宋麗平， 姚旺進(jìn)， 林建偉， 潘素娟

( 1.莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院， 福建 莆田 351100；2.金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 莆田 351100；3.福建商學(xué)院 信息工程學(xué)院， 福建 福州 350012 )

0 引言

研究如下形式的一個(gè)常微分方程的邊值問(wèn)題: 求f(x) ∈C[0，a]∩C2(0，a) ， 使得:

其中r，c，δ，σ，a，b均為常數(shù)， 且r ＞c≥0，r≥δ≥0，σ ＞0，a≥b ＞0。

這是一個(gè)非線性的二階常微分方程的邊值問(wèn)題， 且在x ＝0 處退化， 源自Sirbu 等[1]對(duì)一類永久可轉(zhuǎn)換公司債券定價(jià)問(wèn)題的研究(文[1]研究的是問(wèn)題(3)， 但可以證明問(wèn)題(3) 等價(jià)于問(wèn)題(1)， 見(jiàn)下文)。

特別地， 當(dāng)δ＝c＝0 時(shí)，

即:

文[1]主要研究邊值問(wèn)題(3)(等價(jià)于問(wèn)題(1))的解的存在唯一性(未求出解析解)， 本文擬研究邊值問(wèn)題(2)的求解方法， 并通過(guò)變量代換法與冪級(jí)數(shù)解法分別進(jìn)行求解。

1 模型

可轉(zhuǎn)換公司債券即可轉(zhuǎn)換債券(簡(jiǎn)稱可轉(zhuǎn)債)， 它是一種極其復(fù)雜的信用衍生產(chǎn)品， 不但含有債權(quán)， 還包含著很多期權(quán)因素[2]。 在一定的條件下對(duì)公司債券進(jìn)行定價(jià)是公司債券研究的重要問(wèn)題之一[3]。 Brennan 等[4]、 Jonathan 等[5]通過(guò)Merton[6]的無(wú)套利定價(jià)理論和Black 等[7]的期權(quán)定價(jià)公式來(lái)研究可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題。 然而，他們均沒(méi)有考慮可轉(zhuǎn)債可以提前實(shí)施， 因此沒(méi)有涉及自由邊界問(wèn)題[8]。 此外， 也有學(xué)者應(yīng)用有限元方法[9]、 蒙特卡羅模擬方法[10-11]、 三叉樹方法[12]和雙因子柳樹方法[13-14]對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行實(shí)證研究。

Sirbu 等[1]考慮可轉(zhuǎn)債可以在到期日之前的任意時(shí)刻被轉(zhuǎn)換或贖回。 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 他們假設(shè)公司通過(guò)發(fā)行1 份股票和1 份可轉(zhuǎn)債來(lái)融資， 且可轉(zhuǎn)債為永久的， 從而可轉(zhuǎn)債的價(jià)值滿足一個(gè)非線性的常微分方程(如果是非永久的可轉(zhuǎn)債，其價(jià)值就滿足非線性的偏微分方程； 永久的情形將時(shí)間參數(shù)從問(wèn)題中去掉， 則自由邊界問(wèn)題， 也即是關(guān)于最優(yōu)轉(zhuǎn)換與贖回問(wèn)題， 就轉(zhuǎn)化為一個(gè)自由點(diǎn)問(wèn)題)。 下面對(duì)文[1]的模型進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

設(shè)某公司通過(guò)發(fā)行1 份股票和1 份可轉(zhuǎn)債來(lái)融資。 可轉(zhuǎn)債為永久的， 可以在任一時(shí)刻轉(zhuǎn)換或贖回， 設(shè)1 份可轉(zhuǎn)債可以轉(zhuǎn)換為λ份股票， 即轉(zhuǎn)換因子為

以X(t) 表示在t時(shí)刻轉(zhuǎn)換或贖回之前的公司價(jià)值，X(t) 滿足:

其中Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗(Brown) 運(yùn)動(dòng)，h(·) 為連續(xù)函數(shù)， 且h(0)＝0， 這里c是可轉(zhuǎn)債的息票率，σ是股票的波動(dòng)率，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，c，σ均為常數(shù)， 且r ＞c≥0，σ ＞0。

以S(t)表示t時(shí)刻的股票價(jià)值， 連續(xù)分紅率為δ，r≥δ≥0； 以D(t) 表示t時(shí)刻的可轉(zhuǎn)債的價(jià)值， 則X(t)＝S(t)＋D(t)。

設(shè)市場(chǎng)是完備和無(wú)套利的， 資產(chǎn)無(wú)限可分，無(wú)交易費(fèi)用， 市場(chǎng)上存在3 種可交易資產(chǎn): 股票、 可轉(zhuǎn)債和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換和贖回方式為: 以c0和ca分別表示轉(zhuǎn)換和贖回的臨界值， 且c0＞0 和ca≥K(K為可轉(zhuǎn)債的贖回價(jià)格) 為給定的兩個(gè)數(shù)。 當(dāng)X(t)≥c0時(shí)， 轉(zhuǎn)換； 當(dāng)X(t)≥ca時(shí)， 贖回。 一旦選定了c0＞0 和ca≥K， 關(guān)于可轉(zhuǎn)債的價(jià)值D(t)有如下結(jié)論。

引理1[1]設(shè)c0＞0 和ca≥K已給定， 令a*＝c0∧ca，X(0) ?(0，a*)，τ*＝inf{t≥0｜ X(t) ?(0，a*)}。 則當(dāng)t∈ ( 0，τ*) 時(shí)，D(t)＝f(X(t)) ， 其 中，f(x) ∈C[ 0，a*]∩C2(0，a*) 是下述邊值問(wèn)題的解:

其中，C[0，a*]表示[0，a*]上的連續(xù)函數(shù)的全體，C2(0，a*) 表示(0，a*) 上的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)的全體，r，c，δ，σ，γ均為常數(shù)，且r ＞c≥0，r≥δ≥0，σ ＞0，0＜γ ＜1，符號(hào)“∧” 表示“取最小值”， 符號(hào)“∨” 表示“取最大值”。

引理1 的證明見(jiàn)文[1]。

下面的定理1 給出邊值問(wèn)題(3) 與邊值問(wèn)題(1) 的等價(jià)性。

定理1設(shè)f(x) ∈C[0，a]∩C2(0，a)，則邊值問(wèn)題(3) 可表示為邊值問(wèn)題(1)， 即問(wèn)題(3) 等價(jià)于問(wèn)題(1)。

證令

其中?表示記為， 也就是將比較復(fù)雜的量或符號(hào)用另一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)來(lái)表示。

我們只需證明0＜b≤a。b ＞0 是顯然的。下證b≤a。

當(dāng)0＜c0＜ca時(shí)，

當(dāng)K≤ca≤c0時(shí)，

這時(shí)，

所以，

綜上所述， 0＜b≤a成立。

2 變量代換法求解

本節(jié)通過(guò)變量代換將邊值問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程， 進(jìn)而求出邊值問(wèn)題(2)的解析解。 邊值問(wèn)題(2)的解的有關(guān)結(jié)論見(jiàn)定理2。

定理2設(shè)f(x) ∈C[0，a]∩C2(0，a)，則邊值問(wèn)題(2) 的解為:

證作變量代換x ＝et， 即t ＝lnx， 則:

從而邊值問(wèn)題(2)化為:

這是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程， 其特征方程為:

解得:

則通解為:

再結(jié)合定解條件， 可得:

由上面的第一個(gè)式子， 可得c2＝0； 代入上面的第二個(gè)式子， 可得

則可求得邊值問(wèn)題(2) 的解析解為:

即:

3 冪級(jí)數(shù)解法求解

本節(jié)不進(jìn)行變量代換， 而是通過(guò)二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法， 求出邊值問(wèn)題(2)的解析解。

首先介紹兩個(gè)引理， 其中引理2 可以參見(jiàn)文[15]中第158～159 頁(yè)的定理11， 引理3 可以參見(jiàn)文[15]中第153 頁(yè)的內(nèi)容(文[15]只對(duì)引理3的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單描述， 下面以引理的形式給出，并進(jìn)行詳細(xì)的證明)。

引理2[15]考慮如下形式的二階齊次線性方程:

若xp(x)，x2q(x) 都能展開成x的冪級(jí)數(shù)， 且收斂區(qū)間為｜x ｜＜R， 則方程(4) 有形如

的特解， 也以｜x ｜＜R為收斂區(qū)間。 這里R為某一正常數(shù)或＋∞，a0≠0，α是一個(gè)待定的常數(shù)。

引理3[15]設(shè)y ＝y(tǒng)1≠0 是二階齊次線性方程(4) 的解， 則方程(4) 的通解為:

其中c1，c2為任意常數(shù)。

證令

則:

從而:

由于y ＝ y1≠0 是二階齊次線性方程(4) 的解，故:

則方程(4)化為:

這是一個(gè)一階常微分方程， 可變形為:

兩邊積分， 可求得:

其中c2為任意常數(shù)。

從而由式(7) 可得:

其中c1，c2為任意常數(shù)。

取c1＝0，c2＝1， 可得方程(4) 的一個(gè)特解:

顯然該特解與y1線性無(wú)關(guān)， 所以方程(4) 的通解為:

其中c1，c2為任意常數(shù)。

下面利用引理2 和引理3， 給出邊值問(wèn)題(2) 的冪級(jí)數(shù)解法， 即定理2 的另一種證法。

證將邊值問(wèn)題(2) 改寫為:

易知， 它滿足引理2 的條件， 且xp(x)＝A，x2q(x)＝- A， 按x展開成的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為-∞＜x ＜＋∞， 則由引理2， 邊值問(wèn)題(8) 的解的形式為:

這里a0≠0， 且α，an(n ＝0， 1， 2， …) 均為待定常數(shù)。

將式(9) 代入邊值問(wèn)題(2) 中， 得:

整理得:

令上式中各項(xiàng)的系數(shù)等于零， 可得:

由于a0≠0， 則從(10)中的第一個(gè)方程可求得α的兩個(gè)解:

第一種情況: 當(dāng)α ＝α1＝1 時(shí)， 則從(10)中的其他方程， 易得:

則由式(9)， 當(dāng)α ＝α1＝1時(shí)， 邊值問(wèn)題(8)的解為

又由邊值問(wèn)題(8)中的定解條件

易求得:

第二種情況: 當(dāng)α ＝α2＝- A時(shí)， 就不能從式(10)中來(lái)確定系數(shù)an(n ＝1， 2， …)， 因此不能像上面一樣求得方程的解。 這時(shí)就只能利用引理3， 先求出邊值問(wèn)題(8) 的通解， 再用定解條件確定系數(shù)， 進(jìn)而求出其解。

由式(6) 和上面求出的方程的特解， 可知邊值問(wèn)題(8) 的通解為:

又由邊值問(wèn)題(8)中的定解條件f(0)＝0，f(a)＝b， 可得:

則邊值問(wèn)題(8)的解仍為:

綜上所述， 邊值問(wèn)題(8)也就是邊值問(wèn)題(2)的解為:

4 結(jié)論

本文主要研究如下形式的邊值問(wèn)題:

求f(x) ∈C[0，a]∩C2(0，a)， 使得:

其中A，a，b均為常數(shù)， 且A ＞0， 0＜b≤a。

通過(guò)兩種方法來(lái)求解邊值問(wèn)題(*)， 其一是利用變量代換將邊值問(wèn)題(*)轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程， 進(jìn)而求出它的解析解；其二是利用引理2 與引理3， 再通過(guò)二階齊次線性微分方程的冪級(jí)數(shù)求解法求出邊值問(wèn)題(*)的解析解。

顯然， 變量代換法更為簡(jiǎn)便， 但適用范圍有限， 必須可以將方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的情形； 而冪級(jí)數(shù)求解法， 雖然更為繁瑣， 但是適用范圍較廣， 只要是形如的二階齊次線性微分方程， 其中xp(x)，x2q(x) 都能展開成x的冪級(jí)數(shù)， 就可以利用該方法并通過(guò)一定的計(jì)算進(jìn)行求解。 此類邊值問(wèn)題的這兩種求解方法可為可轉(zhuǎn)債的合理定價(jià)提供理論基礎(chǔ)。