福建省福清第三中學(350315) 何燈

一、緣起

極值點偏移問題起源于2010年天津卷(理科數(shù)學第21題,本文例6),2016年(全國I卷理科數(shù)學第21 題)與2021年(新高考I卷第22 題,本文例4)又再次進入人們的視野,考查頻率之高,可見一斑.此類問題以導數(shù)為背景考察學生運用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想解決函數(shù)問題的能力,能夠很好考查學生的綜合素養(yǎng),更是值得深入探究的好素材.

近幾年,筆者一直關(guān)注此類問題的研究,并搜集了大量相關(guān)的?？荚囶},進行整理分析,研究發(fā)現(xiàn): 各類相關(guān)試題雖然所取的函數(shù)模型各不相同,但大部分函數(shù)模型之間可以通過適當?shù)拇鷵Q進行相互轉(zhuǎn)化,從而實現(xiàn)多題歸一.

二、基本模型

定理函數(shù),x1,x2為兩個不相等的正數(shù),滿足F(x1)=F(x2),則

證明求導得由F′(x)＞0得x ＜e1-λ,F′(x)＜0 得x ＞e1-λ, 從而F(x)關(guān)于x在(0,e1-λ)單調(diào)遞增, 在(e1-λ,+∞)單調(diào)遞減.不妨設(shè)x1＜x2, 則0＜x1＜e1-λ ＜x2, 令由F(x1)=F(x2)得化簡得從而由基本不等式易得下面證明

綜上,定理成立.

將定理中的變量做適當?shù)拇鷵Q,可得下列三個推論.

推論1函數(shù)x1,x2為兩個不相等的正數(shù),滿足f1(x1)=f1(x2),則

證明分別將定理中x、x1、x2替換為x2、x21、x22,λ替換為2μ, 得F(x2)= 2f1(x)、F(x21)= 2f1(x1)、F(x22)=2f1(x2),式①經(jīng)上述代換即為式②.

推論2函數(shù)f2(x)=x(λ-lnx),x1,x2為兩個不相等的正數(shù),滿足f2(x1)=f2(x2),則

證明分別將定理中x、x1、x2替換為得由式①得化簡可得式③.

推論3函數(shù)為兩個不相等的實數(shù),滿足f3(x1)=f3(x2),則

證明分別將定理中x、x1、x2替換為ex、ex1、ex2, 得F(ex)=f3(x)、F(ex1)=f3(x1)、F(ex2)=f3(x2),式①經(jīng)上述代換即為式④.

三、模型應(yīng)用

例1(泉州市2022 屆高三質(zhì)檢第22 題)已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若(ex1)x2= (ex2)x1,且x1,x2＞0,x1≠x2,證明:x21+x22＞2.

分析由(ex1)x2=(ex2)x1得x2(lnx1+1)=x1(lnx2+1), 即令定理中λ= 1, 由式①可得其中即x21+x22＞2.

例2(雅安市2022 屆高三質(zhì)檢理數(shù)第21 題)已知函數(shù)

分析g(x)=lnx-2ax+2,由g(x)=0 得2a,則在定理中令λ= 2,由式①可得其中即

例3(保定市2021-2022 學年聯(lián)考第22 題)已知函數(shù)

(1)若f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

(2)若實數(shù)x1,x2是方程f′(x)= 0 的兩個不等實根,證明:x1x2＞e.

分析由f′(x)= 0 得則在推論1 中令μ= 0, 由式②可得此不等式鏈包含待證不等式x1x2＞e.

例4(2021年新高考I卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明:

分析由blna-alnb=a-b得即令則問題轉(zhuǎn)化為f(x1)=f(x2), 求證2_＜_x1+x2＜e.令推論2 中λ= 1, 由式③得即2＜x1+x2＜e.

例5(龍巖一中2021-2022 學年半月考第22 題)設(shè)函數(shù)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,求a的取值范圍,并證明:2a ＜x1+x2＜1.

分析由條件可證0＜a ＜e,要證明2a ＜x1+x2＜1,只需證明由f(x)= 0 得a=-xlnx,從而-x1lnx1=-x2lnx2, 令推論2 中λ= 0, 由式③可得即

例6(2010年高考天津卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x ∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1 對稱,證明: 當x ＞1 時,f(x)＞g(x);

(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

分析令推論3 中λ= 0, 由式④得即x1+x2＞2.

例7(清遠市2021-2022 學年質(zhì)檢第22 題)已知函數(shù)f(x)=ex-1-a(x-1).

(1)討論f(x)的零點個數(shù);

(2)若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,證明:x1+x2＞4.

分析由條件得令推論3 中λ=0,分別將x、x1、x2替換為x-1、x1-1、x2-1,由式④得即x1+x2＞4.

四、結(jié)束語

每年的高考數(shù)學試題,命題者總在穩(wěn)中求變、求新,突出試卷設(shè)計創(chuàng)新,優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、創(chuàng)新設(shè)計理念、變換題型和設(shè)問方式、改變試題的排列順序[1].年年歲歲花相似,歲歲年年題相同,試題雖然?？汲Ｐ?但是萬變不離其宗,對于一類問題,如果能夠牢牢抓住其本質(zhì)的部分,那么不論其如何改變,均可從容應(yīng)對,泰然處之.

在平時的學習中,問題的正確求解,只是讓學生看到一棵棵的“樹木”,但做好解后反思、題型歸類、方法總結(jié),卻能夠使學生見到一片片的“森林”.教師應(yīng)有意識的引導學生養(yǎng)成勤反思、勤歸納、勤總結(jié)的習慣,久久為功,點點滴滴匯聚成學生的數(shù)學核心素養(yǎng).