萬里勇,鄧 田

(1.南昌工學(xué)院 人工智能學(xué)院,江西 南昌 330108;2.江西師范大學(xué) 管理科學(xué)與工程研究中心,江西 南昌 330022)

高斯噪聲常產(chǎn)生于圖像的拍攝、傳輸和處理的過程中，對后續(xù)的圖像處理與分析產(chǎn)生負(fù)面影響，對其有效去除非常必要.高斯噪聲服從零均值的高斯分布，相對于其他類型的噪聲，高斯噪聲的去除往往難度較大，噪聲去除與紋理細(xì)節(jié)的保持往往難以同時(shí)達(dá)到理想的效果.高斯噪聲的數(shù)學(xué)模型為

Y=X+σN,

(1)

其中：X和Y分別為原圖像和噪聲圖像;σ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，即噪聲強(qiáng)度;N為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布：N～(0,1).空間域去噪算法，比如均值濾波[1]以及加權(quán)均值濾波算法[2]，對高斯噪聲的去除性能難以達(dá)到圖像處理時(shí)的質(zhì)量要求.而小波變換因?yàn)榫哂袌D像的稀疏表示、時(shí)頻局部化以及多分辨率分析等良好性能，被廣泛應(yīng)用于圖像濾波.最初，文獻(xiàn)[3]在高斯模型下，應(yīng)用多維獨(dú)立正態(tài)變量決策理論，提出了基于小波變換的閾值去噪法.小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，圖像的能量集中于少部分幅值較大的小波系數(shù)中，而噪聲的能量分布于整個(gè)小波域，圖像的小波系數(shù)大于噪聲的小波系數(shù).小波閾值濾波需要一個(gè)準(zhǔn)確區(qū)分信噪系數(shù)的閾值，以及對信噪系數(shù)進(jìn)行量化處理的閾值函數(shù)[4].Donoho[5]提出了硬閾值和軟閾值函數(shù)以及統(tǒng)一閾值，如式(2)～(4)所示.硬閾值與軟閾值函數(shù)都將小于閾值的系數(shù)歸零，不同的是，硬閾值函數(shù)保持其余的系數(shù)不變，而軟閾值函數(shù)為了保持系數(shù)的連續(xù)性，將其余系數(shù)的幅值縮減一個(gè)閾值λ.

(2)

(3)

(4)

硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，導(dǎo)致去噪圖像出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象.軟閾值的連續(xù)性保證了圖像的平滑性，但是圖像系數(shù)縮減一個(gè)閾值，降低了去噪圖像與原圖像的相似度，破壞了圖像的細(xì)節(jié).另外，統(tǒng)一閾值具有明顯的盲目性，對所有系數(shù)按統(tǒng)一的閾值標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行處理，缺乏自適應(yīng)性和魯棒性[6].

1 相關(guān)研究工作

針對硬、軟閾值函數(shù)的缺陷，Gao[7]提出了半軟閾值函數(shù)，在保持閾值函數(shù)連續(xù)的同時(shí)，量化的小波系數(shù)盡量逼近原小波系數(shù)，以減少圖像信息的損失.李秋妮等[8]提出一種新的小波半軟閾值圖像去噪方法，在閾值函數(shù)中加入局部相關(guān)系數(shù)，使其在各種小波變換中均能增強(qiáng)子帶內(nèi)小波系數(shù)的相關(guān)性.吳安全等[9]提出了一種漸進(jìn)半軟閾值函數(shù)，不僅彌補(bǔ)了硬閾值函數(shù)不連續(xù)性的缺陷，同時(shí)還克服軟閾值函數(shù)重構(gòu)信號后存在恒定偏差的缺陷.Dehda等[10]提出了一種帶形狀特征參數(shù)的閾值函數(shù)(image denoising using new wavelet thresholding function，簡稱NWTF)，在克服硬、軟閾值函數(shù)缺陷的同時(shí)，保持兩者的優(yōu)勢.董雪等[11]提出一種基于LoG算子改進(jìn)的自適應(yīng)閾值小波去噪算法，在軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，對圖像非邊緣部分的閾值函數(shù)加入一個(gè)閾值修正系數(shù)，而對圖像邊緣部分，將小波系數(shù)附近的能量應(yīng)用到自適應(yīng)閾值函數(shù)中.王培等[12]在閾值函數(shù)中引入調(diào)節(jié)因子，通過因子的調(diào)節(jié)，以達(dá)到小波系數(shù)的最優(yōu)估計(jì).

將小波閾值去噪與其他技術(shù)相結(jié)合，優(yōu)勢互補(bǔ)，往往會(huì)取得更良好的去噪效果.郭中華等[13]在小波變換中結(jié)合多尺度邊緣檢測，充分考慮了在不同尺度上小波分解的特性，提出一種具有自適應(yīng)閾值的小波圖像去噪改進(jìn)算法(improved alorithm with auto-adaptive threshold for wavelet image denoising，簡稱IAAT).Pankaj等[14]提出了一種在小波域中應(yīng)用局部對比度和自適應(yīng)均值的圖像去噪方法，利用局部對比度和鄰域均值對閾值進(jìn)行設(shè)計(jì)，同時(shí)利用小波系數(shù)與對應(yīng)鄰域均值之間的插值對軟閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn).非局部均值去噪算法通常受到非相似圖像塊特別是圖像邊緣的小權(quán)值累積的負(fù)面影響，因此，Lu等[15]提出了帶軟閾值的非局部均值圖像濾波方法(non-local means image denoising with a soft threshold,簡稱NLM-ST)，用軟閾值去除小權(quán)值累積的影響，但是其假設(shè)噪聲強(qiáng)度為已知，缺乏實(shí)用性和可行性，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)圖像中的噪聲強(qiáng)度是不可知的.為了在去除高頻圖像中噪聲的同時(shí)去除低頻圖像的噪聲，李嘉浪等[16]提出了基于小波閾值的非局部均值去噪方法，在小波閾值去噪的過程中，對重構(gòu)的低頻圖像用非局部均值去噪算法進(jìn)行去噪處理.顯然，對低頻圖像的非局部均值去噪處理會(huì)在一定程度上破壞低頻圖像的結(jié)構(gòu)，使去噪圖像產(chǎn)生模糊效果.Fathi等[17]用小波包變換和優(yōu)化小波基作為圖像的表示工具，用基于小波系數(shù)及其子帶的均值的優(yōu)化線性插值方法對小波進(jìn)行量化處理.Zahra等[18]提出了基于三維小波的雙邊濾波器，三維小波因其良好的小波定義以及有效的噪聲系數(shù)表示能力而受到青睞.Ozmen等[19]對文獻(xiàn)[18]進(jìn)行了改進(jìn)，提出了基于體積子頻帶加權(quán)原理的加權(quán)三維小波(a new denoising method for fMRI based on weighted three-dimensional wavelet transform，簡稱w-3D-DWT)去噪算法，子帶加權(quán)旨在更好地改善圖像表示能力以及自適應(yīng)地去除圖像中的噪聲.

為了進(jìn)一步提升高斯噪聲去除的魯棒性和有效性，作者提出了信噪局部方差自適應(yīng)的小波閾值濾波方法(wavelet threshold filtering based on adaptive local variance of signal and noise，簡稱WDALV).該方法提出了一種信噪局部方差自適應(yīng)的閾值，以及一種連續(xù)的、可微且高度逼近原小波系數(shù)的閾值函數(shù).實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該方法在有效去除高斯噪聲的同時(shí)，對圖像的紋理和細(xì)節(jié)保持得較好.

2 提出的方法

2.1 信噪局部方差自適應(yīng)的閾值

作為區(qū)分信號系數(shù)與噪聲系數(shù)的閾值，決定著圖像去噪的效果.根據(jù)圖像系數(shù)與噪聲系數(shù)的特征，系數(shù)小于閾值的為噪聲系數(shù)，而大于閾值的為圖像系數(shù).閾值過大過度扼殺部分小幅值的無噪的小波系數(shù)，但閾值過小會(huì)導(dǎo)致去噪不徹底.不同的圖像，強(qiáng)度不同的噪聲，其小波系數(shù)的分布和特征都不一樣，以致其適用的閾值也不一樣.現(xiàn)有文獻(xiàn)中所提出的閾值，沒有充分利用圖像系數(shù)與噪聲系數(shù)的分布與特征，缺乏自適應(yīng)性和魯棒性.

高斯噪聲的強(qiáng)度越大，即方差越大，其小波系數(shù)的幅值就越大.因此，噪聲的方差應(yīng)作為定義閾值的重要參考，正比于閾值.噪聲強(qiáng)度大對應(yīng)大的閾值，反之，對應(yīng)小的閾值.圖像中的高斯噪聲雖然是獨(dú)立同分布，閾值的定義還應(yīng)當(dāng)考慮圖像系數(shù)本身的方差.一味地將閾值正比于噪聲方差，容易使得閾值設(shè)置得過大，破壞部分小幅值的圖像系數(shù).因此，將圖像的標(biāo)準(zhǔn)差作為閾值的制約因子.根據(jù)以上分析，結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究，論文提出了基于信噪局部方差的自適應(yīng)閾值

(5)

其中：σn和σx分別為噪聲和原圖像小波子帶的標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)Donoho等[3]提出的魯棒中值估計(jì)方法對其進(jìn)行估計(jì)

(6)

(7)

其中：HH1為含噪圖像的第一層小波分解的對角子帶系數(shù).式(5)中的C為系數(shù)，為確定其最優(yōu)取值，將C取不同值的閾值λ結(jié)合以下所提出的閾值函數(shù)，應(yīng)用于中等噪聲強(qiáng)度(σ=30)的數(shù)據(jù)集BSD68.去噪圖像對應(yīng)的平均PSNR曲線如圖1所示.根據(jù)平均PSNR曲線，取C=1.53作為最優(yōu)值.

2.2 可微且逼近原系數(shù)的閾值函數(shù)

Donoho[5]最初提出了硬、軟閾值函數(shù)，分別如式(2)和(3)所示，后續(xù)很多學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn).對閾值函數(shù)改進(jìn)的目標(biāo)，就是設(shè)計(jì)一個(gè)連續(xù)的、光滑的且無限逼近原圖像系數(shù)的閾值函數(shù)，其中函數(shù)的光滑性體現(xiàn)于函數(shù)的可微性.函數(shù)的連續(xù)和光滑能夠避免去噪圖像出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象，而函數(shù)無限逼近原圖像系數(shù)能夠避免丟失圖像的原始信息，保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié).提出一個(gè)同時(shí)具有這3個(gè)特性的閾值函數(shù)有一定的難度，因?yàn)檫B續(xù)、光滑與無限逼近存在著顧此失彼的關(guān)系，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的閾值函數(shù)只是作出相應(yīng)的折中.為了更好地實(shí)現(xiàn)小波系數(shù)量化去噪處理的連續(xù)性、光滑性和逼近性，論文提出一種連續(xù)的、可微和無限逼近原圖像系數(shù)的閾值函數(shù)，如式(8)所示，其函數(shù)圖像如圖2所示.

圖2 論文提出的閾值函數(shù)

(8)

其中：r=1-e-(|w|-λ)2.

根據(jù)圖2可以直觀地看出，所提出的閾值函數(shù)具有連續(xù)性、良好的光滑性以及無限逼近性等數(shù)學(xué)特性.以下根據(jù)函數(shù)表達(dá)式證明Q(w)的連續(xù)性、可微性和逼近性.因?yàn)镼(w)滿足Q(-w)=-Q(w)，為奇函數(shù)，只需證明Q(w)的單邊數(shù)學(xué)特性即可.

(1) 函數(shù)的連續(xù)性.因?yàn)?/p>

(2) 函數(shù)的可微性.由

可知Q(w)在λ處的左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，所以在λ處可導(dǎo).又在區(qū)間(λ, +∞)，有

所以，Q(w)在區(qū)間(λ, +∞)可導(dǎo).對于區(qū)間[-λ,λ]，Q(w)為常數(shù)，可導(dǎo),因此Q(w)在整個(gè)定義域上可導(dǎo).

(3) 函數(shù)的逼近性.由

可以看出Q(w)以Q(w)=w為漸近線.同時(shí)，有

所以,在|w|>λ時(shí)，λ(x)無限擬合原小波系數(shù).

根據(jù)以上分析，所提出的Q(w)函數(shù)具有連續(xù)性、可微性和高度逼近性，具有良好的數(shù)學(xué)特性，所以能根據(jù)閾值λ更有效地對含噪的小波系數(shù)進(jìn)行量化處理.

3 實(shí) 驗(yàn)

以數(shù)據(jù)集BSD68中的部分圖像以及部分醫(yī)學(xué)圖像作為實(shí)驗(yàn)圖像，如圖3所示.在Intel(R) Core(TM) i5-4590 CPU @ 3.30GHZ, 8GB RAM 的計(jì)算機(jī)上用MATLAB R2013b 進(jìn)行實(shí)驗(yàn).根據(jù)去噪結(jié)果的峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)(SSIM)，將所提出的WDALV算法與現(xiàn)有文獻(xiàn)中最新提出的且有代表性的部分算法作比較，以驗(yàn)證WDALV算法的有效性和魯棒性，這些算法分別是NWTF[10]，IAAT[13]，NLM-ST[15]，w-3D-DWT[19].

圖3 實(shí)驗(yàn)圖像

3.1 去噪處理的PSNR和SSIM

各算法對含各種強(qiáng)度高斯噪聲的圖像test013和chest_xray進(jìn)行去噪處理得到PSNR和SSIM值分別如表1和2所示.

表1 各算法對的test013去噪處理的PSNR和SSIM值

從表1中的數(shù)據(jù)大小、其隨噪聲強(qiáng)度的走向以及各算法數(shù)據(jù)之間的差距可以看出，所提出的算法中WDALV的PSNR和SSIM值均大于其他算法，在噪聲強(qiáng)度較小時(shí)相對于其他算法的優(yōu)勢異常顯著，這表明WDALV在保持去噪圖像與原圖像較高相似性的同時(shí)，較好地保持和恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu).各算法中效果最差的是NWTF，其PSNR和SSIM均最小，原因在于其所提出的帶形狀特征參數(shù)的閾值函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)不具有魯棒性，對不同的圖像適用的最優(yōu)參數(shù)差別較大.w-3D-DWT在噪聲強(qiáng)度較小時(shí)，其去除效果較差，而在噪聲強(qiáng)度較高時(shí)，去噪效果可以接受.相對地，IAAT和NLM-ST取得了良好的去噪效果，兩者在去噪和紋理結(jié)構(gòu)的保持上的性能相當(dāng)，雖然在同等噪聲強(qiáng)度下其PSNR和SSIM值接近WDALV，但是WDALV的PSNR和SSIM依然比它們分別大致高出0.8 dB和1.7%.

表2顯示了各算法對醫(yī)學(xué)圖像chest_xray的去噪結(jié)果.從表中的數(shù)據(jù)可知：①NWTF的去噪性能始終是最差的，其PSNR和SSIM值最小，與其他算法有明顯的差距.②NLM-ST與w-3D-DWT的去噪性能差別不大，均處于中等水平；相對地，IAAT的去噪性能較好，特別對于低強(qiáng)度的噪聲，其優(yōu)越性更加明顯.③在去噪性能和紋理結(jié)構(gòu)的保持和恢復(fù)上，WDALV算法相對于現(xiàn)有算法的優(yōu)越性明顯，通過較大的PSNR和SSIM體現(xiàn)出來；對于每種強(qiáng)度的噪聲，WDALV都取得最大的PSNR和SSIM值，比性能較好的IAAT分別大致高出0.7 dB和2.3%.

表2 各算法對chest_xray去噪處理的PSNR和SSIM值

3.2 去噪處理的視覺效果

為了在視覺感知上驗(yàn)證去噪結(jié)果的性能，以含噪強(qiáng)度σ=20的test049和σ=30的醫(yī)學(xué)圖像breast_xray作為實(shí)驗(yàn)圖像.各算法對應(yīng)的去噪圖像分別如圖4,5所示.分圖題中的兩個(gè)數(shù)字分別是分圖對應(yīng)的PSNR和SSIM值.

圖4中，從視覺感知上，NWTF的模糊效果比較嚴(yán)重，原圖像的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)已經(jīng)丟失，只能看見圖像的大致輪廓.同樣地，w-3D-DWT的模糊效果比較明顯，未能恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié).IAAT和NLM-ST的去噪效果相對良好，IAAT對紋理結(jié)構(gòu)保持得很好，但是依然存在少量可見的噪聲，去噪不徹底，而NLM-ST去噪比較徹底，但是依然出現(xiàn)輕微的模糊效果.相對地，WDALV的去噪效果最好，將其去噪圖像和原圖進(jìn)行比較，可見其在徹底去除噪聲的同時(shí)，大部分的細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)都恢復(fù)得很好.相對于性能較好的算法IAAT和NLM-ST，WDALV在細(xì)節(jié)和紋理結(jié)構(gòu)的保持方面其優(yōu)勢還是明顯的.進(jìn)一步地，根據(jù)各去噪圖像對應(yīng)的PSNR和SSIM值所得出的結(jié)論，與視覺感知基本上是一致的.

圖4 各算法對含噪強(qiáng)度為σ=20的test049的去噪圖像

圖5 中，對含噪強(qiáng)度為σ=30的醫(yī)學(xué)圖像breast_xray，NWTF和NLM-ST的去噪效果較差，去噪圖像出現(xiàn)明顯的模糊效果，大部分的圖像脈絡(luò)已經(jīng)丟失.w-3D-DWT的效果圖從視覺上可以接受，但是其模糊效果依然比較明顯.相對地，IAAT取得了較好的去噪效果，圖像的脈絡(luò)清晰.同樣地，WDALV的去噪圖像較清晰，細(xì)節(jié)和脈絡(luò)保持得很好，與IAAT相比，從視覺上難以分辨孰優(yōu)孰劣，但從量化的數(shù)據(jù)PSNR和SSIM可以看出，相對于IAAT，WDALV在效果圖與原圖的相似性及結(jié)構(gòu)紋理的恢復(fù)上還是占有一定的優(yōu)勢.

圖5 各算法對含噪強(qiáng)度為σ=30的breast_xray的去噪圖像

4 結(jié)束語

為進(jìn)一步提升高斯噪聲的去除效果，提出了一種信噪局部方差自適應(yīng)的小波閾值濾波方法.其用信噪局部方差自適應(yīng)的閾值對圖像的信號系數(shù)與噪聲系數(shù)進(jìn)行區(qū)分，然后用連續(xù)的、可微且無限逼近原圖像系數(shù)的閾值函數(shù)對小波子帶系數(shù)進(jìn)行量化處理.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，論文方法相對于現(xiàn)有的方法具有更好的去噪性能，對于各種強(qiáng)度的高斯噪聲及各種圖像，其都能取得良好的去噪和邊緣細(xì)節(jié)保持的效果.