牛明麗 王月明 李志堅(jiān)

(山西大學(xué)理論物理研究所,物理電子工程學(xué)院,量子光學(xué)與光量子器件國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

量子參數(shù)估計(jì)在量子度量學(xué)中有著重要的應(yīng)用,量子Cramer-Rao 下界表明量子參數(shù)估計(jì)精度極限與量子Fisher 信息是直接相關(guān)的.本文利用量子參數(shù)估計(jì)理論對(duì)光場(chǎng)與原子失諧很大(大失諧)的Jaynes-Cummings模型耦合常數(shù)進(jìn)行估計(jì).制備探測(cè)初態(tài)為Qubit 系統(tǒng)與光場(chǎng)的直積態(tài),光場(chǎng)分別為Fock 態(tài)、熱態(tài)和相干態(tài),分別計(jì)算了這三種探測(cè)態(tài)經(jīng)大失諧Jaynes-Cummings 模型哈密頓量演化后復(fù)合系統(tǒng)以及Qubit 和光場(chǎng)系統(tǒng)的量子Fisher 信息.通過分析發(fā)現(xiàn),復(fù)合系統(tǒng)的量子Fisher 信息隨平均光子數(shù)單調(diào)遞增,Qubit 基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài),此時(shí)量子Fisher 信息達(dá)到最大值;當(dāng)探測(cè)態(tài)的光場(chǎng)為Fock 態(tài)和熱態(tài)時(shí),關(guān)于被估計(jì)參數(shù)的信息都包含于Qubit 系統(tǒng);對(duì)于大失諧Jaynes-Cummings 模型耦合常數(shù)的估計(jì),光場(chǎng)為熱態(tài)或相干態(tài)時(shí)耦合常數(shù)的估計(jì)精度高于光場(chǎng)為Fock 態(tài)時(shí)的精度.

1 引言

量子度量學(xué)是統(tǒng)計(jì)推斷和量子力學(xué)相結(jié)合后在精密測(cè)量領(lǐng)域的最新研究前沿.量子度量學(xué)領(lǐng)域一個(gè)最重要的應(yīng)用就是量子參數(shù)估計(jì)[1,2].在量子力學(xué)中,需要通過描述一些不可直接觀測(cè)的感興趣的物理量來研究量子系統(tǒng)的物理性質(zhì).如量子信息協(xié)議的設(shè)計(jì)需要知道量子態(tài)的糾纏內(nèi)容[3,4],電磁場(chǎng)強(qiáng)度以及微弱慣性力可被映射到相位上進(jìn)行估計(jì)[5?7],處于不同相的混合系統(tǒng)可用來對(duì)耦合強(qiáng)度進(jìn)行估計(jì)[8,9].人們需要借助間接測(cè)量,從一個(gè)或多個(gè)適當(dāng)?shù)目捎^測(cè)的量的測(cè)量來推斷不可直接觀測(cè)的物理量的值[10,11],因此存在估計(jì)參數(shù)的問題,這需要運(yùn)用量子估計(jì)理論[12?16].在估計(jì)參數(shù)值時(shí),需要定義表示概率分布之間無窮小距離的Fisher 信息,并通過Cramer-Rao 定理給出估計(jì)子可達(dá)到的最終精度[17?21].通常一個(gè)量子參數(shù)估計(jì)的過程包括:探測(cè)態(tài)的制備,探測(cè)態(tài)與待測(cè)系統(tǒng)相互作用(即參數(shù)化過程),對(duì)演化后的輸出探測(cè)態(tài)的測(cè)量,以及基于測(cè)量結(jié)果對(duì)待測(cè)系統(tǒng)參數(shù)值估計(jì)[2,10,22,23].相位的估計(jì)過程包括:N粒子探測(cè)態(tài)制備、相位累積、可測(cè)物理量的測(cè)量以及相位估計(jì)[24].

作為量子參數(shù)估計(jì)的基本理論,量子Cramer-Rao 下界(QCRB)表明量子參數(shù)估計(jì)精度極限與量子Fisher 信息[25](QFI)有著直接關(guān)系,在估計(jì)多個(gè)參數(shù)的情況中,QFI 對(duì)應(yīng)為量子Fisher 信息矩陣(QFIM)[11,26,27].在所有可能的量子測(cè)量中,最大的Fisher 信息稱為QFI[24],QFI 給定了量子力學(xué)所允許的量子估計(jì)的精度極限.QFI 越大,精度越高[28].因此本文將對(duì)量子參數(shù)估計(jì)問題的研究轉(zhuǎn)換為對(duì)QFI 的研究.為了盡可能提高測(cè)量和估計(jì)的精度,必須尋找那些使得QFI 最大的態(tài).基于QFI 進(jìn)行量子參數(shù)估計(jì)的相關(guān)應(yīng)用有很多:基于噪音貓態(tài)對(duì)表征噪音貓態(tài)的參數(shù)以及位移參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[29]、存在相位擴(kuò)散情況下的相位估計(jì)問題,以及相移高斯態(tài)的最終量子極限精度[7,30,31]、量子信道中噪音參數(shù)的估計(jì)以及建立估計(jì)熱損耗通道中殘余噪聲的最終精度[32]、通過估計(jì)兩個(gè)有損耗玻色子通道的損耗參數(shù)解決兩個(gè)點(diǎn)狀源之間間隔的估計(jì)問題[33]、利用一維量子Ising 模型的臨界性推導(dǎo)出隨溫度變化的耦合常數(shù)的最佳量子估計(jì)量[34]、非線性系統(tǒng)中量子光力學(xué)的最優(yōu)估計(jì)[35]、基于Fisher 信息的光機(jī)械耦合強(qiáng)度的估計(jì)[36]、Jaynes-Cummings (J-C)模型耦合常數(shù)的最優(yōu)量子估計(jì)[37]等.

當(dāng)J-C 模型在光場(chǎng)與原子失諧很大(大失諧)的情況下,原子不會(huì)發(fā)生直接躍遷,只存在原子與光場(chǎng)的“耗散”相互作用.大失諧情況下的J-C 模型在量子力學(xué)的許多應(yīng)用中都有著很重要的作用,如產(chǎn)生薛定諤貓態(tài)[38].本文利用量子估計(jì)理論研究大失諧J-C 模型耦合常數(shù)的估計(jì)問題,將對(duì)此估計(jì)問題的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)不同的探測(cè)態(tài)經(jīng)大失諧J-C模型哈密頓量演化后對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的QFI 的分析.制備探測(cè)初態(tài)為Qubit 系統(tǒng)與光場(chǎng)的直積態(tài),光場(chǎng)分別為Fock 態(tài)、熱態(tài)、相干態(tài),分別計(jì)算了這三種探測(cè)態(tài)經(jīng)大失諧J-C 模型哈密頓量演化后復(fù)合系統(tǒng)以及Qubit 和光場(chǎng)系統(tǒng)的QFI.

2 大失諧J-C 模型

J-C 模型描述一單模輻射場(chǎng)與一個(gè)自旋為–1/2 的二能級(jí)系統(tǒng)的相互作用,哈密頓量描述為

在相互作用繪景中,單模玻色場(chǎng)頻率ωf與原子躍遷頻率ωq之間失諧很大的J-C 模型,有效哈密頓量形式為

式中χ=λ2/Δω,其中λ為耦合強(qiáng)度,失諧量Δω=ωq?ωf;原子躍遷算符;泡利算符=|e〉〈e|?|g〉〈g|;分別為輻射場(chǎng)的產(chǎn)生湮滅算符.當(dāng)相互作用時(shí)間為t,相對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化幺正算符為

式中,Ω=χt,參數(shù)Ω為本文將要估計(jì)的物理量.

假設(shè)在時(shí)刻t=0,制備探測(cè)態(tài)為一個(gè)純態(tài),且Qubit 與光場(chǎng)之間沒有關(guān)聯(lián),即探測(cè)態(tài)為

且|Ψ0〉=|ψq〉?|ψf〉.t=0 時(shí),Qubit 系統(tǒng)處在一個(gè)基態(tài)|g〉和激發(fā)態(tài)|e〉疊加的純態(tài),形式為

光場(chǎng)系統(tǒng)分別處于Fock 態(tài)ρf=|n〉〈n|、熱態(tài)ρf=和相干態(tài)ρf=|α〉〈α|.系統(tǒng)隨時(shí)間的演化表示為

分別對(duì)Qubit 或光場(chǎng)自由度進(jìn)行部分求跡,得到演化后Qubit 系統(tǒng)和光場(chǎng)的約化密度算符即

3 量子估計(jì)理論

量子度量學(xué)是結(jié)合量子資源和量子特性提高測(cè)量精度的科學(xué),一個(gè)重要的應(yīng)用就是量子參數(shù)估計(jì).量子參數(shù)估計(jì)理論中,Cramer-Rao 下界(CRB)表明Fisher 信息直接關(guān)系著參數(shù)估計(jì)的精度[17?20],CRB 的形式為

式中,V(Ω) 為無偏估計(jì)參數(shù)的方差,F(Ω)為Fisher信息,N為對(duì)系統(tǒng)的測(cè)量次數(shù).Fisher 信息用來描述一個(gè)可觀測(cè)隨機(jī)變量X攜帶關(guān)于未知參數(shù)Ω的信息量的多少,定義式為

式中p(x|Ω)為當(dāng)被估計(jì)參數(shù)值為Ω時(shí),測(cè)量結(jié)果為x的條件概率.

在量子力學(xué)中,根據(jù)玻恩定則p(x|Ω)=tr[ΠxρΩ],

其中{Πx}為正定算符值測(cè)量(POVM) 算符,ρΩ為與被估計(jì)參數(shù)Ω有關(guān)的待測(cè)系統(tǒng).引入由Lyapunov 方程定義的對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)LΩ,

Fisher 信息可以重新表示為

在所有可能的量子測(cè)量中,將F(Ω)最大化,可以得到

H(Ω)稱為QFI,H(Ω)滿足的CRB 稱為QCRB:

式中H(Ω)給出了估計(jì)未知參數(shù)Ω精度的最終極限.

假設(shè)待測(cè)系統(tǒng)的密度算符的譜分解形式為

式中cn和|ψn〉分別為密度算符的本征值和本征矢,則Lyapunov 方程的解LΩ可寫為

其中cn+cm≠0.根據(jù)?ΩρΩ=+cn|?Ωψn〉〈ψn|+cn|ψn〉〈?Ωψn|),得出QFI 可寫為

當(dāng)初態(tài)ρ0經(jīng)過一個(gè)與未知參數(shù)Ω有關(guān)的幺正操作,即

其中|Ψ0〉是探測(cè)態(tài),G可看作未知參數(shù)Ω的厄米生成元.在這種情況中QFI 與未知參數(shù)Ω無關(guān),是厄米算符G在初態(tài)中漲落的4 倍[30],即

相應(yīng)的量子Cramer-Rao 不等式寫為

當(dāng)系統(tǒng)的量子態(tài)ρ與參數(shù){λ1,λ2,λ3,···,}有關(guān)時(shí),QCRB 由量子Fisher 信息矩陣(QFIM)給出:

其中C為估計(jì)子的協(xié)方差矩陣,H?1為QFIM 的逆矩陣.協(xié)方差矩陣元和QFIM 矩陣元分別定義為

(24)式中,Lμ為第μ個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù).

4 應(yīng)用

在這一部分,制備探測(cè)初態(tài)為Qubit 系統(tǒng)與光場(chǎng)的直積態(tài),光場(chǎng)分別為Fock 態(tài)、熱態(tài)和相干態(tài),分別計(jì)算了這三種探測(cè)態(tài)經(jīng)大失諧J-C 模型哈密頓量演化后復(fù)合系統(tǒng)以及Qubit 和光場(chǎng)系統(tǒng)的QFI.

4.1 Fock 態(tài)光場(chǎng)

當(dāng)光場(chǎng)處于Fock 態(tài)|ψf〉=|n〉,相應(yīng)的探測(cè)態(tài)為

根據(jù)(6)式,ρ0經(jīng)(3)式演化時(shí)間t后,系統(tǒng)的密度矩陣變?yōu)?/p>

根據(jù)(20)式計(jì)算出Fock 態(tài)時(shí)未知參數(shù)Ω對(duì)應(yīng)的QFI 為

再計(jì)算Qubit 和光場(chǎng)兩個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的QFI,

根據(jù)(17)式得到Hq1(Ω) 為

通過計(jì)算,得出ρf1(Ω)=|n〉〈n|=ρf以及Hf1(Ω)=0.綜上,當(dāng)光場(chǎng)為Fock 態(tài)情況時(shí)的QCRB 為

從(27)式、(30)式和圖1 可以看出,光場(chǎng)為Fock 態(tài)時(shí)H1(Ω)隨平均光子數(shù)單調(diào)增加.當(dāng)θ=π/2,原子初態(tài)處于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài),H1(Ω)總是取最大值,即H1(Ω)=(1+2n)2,且被估計(jì)參數(shù)的方差最小為V(Ω)=1/(1+2n)2,因此使QFI 最大的Qubit 態(tài)的最佳制備對(duì)應(yīng)于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài);當(dāng)θ=0或π,H1(Ω)最小,即H1(Ω)=0,被估計(jì)參數(shù)的方差趨于無窮大,此時(shí)原子初態(tài)處于激發(fā)態(tài)或基態(tài),并不是最優(yōu)探測(cè)態(tài),因此不在我們關(guān)注范圍之內(nèi).Hq1(Ω) 和Hf1(Ω)直接表明關(guān)于未知參數(shù)Ω的所有信息都包含在Qubit 系統(tǒng)中,而光場(chǎng)不包含任何關(guān)于未知參數(shù)Ω的信息.

圖1 光場(chǎng)為Fock 態(tài)時(shí)QFI 隨不同變量的變化(Hq1(Ω)=H1(Ω))(a)平均光子數(shù) ;(b) θFig.1.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a Fock state (Hq1(Ω)=H1(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.2 熱態(tài)光場(chǎng)

考慮在溫度T時(shí)與腔壁處于熱平衡狀態(tài)的單模熱光場(chǎng),即光場(chǎng)遵從熱平衡輻射規(guī)律:

經(jīng)(3)式演化時(shí)間t后的系統(tǒng)可表示為

根據(jù)(17)式,計(jì)算出光場(chǎng)為熱態(tài)時(shí)未知參數(shù)Ω對(duì)應(yīng)的QFI 為

當(dāng)玻色場(chǎng)為熱平衡態(tài)時(shí)的平均光子數(shù)為

此時(shí)QFI 重新表示為

計(jì)算子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的QFI 為

由(36)式、(40)式和圖2 可知,當(dāng)光場(chǎng)處于熱態(tài)時(shí),QFI 的情況與Fock 態(tài)的情況相類似.當(dāng)θ=π/2,即原子初態(tài)處于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài),H2(Ω)總是取最大值,即H2(Ω)=1+,參數(shù)Ω的最小方差V(Ω)=,因此Qubit 態(tài)對(duì)應(yīng)于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài)的初態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài);當(dāng)θ=0或π,H2(Ω) 最小,即H2(Ω)=0,被估計(jì)參數(shù)的方差趨于無窮大,此時(shí)原子初態(tài)處于激發(fā)態(tài)或基態(tài),并不是最優(yōu)探測(cè)態(tài),因此不予討論.Hq2(Ω)和Hf2(Ω) 直接表明關(guān)于未知參數(shù)Ω的所有信息都包含在Qubit 系統(tǒng)中,而光場(chǎng)不包含任何關(guān)于未知參數(shù)Ω的信息.

圖2 光場(chǎng)為熱態(tài)時(shí)QFI 隨不同變量的變化(Hq2(Ω)=H2(Ω))(a)平均光子數(shù) ;(b) θFig.2.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a thermal state (Hq2(Ω)=H2(Ω)):(a) The average photon number,;(b) θ.

4.3 相干態(tài)光場(chǎng)

當(dāng)光場(chǎng)初態(tài)處于相干態(tài),則相應(yīng)的探測(cè)態(tài)為

密度矩陣演化為

根據(jù)(20)式計(jì)算出復(fù)合系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的QFI 為

則H3(Ω) 對(duì)應(yīng)的QCRB 為

光場(chǎng)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的QFI

則Hf3(Ω) 對(duì)應(yīng)的QCRB 為

由(43)式、(44)式和圖3 可看到,當(dāng)光場(chǎng)為相干態(tài)時(shí),QFI 的情況與Fock 態(tài)和熱態(tài)的情況類似,當(dāng)θ=π/2,即Qubit 系統(tǒng)初態(tài)為基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加時(shí),H3(Ω)取最大值H3(Ω)=+1,參數(shù)Ω的最小方差為V(Ω)=,此時(shí)的初態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài),因此使QFI 最大的Qubit 態(tài)的最佳制備對(duì)應(yīng)于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài);而當(dāng)θ=0 或π,即Qubit 系統(tǒng)初態(tài)為基態(tài)或激發(fā)態(tài)時(shí),H3(Ω)取最小值H3(Ω)=,此時(shí)被估計(jì)參數(shù)的方差最大為V(Ω)=,此時(shí)參數(shù)估計(jì)的精度受到限制,所能達(dá)到的最大估計(jì)精度極限為散粒噪聲極限.

圖3 腔場(chǎng)為相干態(tài)時(shí)QFI 隨不同變量的變化 (a)平均光子數(shù) ;(b) θFig.3.Variation of QFI with different variables when the radiation field is a coherent state:(a) The average photon number,;(b) the θ.

4.4 結(jié)果

圖4 比較了光場(chǎng)分別為Fock 態(tài)、熱態(tài)和相干態(tài)時(shí)QFI 隨平均光子數(shù)和θ的變化.從圖4(a)可直觀地看出,H(Ω) 隨平均光子數(shù)單調(diào)遞增,且熱態(tài)情況(H2(Ω))優(yōu)于相干態(tài)情況(H3(Ω)),相干態(tài)情況優(yōu)于Fock 態(tài)(H1(Ω)).從圖4(b)可看出,H(Ω)隨θ也在單調(diào)增加,且光場(chǎng)處于熱態(tài)和相干態(tài)時(shí)的QFI 均優(yōu)于Fock 態(tài)情況的QFI.當(dāng)θ=0 時(shí),QFI 最小,Fock 態(tài)和熱態(tài)情況H1(Ω)=H2(Ω)=0,即參數(shù)Ω的最大方差趨于無窮大,但相干態(tài)情況H3(Ω)=,參數(shù)Ω的最大方差為.當(dāng)θ< π/4.6,相干態(tài)情況的QFI 比熱態(tài)情況的大,當(dāng)θ> π/4.6,相干態(tài)情況的QFI 比熱態(tài)情況的小.綜合分析,隨和θ同時(shí)增長(zhǎng),三種情況的H(Ω)均在單調(diào)增加,θ=π/2 取最大,且熱態(tài)情況和相干態(tài)情況的QFI 均優(yōu)于Fock 態(tài)情況.但當(dāng)θ< π/4.6,相干態(tài)情況的QFI 優(yōu)于熱態(tài)情況,當(dāng)θ> π/4.6,情況相反.再具體分析每一種情況中復(fù)合系統(tǒng)的QFI 與子系統(tǒng)的QFI.發(fā)現(xiàn)Fock 態(tài)情況和熱態(tài)情況類似,Qubit 子系統(tǒng)的QFI 等于復(fù)合系統(tǒng)的QFI,光場(chǎng)子系統(tǒng)的QFI 為零,換句話說,光場(chǎng)子系統(tǒng)不包含任何關(guān)于待估計(jì)參數(shù)的信息.但相干態(tài)情況中,情況并非如此,光場(chǎng)子系統(tǒng)的QFI 與平均光子數(shù)成四倍關(guān)系.綜上所述,在三種不同的探測(cè)態(tài)情況中,量子Qubit 態(tài)處于基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài)時(shí),此時(shí)的探測(cè)態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài);當(dāng)θ取某一值,光場(chǎng)對(duì)應(yīng)于熱態(tài)時(shí)的初態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài).

5 結(jié)論

綜上,大失諧J-C 模型哈密頓量的耦合常數(shù)不是可觀測(cè)量,估計(jì)耦合常數(shù)時(shí)需要利用QCRB 和QFI 計(jì)算的精度界限.這具有根本意義,因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)于尋找量子力學(xué)對(duì)物質(zhì)處于不同態(tài)的可區(qū)分性施加的最終極限.本文通過制備探測(cè)初態(tài)為Qubit系統(tǒng)與光場(chǎng)的直積態(tài),光場(chǎng)分別為Fock 態(tài)、熱態(tài)、相干態(tài),基于QFI 對(duì)大失諧J-C 模型的耦合常數(shù)進(jìn)行估計(jì).分別得出光場(chǎng)為Fock 態(tài)、熱態(tài)、相干態(tài)時(shí)復(fù)合系統(tǒng)的QFI 以及子系統(tǒng)的QFI,并進(jìn)行分析比較,發(fā)現(xiàn)三種不同光場(chǎng)的復(fù)合系統(tǒng)的QFI 取決于平均光子數(shù)和Qubit 內(nèi)態(tài).在大失諧J-C 模型耦合常數(shù)的估計(jì)問題中,Qubit 基態(tài)與激發(fā)態(tài)的等權(quán)疊加態(tài)為最優(yōu)探測(cè)態(tài),此時(shí)QFI 取最大值,利用熱態(tài)或相干態(tài)情況中的探測(cè)態(tài)進(jìn)行估計(jì)得到的精度要比Fock 態(tài)情況的高.本文的研究結(jié)果為大失諧J-C 模型耦合常數(shù)的估計(jì)提供了方法和依據(jù).