廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 蔡曉波

一、試題評析與學(xué)生答題情況

題目(2021年新高考全國I卷第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時, 發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20 dm×12 dm 的長方形紙, 對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm 兩種規(guī)格的圖形, 它們的面積之和S1= 240 dm2, 對折2 次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2= 180 dm2, 以此類推.則對折4 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;如果對折n次,那么

答案: 720-240·.(過程從略)

1.評注本題填空題最后一道題,具有一定的靈活性、趣味性與可探究性,很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.題目以“剪紙”為背景,考查了學(xué)生對幾何,數(shù)列等知識的掌握,很好的考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等方面的核心素養(yǎng)能力.

2.一點建議對于該題目筆者有一點建議,根據(jù)常識,我們可以知道紙張有一定厚度,每對折一次,那么厚度就增加一倍,不斷進行下去,厚度會呈指數(shù)增長,無法一直對折下去的.另外,對折后紙張的大小也會因為對折而損耗.而此題顯然必須忽略這些因素的.因此,筆者覺得題目應(yīng)該加多一句話“紙張的厚度忽略,且不計對折時的損耗”,這樣題目會更加嚴謹,更加體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想.

3.學(xué)生答題現(xiàn)狀筆者所在省份恰是今年參加新高考全國I卷的省份,筆者恰好是該屆的高三教師.6月9日高考完畢后,筆者找了一些學(xué)生了解該題的答題情況.

有一部分學(xué)生讀完題目之后覺得數(shù)據(jù)繁多, 或者未能“讀”懂題目,因此放棄該題.該部分學(xué)生一般有兩方面因素導(dǎo)致該題未能解出: (1)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱,加上本題的特殊位置,因此“懼”由心生.(2)缺乏數(shù)學(xué)建模建模能力,未能將題目所說的“對折”轉(zhuǎn)化為長或?qū)挸? 的代數(shù)問題.

另一部分學(xué)生(占大多數(shù))是仔細分析每次對折后的形狀尺寸,得到類似于如下的規(guī)律:

對折次數(shù)紙張尺寸(dm×dm)不同規(guī)格數(shù)單個圖形面積0 20×12 1 240__1 10×12 20×6 2 120__2 5×12 10×6 10×6 20×3 3 60__3 2.5×12 5×6 5×6 10×3 5×6 10×3 10×3 20×1.5 4 30__············__

由此歸納推理出對折4 次得到5 種不同規(guī)格的圖形;并猜想出對折n次得到n+1 個不同規(guī)格的圖形,單個圖形尺寸為從而得出:

此部分學(xué)生能夠善于由特殊到一般來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進行歸納猜想.在考試時間有限的背景下,作為一個填空題來說,不失為一種好方法,然而對于數(shù)學(xué)來說,明顯是不嚴謹?shù)?當我問及他們,你們覺得這樣做嚴謹嗎? 大部分學(xué)生說,知道不嚴謹,但是沒有其它方法.但有1 個學(xué)生說,應(yīng)該是每對折一次相當于對長或者寬除以2,那么第n次就應(yīng)該是對長或?qū)捒偣渤薾次2,但是由于是考試且此題得出的規(guī)律性比較明顯,故不敢去深入研究.

二、試題的探究

至此,我們不禁有如下疑問,如何不用歸納猜想,而是用嚴格推理來解決本道題呢? 改變題目中紙張的規(guī)格呢? 是否依然有相同的規(guī)律? 筆者探究得出如下結(jié)論:

結(jié)論1長為a,寬為b(a≥b)的長方形紙張,且a,b滿足(n0∈N), 沿紙的某條對稱軸(非對角線)把紙對折(紙張的厚度忽略, 且不計對折時的損耗), 則對折n次可以得到n+1 種不同規(guī)格的圖形, 它們的面積之和為Sn=(n+1)ab/2n.

證明設(shè)在n次對折后長為a的邊變?yōu)閤,長為b的邊變?yōu)閥,用x×y表示該規(guī)格的尺寸.每對折一次相當于對長或?qū)捴械囊贿叧艘詣t對折n次后可得到的這張規(guī)格為:單個尺寸的面積為

顯然,此時共有n+1 種x×y的規(guī)格.對于不同的i,對應(yīng)的x顯然不同,y也不相同;因此若存在不相等的i,j(不妨設(shè)i ＜j)使得這n+1 種x×y規(guī)格中存在相同的規(guī)格,則必有:

結(jié)論2長為a,寬為b(a≥b)的長方形紙張,且a,b滿足沿紙的某條對稱軸(非對角線)把紙對折(紙張的厚度忽略,且不計對折時的損耗),則有:

(1)當n≤n0時,對折n次可以得到n+1 種不同規(guī)格的圖形,它們的面積之和為

(2)當n ＞n0時,

①當n - n0為奇數(shù)時, 對折n次可以得到種不同規(guī)格的圖形, 它們的面積之和為Sn=

②當n-n0為偶數(shù)時,對折n次可得種不同規(guī)格的圖形,它們的面積之和為

證明為了節(jié)省篇幅,沿用結(jié)論1 證明過程中的符號.由結(jié)論1 的證明過程可得:n次對折后有n+1 種x×y的規(guī)格, 單個規(guī)格的面積為若這n+1 種規(guī)格有相同的規(guī)格, 則有(i,j ∈N,0 ≤i ＜j≤n), 因為故

由i,j ∈N,0 ≤i ＜j≤n,故1 ≤i+j≤2n-1.

(1)當n+n0≥2n,即n≤n0時,方程(*)無解,此時這n+1 種x×y的規(guī)格各不相同.故可得n+1 種不同規(guī)格的圖形,它們的面積之和為

(2)當n+n0＜2n即n ＞n0時,方程(*)有解.

①當n-n0為偶數(shù)時,不妨設(shè)n-n0= 2m(m ∈N),則方程(*)的解為:

②當n-n0為奇數(shù)時,不妨設(shè)n-n0=2m-1(m ∈N),則方程(*)的解為:

根據(jù)結(jié)論2,我們不難得出如下推論:

推論1正方形紙張,沿紙的某條對稱軸(非對角線)把紙對折(紙張的厚度忽略,且不計對折時的損耗),則有:

①當n為奇數(shù)時,對折n次可以得到種不同規(guī)格的圖形,它們的面積之和為

②當n為偶數(shù)時,對折n次可得種不同規(guī)格的圖形,它們的面積之和為

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.數(shù)學(xué)中,數(shù)和形是兩個最主要的研究對象, 它們之間有著十分密切的聯(lián)系,對于結(jié)論1, 我們?nèi)サ魩缀伪尘? 進一步推廣可得如下的結(jié)論:

結(jié)論3有m(m≥2,m ∈N)個互不相等的正實數(shù):a1＜a2＜··· ＜am組成一個集合A0={a1,a2,··· ,am},且第1 次對集合A0中某1個元素乘以得到新的m個實數(shù):b1,b2,··· ,bm構(gòu)成集合A1;第2 次再繼續(xù)對集合A1中某1 個元素乘以得到新的m個實數(shù)c1,c2,··· ,cm構(gòu)成集合A2,··· ,如此進行下去,則第n次后可得到不同的集合An有個.

證明因為集合A0的元素滿足:2n0(i,j,n0∈N,i ＞j), 故進行第n次后仍然得到m個不同的實數(shù),故An的元素個數(shù)為m.因為每次是對某一個元素乘以故第n次后這m個不同的實數(shù)可表示為:

依題意可得:

方程(**)的解的個數(shù)等價于如下的排列組合問題: 把n+m相同的小球,放入m個不同的盒子,每個盒子至少放1 個,則有多少種不同的放入方案? 利用排列組合的知識不難得出有種方案,故方程(**)有組解.

因為集合A0的元素滿足:i ＞j), 類似于結(jié)論1 的證明可知這組解中每組解對應(yīng)的集合各不相同,故第n次后可得到不同的集合An有個.顯然, 當m= 2 時, 即為結(jié)論1 的情形; 當m=3 時,賦予實際的幾何意義可得如下推論2.

我們先來看一個定義: 長方體的中點對稱面是指過長方體中相互平行4 條棱中點的平面稱為該長方體的中點對稱面.顯然,每個長方體有3 個這樣的中點對稱面.

推論2長為a, 寬為b, 高為c(a ＞b ＞c)長方體,且a,b,c滿足每次沿著長方體的某一個中點對稱面把長方體切開, 則第n次后可以得到種不同規(guī)格的小長方體.

推論3長為a,寬為b,高為c(a ＞b ＞c長方體,且a,b,c滿足每次沿著長方體的2 個中點對稱面把長方體切開,則第n次后可以得到種不同規(guī)格的小長方體.

分析每個長方體均有3 個中點對稱面,每次沿著長方體的2 個中點對稱面把長方體切開等價于把長方體的長、寬、高中的2 個乘以另外1 個沒有變化;而推論2 中等價于每次把長方體的長、寬、高中的2 個沒有變化,另外1 個乘以故推論2 與推論3 的所有情況一一對應(yīng),故由推論2 可得推論3.

三、結(jié)束語

至此,我們對2021年新高考全國I卷第16 題進行了歸納發(fā)現(xiàn)、猜想、證明、推廣的完整探究過程.歸納推理是數(shù)學(xué)的一種重要推理能力,當然,歸納猜想出來的結(jié)論還需要進行嚴格證明.而推廣探究能讓我們充分的感受到數(shù)學(xué)的美,能讓我們挖掘出問題的本質(zhì)所在,從而達到以變應(yīng)變的效果.根據(jù)以上探究我們可以編得如下習(xí)題給學(xué)生練習(xí):

1.長為5,寬為4,高為3 長方體,每次沿著長方體某一組相互平行4 條棱的中點把長方體切開,則第n次后可以得到an種不同規(guī)格的小長方體,求(答案為:)

2.有一張正方形紙,每次沿非對角線的某一條對稱軸對折(紙張的厚度忽略,且不計對折時的損耗),則對折2021 次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;若要得到2021 個不同規(guī)格的圖形, 則至少必須對折____次.(答案為: 1011;4040)