李霞，周克民

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析是結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化的重要基礎(chǔ)[1-5]，特別是桁架[3-5]、張弦結(jié)構(gòu)[6]、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)[7]及折疊結(jié)構(gòu)[8]等工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)經(jīng)常需要進(jìn)行幾何構(gòu)造分析.目前，幾何構(gòu)造分析以幾何方法為主，靜力法等作為補(bǔ)充.對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，幾何方法較為直觀且容易理解和操作.然而，幾何方法無(wú)法解決許多實(shí)際復(fù)雜結(jié)構(gòu)，僅限于平面結(jié)構(gòu)體系[9-10].文獻(xiàn)[11-14]從矩陣位移法出發(fā)，提出的解析方法更具一般性，但其僅適用于桁架和剛架等桿系結(jié)構(gòu)，任意形狀的剛體則需要轉(zhuǎn)化為沒(méi)有多余約束的幾何不變的等效桁架結(jié)構(gòu)，但對(duì)于形狀復(fù)雜或與周圍連接較復(fù)雜的剛體，這種轉(zhuǎn)化并不容易.張速等[15]提出幾何作圖法.舒開(kāi)鷗等[16]根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)了一些性質(zhì)，對(duì)幾何分析有一定的幫助.徐子善[17]提出用齊次坐標(biāo)分析平行鏈桿約束.然而，以上方法都無(wú)法擴(kuò)展應(yīng)用的范圍.

必要約束和多余約束可以有許多組合.對(duì)于含有多余約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，認(rèn)定多余約束的方法并不唯一.對(duì)于缺少必要約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，補(bǔ)充必要約束的方法也不唯一.目前，各種分析方法都無(wú)法找出所有可能的多余約束，也不能確定所有可以補(bǔ)充必要約束的約束形式.基于此，本文提出一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析解析方法.

1 位置和約束分析

1.1 位置的表示方法

(1)

1.2 約束的向量表達(dá)式

約束包括鏈桿約束和鉸約束.連接剛體1上的點(diǎn)i和剛體2上的點(diǎn)j的鏈桿約束為

(2)

式(2)中：n為點(diǎn)i，j之間的鏈桿方向向量.

剛體1，2在點(diǎn)j的鉸約束為

(3)

如果剛體2上的點(diǎn)j沿n方向有另一點(diǎn)k，在同一個(gè)剛體上兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度不變，則有

(4)

聯(lián)立式(2)，(4)，可得

(5)

比較式(2)，(5)可知，鏈桿約束可以在剛體上沿約束向量方向等效移動(dòng)，該移動(dòng)必須在同一個(gè)剛體上(式(4)成立的條件)，這類似于力在剛體上沿力的作用線方向靜力等效移動(dòng)的性質(zhì)，故將此性質(zhì)稱為“鏈桿約束在剛體上的等效移動(dòng)”.

1.3 約束的矩陣表達(dá)式

假設(shè)系統(tǒng)有N個(gè)自由度，用向量X表示；系統(tǒng)有M個(gè)約束，用約束方程表示為

qjX=0，j=1，2，…，M.

(6)

式(6)中：qj為約束向量，約束向量與約束嚴(yán)格一一對(duì)應(yīng).

定義約束方程系數(shù)矩陣Q為

(7)

將所有約束統(tǒng)一寫(xiě)成約束方程，即

QX=0.

(8)

1.4 約束方程系數(shù)矩陣的性質(zhì)

對(duì)于幾何不變體系，所有位移為零.因此，幾何不變體系的式(8)僅有零解.約束方程系數(shù)矩陣的秩R=rank(Q)為必要約束數(shù)量，L=M-R>0，L為多余約束的數(shù)量.根據(jù)線性代數(shù)理論，式(8)僅有零解的充要條件是R=N.如果F=N-R>0，則系統(tǒng)有F個(gè)未約束的自由度.

(9)

式(9)中：pi，j是矩陣P的分量，即約束{qj，j∈Sb}線性相關(guān)，所以必然含有多余約束.

這些性質(zhì)同樣適用于平面問(wèn)題和空間問(wèn)題.簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以平面問(wèn)題為例進(jìn)行敘述.

上述是基于體系瞬時(shí)狀態(tài)的無(wú)限小位移運(yùn)動(dòng)分析，無(wú)法區(qū)分幾何瞬變體和幾何常變體，研究常變狀態(tài)需要建立一般位置的運(yùn)動(dòng)方程.

2 應(yīng)用算例

例1分析桁架結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造.

解法1：例1結(jié)構(gòu)(解法1)，如圖1所示.圖1中：1～3為研究對(duì)象(此處表示結(jié)點(diǎn))；x，y為坐標(biāo)系；括號(hào)中的數(shù)字為約束編號(hào)；圖中尺寸均無(wú)量綱，下同.

圖1 例1結(jié)構(gòu)(解法1)

以結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，共3個(gè)結(jié)點(diǎn)，作為平面問(wèn)題，共6個(gè)自由度(N=6)，6個(gè)約束(M=6).

約束方程為

(10)

式(10)中：v1～v3為位移的豎直分量；u1～u3為位移的水平分量.

約束方程的矩陣形式為

(11)

約束方程系數(shù)矩陣的秩R=5，系統(tǒng)有1個(gè)多余約束(M-R=1)，1個(gè)未約束的自由度(N-R=1).

約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后，可得

(12)

式(12)第6行為

3q1-4q2+q3+q5-3q6=0，

(13)

即約束(1)，(2)，(3)，(5)，(6)中任意1個(gè)約束都可以作為多余約束，因?yàn)閝4與其他變量線性無(wú)關(guān)，所以約束(4)是必要約束.

解法2：例1結(jié)構(gòu)(解法2)，如圖2所示.

圖2 例1結(jié)構(gòu)(解法2)

以結(jié)點(diǎn)1～3構(gòu)成的三角桁架(1個(gè)剛體)為研究對(duì)象，系統(tǒng)有3個(gè)自由度(N=3)，3個(gè)約束(M=3).

以結(jié)點(diǎn)1為基點(diǎn)，約束方程為

v1=0，u1-3θ=0， 4u1-3(v1+4θ)=0.

(14)

約束方程的矩陣形式為

(15)

經(jīng)計(jì)算可得R=2，M-R=1，N-R=1，故有1個(gè)多余約束，1個(gè)自由度.

約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后，可得

(16)

由式(16)第3行可知，3q1-4q2+q3=0，即約束向量線性相關(guān)，這說(shuō)明約束(1)～(3)中存在1個(gè)多余約束.由式(16)可知，v1=0，u1=3θ，即u1=3θ缺少1個(gè)必要約束.顯然，解法2(以剛體為研究對(duì)象)比解法1(以每個(gè)結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象)的自變量和約束方程少很多.

例23個(gè)剛片兩兩通過(guò)1對(duì)平行鏈桿連接，分析其結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造.

這是3剛片規(guī)則的1個(gè)特例，因?yàn)檫@個(gè)結(jié)構(gòu)不能采用常規(guī)的幾何構(gòu)造分析方法，只能采用“無(wú)限遠(yuǎn)”的概念[1-2]，該概念在歐氏幾何中并未定義，是一個(gè)很模糊的概念，缺乏理論依據(jù).

采用解析方法，以第3個(gè)剛片為基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)如圖3所示.圖3中：1，2為研究對(duì)象(此處表示剛片).3對(duì)平行鏈桿方向分別記作n1=n2，n3=n4和n5=n6，并假設(shè)鉸的位置不重合.由于兩對(duì)平行鏈桿(1)-(2)，(3)-(4)導(dǎo)致兩個(gè)剛片都只能平動(dòng)，分別記作V1，V2，共2個(gè)自由度.

圖3 例2結(jié)構(gòu)

平行鏈桿約束(5)-(6)為

(V1-V2)·n5=0.

(17)

由于剛片1，2瞬時(shí)平動(dòng)，所以每個(gè)剛片上任意位置的速度各自相同，而約束(5)-(6)的兩個(gè)鏈桿平行，約束向量也相同，故兩個(gè)平行鏈桿的約束表達(dá)式一樣，完全等價(jià)，有1個(gè)多余約束，1個(gè)必要約束.因此，還存在1個(gè)自由度，該體系是有1個(gè)多余約束，1個(gè)自由度的幾何可變體系.

上述分析也可用解析形式表達(dá)，兩對(duì)平行鏈桿約束(1)-(2)，(3)-(4)為

(18)

平行鏈桿約束(5)-(6)為

(19)

(20)

(21)

6個(gè)約束可寫(xiě)成線性方程組形式，即

(22)

(23)

約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后，可得

(24)

式(23)表示當(dāng)平行鏈桿不重合，當(dāng)且僅當(dāng)約束不相互平行(n1≠n3≠n5)時(shí)，約束方程系數(shù)矩陣的秩R=5，M-R=1，N-R=1，體系有1個(gè)多余約束，1個(gè)未約束的自由度.當(dāng)3對(duì)平行鏈桿相互平行(n1=n3=n5)時(shí)，約束方程系數(shù)矩陣會(huì)增加1個(gè)線性相關(guān)的關(guān)系，因此，會(huì)多1個(gè)多余約束，少1個(gè)必要約束，R=3，M-3=2，N-R=2，體系有2個(gè)多余約束，2個(gè)未約束的自由度.

例3例3結(jié)構(gòu)及分析過(guò)程，如圖4所示.

(a)原結(jié)構(gòu) (b)結(jié)構(gòu)1

解法1：例3結(jié)構(gòu)用常規(guī)方法分析較為復(fù)雜，采用解析方法(鏈桿在剛體上等效移動(dòng))則非常簡(jiǎn)單.約束(12)，(13)，(15)，(16)在支座方向分別沿桿件4-1，6-7，2-1和8-7移動(dòng)到結(jié)點(diǎn)1，7，形成結(jié)構(gòu)1(圖4(b))；依次去除二元體，形成結(jié)構(gòu)2(圖4(c)).顯然，結(jié)點(diǎn)1，7各有1個(gè)多余約束，結(jié)點(diǎn)3，5在豎直方向各有1個(gè)自由度.去除2個(gè)多余約束，在2個(gè)自由度方向施加2個(gè)約束，形成結(jié)構(gòu)3(圖4(d))，這是沒(méi)有多余約束的幾何不變體系.因此，原結(jié)構(gòu)是有2個(gè)多余約束，2個(gè)自由度的幾何可變體系.

采用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的代數(shù)方法進(jìn)行分析.約束方程系數(shù)矩陣Q的秩為R=14，N=M=16，M-R=2，N-R=2，故有2個(gè)多余約束，2個(gè)自由度.

(25)

q1+q2+q3+q8-q9+q13-q14-q16=0，q4-q5+q12-q14+q15=0，

(26)

即約束(式(1)，(2)，(3)，(8)，(9)，(13)，(14)和(16))及(式(4)，(5)，(12)，(14)和(15))每組約束中各有1個(gè)多余約束.

約束方程經(jīng)行初等變換后，可分解為

u1=v1=v2=u3=u5=u7=v7=v8=0，

(27)

u2=v3=u4=v4， -v5=u6=-v6=u8.

(28)

式(27)，(28)中：式(27)各項(xiàng)對(duì)應(yīng)約束自由度；(u2，v3，u4，v4)，(v5，u6，v6，u8)兩組位移中各有1個(gè)自由度，即這兩組位移中對(duì)應(yīng)各施加1個(gè)約束，成為幾何不變體系(式(28)也同時(shí)表示了幾何可變體系的變形形態(tài)).

解法2：以結(jié)點(diǎn)1～4和結(jié)點(diǎn)5～8分別圍成的部分各構(gòu)成2個(gè)剛片，以其為研究對(duì)象，結(jié)構(gòu)如圖5所示.以每個(gè)剛片的左下角結(jié)點(diǎn)2，6為基點(diǎn)，約束方程為

圖5 例3結(jié)構(gòu)(解法2)

(29)

約束方程經(jīng)行初等變換后，可得

u2=θ1，v2=0，u6=-v6=θ2，

(30)

-q1+q2+q3=0， -q1+q4-q5+q6=0.

(31)

由式(30)，(31)可知：(u2，θ1)，(u6，v6，θ2)兩組位移中各有1個(gè)自由度，各缺少1個(gè)必要約束；兩組約束(式(1)，(2)和(3))，(式(1)，(4)，(5)和(6))中各有1個(gè)多余約束.

3 結(jié)束語(yǔ)

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析方法為結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析提供了有效的方法，特別是對(duì)采用幾何方法分析有困難的問(wèn)題，其效果更為顯著.該方法可以得到更多的結(jié)構(gòu)信息，還可以直接應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)的幾何組成分析，無(wú)需補(bǔ)充更多規(guī)則和技巧.