許志雄，范 煒

(1.福州職業(yè)技術學院 建筑工程系， 福建 福州 350108；2.福建江夏學院 工程學院, 福建 福州 350108)

隨著我國經濟與科學技術的發(fā)展，向地下要空間則是未來發(fā)展的重要方向之一[1]，這勢必涉及到大量的巖石工程。巖石變形是影響巖石工程安全的重要因素，因此掌握巖石的力學本構模型對更好利用地下空間具有重要意義。Krajcinovic等[2]在Lemaitre[3]提出的等效應變假說基礎上，結合了連續(xù)損傷和統(tǒng)計強度理論，建立了損傷模型，后人在此基礎上不斷完善改進，提出了多種統(tǒng)計損傷模型。高瑋等[4]將破裂巖石視作多個小立方體，并假定各個立方體的強度服從Weibull 分布，從而提出一種破裂巖體的本構模型。曹瑞瑯等[5]在巖石微元強度服從Weibull 分布的基礎上，考慮了巖石殘余強度并對損傷變量進行了修正，最終建立了考慮巖石峰后殘余強度的本構模型。蔣浩鵬等[6]則將溫度考慮進來，得到了高溫后巖石統(tǒng)計損傷本構模型。 Li等[7]和王林峰等[8]則認為巖石強度服從正態(tài)分布，并基于此建立了新的本構模型。然而 Weibull 分布存在尺寸效應，而正態(tài)分布則會出現巖石強度和參數為負值的現象，這與實際情況不符。因此，部分學者嘗試采用新的函數構建巖石統(tǒng)計損傷模型，其中效果比較理想的是Harris函數。黃海峰等[9]假設巖石微元強度服從Harris函數，并對損傷模量進行修正，構建了損傷軟化模型。王創(chuàng)業(yè)等[10]和李小峰等[11]同樣認為巖石微元強度服從Harris分布，建立的本構模型與試驗結果匹配度較好。但上述理論涉及到的巖石微元強度存在不易測量的缺點，而且，部分學者采用擬合法確定模型參數，雖然擬合度較好，但參數物理意義不明，而這勢必影響本構模型的應用。大量試驗表明，巖石在單調加載過程中，隨著應力增大，應變快速增加直至巖石破壞，其對應變形模量表現出逐漸衰減的特征。變形模量作為巖石基本物理量之一，測量簡便[12]，如果能夠獲得變形模量的衰減規(guī)律，就可以建立應力與應變之間的關系。因此，本文通過引入Harris函數來表征變形模量衰減規(guī)律，并通過極限求導的方式獲得模型參數。通過與已有試驗數據進行對比，驗證了新模型的適用性。

1 本構模型分析

1.1 理論模型

圖1所示為巖石典型單調加載應力應變曲線。

圖1 巖石單調加載應力應變曲線

考慮壓密段巖石應力較低，故忽略巖石壓密過程。假設在ε0之前巖石處于線彈性段，隨后巖石進入彈塑性階段，隨著應力增加，應變大幅增加，應力應變曲線逐漸偏離縱坐標。選取原點作為起點，根據變形模量定義可獲得不同應力應變處變形模量如圖1所示。

若將ε0至εf段應變進行Nf等分，則第n段應變?yōu)椋?/p>

(1)

式中：ε0為彈性終點處應變值；εn為第n等分處應變值；εf為單調加載破壞處應變值；n為第n等分；Nf為彈性段終點至破壞點等分總數。在單調加載過程中變形模量從E0逐步衰減到Ef后，巖石破壞。已有成果常采用式(2)定義巖石損傷[13-14]：

(2)

式中：Dn為巖石第n等分處損傷值；En為第n等分處變形模量；E0為初始變形模量。

根據公式可知當巖石破壞時，巖石損傷并不等于1，即巖石不會破壞，這與實際不符。為此，將變形模量進行歸一化，如式(3)所示。

(3)

式中：Kn為變形模量歸一化值；Ef為巖石加載破壞處變形模量；E0，En意義同上。

由此可知，隨著單調荷載的增加至巖石破壞，變形模量歸一化值則從1衰減到0。若能利用一個函數來表征衰減規(guī)律，則可以獲得變形模量數值，從而得到應力應變關系。常見衰減函數有線性衰減，指數衰減，高斯衰減以及Harris衰減等。顯然對于單一線性衰減其衰減速率為恒值，若要滿足衰減速率為變量則要構造分段線性函數，過于麻煩；指數衰減是先劇烈衰減然后變緩，難以滿足不同類型巖石的變形模量變化規(guī)律；高斯衰減速率是先緩慢，然后變快，最后又放緩呈鐘形，同樣難以滿足不同類型巖石破壞，且高斯衰減計算相對繁瑣，參數可為任意實數，這與實際情況不符[15]。反觀Harris函數，見式(4)，僅有2個參數且均大于0，通過變換兩個參數的值可以得到不同形狀的衰減形式。

(4)

式中：X為函數自變量；a，b為大于0的常數。

為了建立變形模量與等分段數之間的關系，可令X=n/(Nf-n)，則當n=0，S(0)=1，當n=Nf時，S(Nf)=0，從而得到用衰減函數表征歸一化變形模量的表達式：

(5)

根據式(5)可以求得εn處對應的變形模量為：

(6)

從而可得：

(7)

B=(E0-Ef)·ε0

D=Ef·ε0

1.2 模型參數確定

根據式(7)可知，巖石單調加載過程中應力與分段數n(由應變確定)存在一一對應關系，是分段數n的函數。假定巖石全應力應變曲線峰值σc對應分段次數為nk，則該點滿足邊界條件有：

(8)

式中：σc為峰值應力；nk為峰值應力對應的應變分段數根據式(8)中第一項可得：

(9)

根據式(8)中第二項可得：

(10)

根據式(9)和式(10)可得：

(11)

(12)

通過對式(12)變換則有：

(13)

由式(11)可得：

(14)

由此解得：

(15)

聯立式(13)和式(15)可得：

(16)

(17)

2 本構模型驗證

為驗證所建立的巖石本構模型的適用性，根據文獻[16-19]試驗數據進行計算，得到本構模型參數如表1所示，最終結果如圖2所示。

表1 模型參數值

從圖2可以看到，本文所提出的本構模型理論值與試驗值吻合度較高，尤其在峰前段高度重合，在峰后段存在一定偏差，當巖石在峰后段應力快速降低時，二者吻合度較差，對于該問題，需進一步研究。但在巖石工程中，一般利用的都是巖石峰前段承載能力，因而本文所建立的模型能夠滿足工程應用。

3 模型參數分析

為了進一步討論模型參數對理論解的影響并分析參數的物理意義，以文獻[15]為例，通過改變參數a和b的值，來分析模型參數對結果的影響，結果如圖3所示。

圖2 本構模型驗證

從圖3(a)中可以看到當參數b保持不變，隨著參數a的增大，峰值應力出現較為明顯的下降，當參數a由0.5增大至2.0時，峰值強度由72 MPa逐步降低至54 MPa，與參數a基本呈線性關系。與此同時，巖石峰值應變也隨著參數a的增大而減小，而參數a的變化對巖石峰后曲線形態(tài)沒有明顯影響，這即表明參數a與巖石峰值強度相關。而從圖3(b)則可以看到，當參數a保持不變，隨著參數b的增大，峰值應力和峰值應變均增大，但增大幅度較小。但參數b對巖石峰后曲線形態(tài)影響較為明顯，隨著b的增大應力應變曲線由較為平緩狀轉變?yōu)槎钢睜?，峰后應力跌落速度加快，表明巖石脆性增強。故經上述分析可知，模型參數a主要反映了巖石的宏觀強度，而參數b則在一程度上體現了巖石的延脆性。

圖3 模型參數分析

4 結 論

(1) 以變形模量為研究對象，通過分析變形模量在單調加載過程中隨著應變增大而衰減的特征，引入Harris函數來表征變形模量衰減規(guī)律，構建了巖石單調加載本構模型。

(2) 采用極值理論，結合試驗曲線特征值，推導了模型參數的計算表達式，模型參數物理意義明確。與前人試驗結果對比，驗證了本文模型的正確性。

(3) 模型參數分析表明，參數a控制巖石強度，a值越大，巖石峰值強度越低。參數b與巖石強度關系不大，主要與巖石延脆性相關，b值越大，脆性越強，反之延性越明顯。