計(jì)和供暖等工程領(lǐng)域具有一定的參考價(jià)值.

附錄A 上下流體界面相對(duì)切向速度和KHI 的增長(zhǎng)率與波數(shù)的關(guān)系

上下流體界面相對(duì)切向速度與波數(shù)之間的關(guān)系滿足以下方程:

KHI 的增長(zhǎng)率隨波數(shù)的變化關(guān)系滿足: