曹廣福

摘要：小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)，要注意通過合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，領(lǐng)悟內(nèi)在原理，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練?！?、5、3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)，不能只引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析、歸納概括來發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得到結(jié)論，還要通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步搞清楚結(jié)論的內(nèi)在原理，把握十進(jìn)位值制記數(shù)法這一本質(zhì)，體會(huì)數(shù)位分解這一思想方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;2、5、3的倍數(shù)的特征;數(shù)位分解

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也需要通過有效的措施，“使學(xué)生得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練”。但如何落實(shí)到具體的課堂，則對(duì)一線教師提出了挑戰(zhàn)。本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第二單元《因數(shù)與倍數(shù)》第二節(jié)“2、5、3的倍數(shù)的特征”為例，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的思維訓(xùn)練。

一、止步于不完全歸納法的教學(xué)，思維訓(xùn)練便無從談起

“2、5、3的倍數(shù)的特征”通常是分為《2和5的倍數(shù)的特征》《3的倍數(shù)的特征》兩節(jié)課來教學(xué)的。也就是說，學(xué)生對(duì)“3的倍數(shù)的特征”的認(rèn)識(shí)，是建立在學(xué)習(xí)了“2、5的倍數(shù)的特征”的基礎(chǔ)上的。

先來看《2、5的倍數(shù)的特征》一課的教學(xué)。有一份教案設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)過程：

【片段1】 發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)的特征

1.出示幾道有關(guān)5的乘法算式，讓學(xué)生口算。

2.師：觀察這些算式有什么共同點(diǎn)？（都是一個(gè)數(shù)乘5）這說明算式結(jié)果跟什么數(shù)有關(guān)系？是什么關(guān)系？（都是5的倍數(shù)）

3.師：你知道怎樣的數(shù)是5的倍數(shù)了嗎？請(qǐng)仔細(xì)觀察這些數(shù)。

4.學(xué)生自由發(fā)揮，教師輔助總結(jié)。

5.得出結(jié)論：個(gè)位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)。

6.驗(yàn)證：學(xué)生自己出幾個(gè)數(shù)，然后計(jì)算。發(fā)現(xiàn)：都與個(gè)位有關(guān)系。

7.小結(jié)研究方法：口算—觀察—驗(yàn)證—結(jié)論。

【片段2】 發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)的特征

1.出示幾道有關(guān)2的乘法算式，讓學(xué)生口算。

2.師：大家知道我們接下去要研究什么了嗎？（2的倍數(shù)的特征）猜想一下：會(huì)跟什么有關(guān)系？

3.師：大家能用剛才的方法自己研究嗎？

4.小組合作，教師巡視指導(dǎo)。

5.反饋：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

6.隨機(jī)出幾個(gè)數(shù)，讓學(xué)生列算式驗(yàn)證。

7.師：這些數(shù)，我們平時(shí)叫作雙數(shù)，在這里叫作偶數(shù);2的倍數(shù)叫作偶數(shù)。

8.師：你能說幾個(gè)偶數(shù)嗎？誰又能說幾個(gè)特殊的偶數(shù)呢？最大的偶數(shù)是——（沒有）最小的偶數(shù)呢？（0）

9.師：偶數(shù)的近義詞是什么？（雙數(shù)）那反義詞呢？（單數(shù)、奇數(shù)）

上述教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，歸納出結(jié)論。這種方法稱為不完全歸納法。然而，學(xué)生雖然得到了結(jié)論，卻沒有進(jìn)一步思考“為什么判斷一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個(gè)位數(shù)”。缺少了這一步，學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，又如何能理解“判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，要看各位上數(shù)的和”？

這種從個(gè)別現(xiàn)象出發(fā)，通過不完全歸納得出一般結(jié)論的教學(xué)方法，對(duì)于小學(xué)低年級(jí)學(xué)生是合適的，因?yàn)樗麄兩刑幱诖龁⒚呻A段，還不具備理解數(shù)學(xué)原理的能力。對(duì)于學(xué)生思維能力的缺失，有人認(rèn)為：“根本原因就在于，從一年級(jí)開始回避算理、原理、思想方法，到了高年級(jí)，學(xué)生也不會(huì)。思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣是從小開始慢慢養(yǎng)成的，低年級(jí)、中年級(jí)不感悟，到了五年級(jí)突然讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可能會(huì)嗎？只有幾個(gè)‘學(xué)霸可能會(huì)?！碧拱讈碚f，我不完全贊同這段話。人的認(rèn)知發(fā)展需要經(jīng)歷啟蒙、啟智等若干階段。小學(xué)低年級(jí)學(xué)生好比一張白紙，無論是知識(shí)積累還是思維能力都很欠缺，他們需要的是啟蒙。企圖對(duì)低年級(jí)學(xué)生講清楚一些數(shù)學(xué)概念或結(jié)論的“所以然”恐怕是徒勞的，只能通過一些具體的例子讓他們體會(huì)。高年級(jí)學(xué)生經(jīng)過了幾年的學(xué)習(xí)，通過“例子+歸納”的方法初步積累了一定的知識(shí)，大腦也日漸發(fā)育成熟，具備了一定的認(rèn)知建構(gòu)能力和邏輯思辨能力，能夠感悟數(shù)學(xué)的基本原理了。這時(shí)候的教學(xué)如果還是停留在不完全歸納法的層面，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力將很難得到提升。

二、通過合適的問題，領(lǐng)悟內(nèi)在原理，思維才能螺旋上升

（一）“2、5的倍數(shù)的特征”的教學(xué)

根據(jù)2、5的倍數(shù)特征的內(nèi)在原理，我們可以重新設(shè)計(jì)問題鏈。

問題1同學(xué)們回顧一下，20與10、300與100、4000與1000之間分別是什么關(guān)系？

學(xué)生應(yīng)該不難回答：20表示兩個(gè)10相加或10的2倍，即20=10+10=2×10;300表示三個(gè)100相加或100的3倍，即300=100+100+100=3×100;類似地，4000=1000+1000+1000+1000=4×1000。

分析這個(gè)問題，是為了后面的數(shù)位分解。

問題2如果兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)的各位上的數(shù)都不等于0呢？例如，985、211是什么意思？

這個(gè)問題，學(xué)生回答起來可能有一定的難度，因此，不妨稍微分解一下：百位數(shù)為9是什么意思？十位數(shù)為8是什么意思？由此，學(xué)生可以得到：985指的是9個(gè)100、8個(gè)10與1個(gè)5的和，即985=9×100+8×10+5;類似地，211=2×100+10+1。

這樣分解是為了后面進(jìn)一步分析得到：由于十位數(shù)、百位數(shù)、千位數(shù)所表示的數(shù)都是2、5的倍數(shù)，所以關(guān)鍵看個(gè)位數(shù)是不是2、5的倍數(shù)。但是到這一步還不夠，因?yàn)檫@里涉及幾個(gè)數(shù)的和，需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析。

問題3如果兩個(gè)數(shù)都是2的倍數(shù)，它們的和或差是不是2的倍數(shù)？如果一個(gè)數(shù)是2的倍數(shù)，另一個(gè)數(shù)不是2的倍數(shù)，它們的和或差是否可能是2的倍數(shù)？請(qǐng)通過例子說明你的答案。

學(xué)生不難舉例說明（教師可以適當(dāng)引導(dǎo)）。例如，14、24都是2的倍數(shù)，所以14+24也是2的倍數(shù)，因?yàn)椋?4+24）÷2=14÷2+24÷2=7+12=19。又如，14是2的倍數(shù)，11不是2的倍數(shù)，所以14+11不是2的倍數(shù)——因?yàn)槿绻?4+11是2的倍數(shù)的話，那么（14+11）-14也應(yīng)該是2的倍數(shù)，但這是不可能的。

有了這些準(zhǔn)備，就可以拋出主要問題了。

問題4你能總結(jié)出什么數(shù)是2或5的倍數(shù)的一般規(guī)律嗎？不妨多觀察幾個(gè)例子。

課堂上，可以由教師給出若干個(gè)數(shù)，或由學(xué)生自行擬出若干個(gè)數(shù)，進(jìn)行歸納或檢驗(yàn)。學(xué)生應(yīng)當(dāng)不難得到結(jié)論：如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)是2的倍數(shù)，則該數(shù)一定是2的倍數(shù);如果一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)是5或0，則該數(shù)一定是5的倍數(shù)。

要讓學(xué)生搞清楚原理，我們還需要往前再走一步。

問題5為什么看一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)就能知道一個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)？你能以若干個(gè)兩位數(shù)和三位數(shù)為例，解釋清楚其中的道理嗎？

基于之前的數(shù)位分解以及“和、差倍數(shù)關(guān)系不變性”，學(xué)生是可以舉例說明的（教師也可適當(dāng)引導(dǎo)）。例如，212=2×100+10+2，211=2×100+10+1，由于2×100與10都是2的倍數(shù)，2也是2的倍數(shù)，所以212應(yīng)該是2的倍數(shù);但1不是2的倍數(shù)，所以211應(yīng)該不是2的倍數(shù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)位分解的除法計(jì)算來驗(yàn)證：212÷2=（2×100+10+2）÷2=2×100÷2+10÷2+2÷2=100+5+1=106。

在此基礎(chǔ)上，教師還可以進(jìn)一步幫助學(xué)生總結(jié)一個(gè)數(shù)是2或5的倍數(shù)的一般規(guī)律：因?yàn)槭粩?shù)、百位數(shù)、千位數(shù)、萬位數(shù)等都是10的倍數(shù)，它們都是2、5的倍數(shù)，它們的和當(dāng)然也是2、5的倍數(shù)，所以只要個(gè)位數(shù)是2或5的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就一定是2或5的倍數(shù)。

這里，讓學(xué)生通過數(shù)字舉例解釋一般的道理，而不通過一般的字母表達(dá)給出嚴(yán)格（形式化）的證明，正是基于學(xué)生年齡特點(diǎn)與接受能力的考慮，體現(xiàn)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的思想。

（二）“3的倍數(shù)的特征”的教學(xué)

關(guān)于3的倍數(shù)的特征，教材提供了一份圖表（見下頁圖1）讓學(xué)生觀察、分析，歸納出結(jié)論;同時(shí)，在這一節(jié)的練習(xí)后安排了一個(gè)《你知道嗎？》欄目（見下頁圖2），嘗試讓學(xué)有余力的學(xué)生搞清楚2、5、3的倍數(shù)特征的內(nèi)在原理。

不過，竊以為，搞清楚2、5、3的倍數(shù)特征的內(nèi)在原理應(yīng)該是課內(nèi)的教學(xué)內(nèi)容，不應(yīng)該放在課外閱讀性質(zhì)的欄目中;而且，教材的設(shè)計(jì)并沒有講清楚為什么要對(duì)24與2485做數(shù)位分解，依然是告知式的，并沒有引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)分析這類問題的內(nèi)在思想方法——數(shù)位分解。

因此，教師應(yīng)該努力讓學(xué)生明白，為什么需要通過數(shù)位分解來分析數(shù)的倍數(shù)特征。我們可以通過問題鏈，層層遞進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生做更深入、更細(xì)致的探索與思考。

問題1為什么11不是3的倍數(shù)，而12是？

回答這個(gè)問題要做除法，自然涉及前面的數(shù)位分解。11=10+1;10除以3商3余1，可以將10寫成9+1，于是11=9+1+1=9+2;由于9是3的倍數(shù)，2不是3的倍數(shù)，所以11不是3的倍數(shù)。12=10+2=9+1+2=9+3，顯然9與3都是3的倍數(shù)，所以12是3的倍數(shù)。

這個(gè)方法可以運(yùn)用到一般的數(shù)上。教師可以列舉若干個(gè)三位數(shù)甚至四位數(shù)、五位數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考。

問題2111是不是3的倍數(shù)？112呢？

有了前面的分析，學(xué)生應(yīng)該能自主寫出下面的式子：111=1×100+1×10+1=1×（99+1）+1×（9+1）+1=1×99+1×9+1+1+1=1×99+1×9+3。由于1×99、1×9、3都是3的倍數(shù)，所以111是3的倍數(shù)。同理可得，112=1×99+1×9+4，由于1×99、1×9是3的倍數(shù)，而4不是3的倍數(shù)，所以112不是3的倍數(shù)。

問題3能不能列舉幾個(gè)四位數(shù)與五位數(shù)，說明什么樣的數(shù)是3的倍數(shù)，什么樣的數(shù)不是3的倍數(shù)？

學(xué)生能舉出的最簡(jiǎn)單的數(shù)，當(dāng)然是1110、11112之類的數(shù)。在處理方法上，與前面幾個(gè)數(shù)沒有任何不同：1110=1×1000+1×100+1×10=1×（999+1）+1×（99+1）+1×（9+1）=1×999+1×99+1×9+1+1+1=1×999+1×99+1×9+3;因?yàn)?×999、1×99、1×9、3都是3的倍數(shù)，所以1110是3的倍數(shù)。同理可得，11112也是3的倍數(shù)。

問題4上述分析方法能不能用來分析任意正整數(shù)何時(shí)是3的倍數(shù)？一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)與這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)是不是3的倍數(shù)有關(guān)嗎？

學(xué)生對(duì)這個(gè)問題應(yīng)該不會(huì)感到困難了，至少可以通過若干個(gè)兩位數(shù)來檢驗(yàn)。例如，13、16、19的個(gè)位數(shù)都是3的倍數(shù)，但這幾個(gè)數(shù)都不是3的倍數(shù);11、22、14、25、17、28等也不是3的倍數(shù)。這說明，無論個(gè)位數(shù)是多少，這個(gè)數(shù)都有可能不是3的倍數(shù)。

問題5為什么通過個(gè)位數(shù)不能判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)？能不能通過一兩個(gè)具體的兩位數(shù)來說明？能列舉幾個(gè)更復(fù)雜的三位數(shù)說明上面的結(jié)論嗎？

學(xué)生可以任意舉出之前的例子（如11、12），或其他更復(fù)雜的例子（如459=4×99+5×9+18、557=5×99+5×9+17）來說明。

小學(xué)生的認(rèn)知水平和抽象思維畢竟有限，不可能通過幾個(gè)例子便觸類旁通地總結(jié)出規(guī)律。因此，讓學(xué)生反復(fù)列舉各種例子，正是為了讓他們經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練，慢慢地從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。接下來，就可以進(jìn)入最本質(zhì)的問題了。

問題6分析一下，上述459的分解式中的18與557的分解式中的17是怎么得到的？

由于經(jīng)過了較多例子的重復(fù)檢驗(yàn)，學(xué)生只要稍微仔細(xì)一點(diǎn)，便容易發(fā)現(xiàn)18與17分別是459與557的各位上數(shù)相加得到的，即18=4+5+9，17=5+5+7。

問題7上面的答案具有一般性嗎？試著判斷896532是不是3的倍數(shù)，能不能說清楚其中的道理？

有了前面的若干例子做基礎(chǔ)，學(xué)生有理由猜測(cè)：由于8+9+6+5+3+2=33，33是3的倍數(shù)，所以這個(gè)數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)。當(dāng)然，僅有這個(gè)猜測(cè)還不夠，還要說清楚其中的道理。教師可以引導(dǎo)學(xué)生模仿前面的方法做詳細(xì)的分析：

896532=8×100000+9×10000+6×1000+5×100+3×10+2

=8×（99999+1）+9×（9999+1）+6×（999+1）+5×（99+1）+3×（9+1）+2

=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+8+9+6+5+3+2

=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+33;

由于8×99999、9×9999、6×999、5×99、3×9都是3的倍數(shù)，33也是3的倍數(shù)，所以896532是3的倍數(shù)。33是896532各位上數(shù)的和。

問題8通過上面一系列分析，你如何判斷任意正整數(shù)是不是3的倍數(shù)？

學(xué)生很容易得到結(jié)論：各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)。

能完成上面一系列問題的分析，對(duì)一般學(xué)生來說，已經(jīng)足夠了。不過，對(duì)優(yōu)秀學(xué)生來說，還可再往前走一步。課堂上，可以拋出更一般（用字母表達(dá)）的問題，讓學(xué)生思考嚴(yán)格（形式化）的證明，但不宜做強(qiáng)制性要求。

思考題假設(shè)a1a2…an是一個(gè)n位數(shù)，其中a1是1到9之間的任意數(shù)，ai（i>1）為0到9之間的任意數(shù)，試說明：當(dāng)a1+a2+…+an為3的倍數(shù)時(shí)，a1a2…an是3的倍數(shù);反之亦然。