摘 要：“長時(shí)間思考”具有連貫性和條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性、策略性和關(guān)聯(lián)性，能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，并有效地提升學(xué)生的思維品質(zhì)。促進(jìn)學(xué)生“長時(shí)間思考”，可以從強(qiáng)化問題設(shè)計(jì)、夯實(shí)交流互動(dòng)、做好回顧反思等方面著力。

關(guān)鍵詞：長時(shí)間思考；思維品質(zhì)；問題設(shè)計(jì)；交流互動(dòng)；回顧反思

*本文系江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“核心內(nèi)容視角下小學(xué)數(shù)學(xué)育人價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)研究”（編號(hào)：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。

鄭毓信教授在詮釋“深度學(xué)習(xí)”的含義時(shí)，提到“應(yīng)特別重視長時(shí)間的思考”，并指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)這樣幾個(gè)方面：聯(lián)系的觀點(diǎn)，變化的思想，總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)。它們都可被看成“長時(shí)間思考”的表現(xiàn)。如何正確地認(rèn)識(shí)和理解“長時(shí)間思考”，并在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展“長時(shí)間思考”呢？

一、“長時(shí)間思考”的內(nèi)涵

著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)獲得者廣中平佑在《創(chuàng)造之門》一書中寫道：“我認(rèn)為思考問題的態(tài)度有兩種：一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即興思考型，一種是較長時(shí)間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對(duì)象自由自在分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人……沒有長期思考型訓(xùn)練的人，是不會(huì)深刻思考問題的……無論怎樣訓(xùn)練即興性思考，也不會(huì)掌握前面談過的智慧深度?！惫P者認(rèn)為，“長時(shí)間思考”的內(nèi)涵主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

（一）連貫性和條理性

嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征之一，無論是數(shù)學(xué)問題的解答過程，還是數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)的建立過程，都是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的。而“長時(shí)間思考”首先體現(xiàn)在解決一個(gè)問題或一組問題時(shí)持續(xù)不斷地思考，這其中必然包含思維的連貫性和條理性。比如，口算“25-9”時(shí)，我們是這樣思考的：先看個(gè)位，5-9不夠減，向十位借“1”當(dāng)作個(gè)位的10，10和原來個(gè)位上的5合起來是15，15-9=6；再看十位，原來是“2”，被借走了“1”還?！?”；最后，十位上的1個(gè)十和個(gè)位上算出的6合起來是16?？梢姡词故沁@樣一道簡單的口算題，解決時(shí)也會(huì)產(chǎn)生一條清晰的“思維鏈”，連接著“判斷—退位—相減—合成”這一系列的思考步驟。學(xué)生能夠連貫而有條理地經(jīng)歷這一完整的思考過程，就能正確地完成兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法。其后，再通過練習(xí)逐步簡化其中的思考步驟，達(dá)到“自動(dòng)化水平”，慢慢地形成相應(yīng)的運(yùn)算能力。如果在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維缺乏連貫性，就會(huì)顧此失彼、順序顛倒，最終得出錯(cuò)誤的答案。比如，有的學(xué)生在計(jì)算“15-9”這一步時(shí)錯(cuò)算成“4”；有的學(xué)生算完個(gè)位后忘記十位退位而錯(cuò)算成“26”，等等。思維不連貫或缺乏條理性的學(xué)生往往不能較好地掌握“退位減法”，甚至到高年級(jí)仍然不能正確、快速地運(yùn)算。

解決數(shù)學(xué)問題的每一步之間都是密切關(guān)聯(lián)的，這就要求學(xué)生能夠連續(xù)不斷地接著往下想，遵循嚴(yán)格的順序，講究邏輯的起點(diǎn)、過程和結(jié)果（前因后果）進(jìn)行“有序思考”。

（二）嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性

學(xué)生初學(xué)小數(shù)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)認(rèn)為“小數(shù)都比整數(shù)小”。類似這樣的錯(cuò)誤判斷在其他一些數(shù)學(xué)知識(shí)的初學(xué)過程中也頻頻發(fā)生，如“一個(gè)數(shù)的因數(shù)都比這個(gè)數(shù)小”“兩個(gè)數(shù)的積一定比這兩個(gè)數(shù)大”等。這也是“即興型思考”給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的障礙之一，即“用案例完全取代類的分析”：學(xué)生往往只以一個(gè)例子或少數(shù)例子得出數(shù)學(xué)結(jié)論?！伴L時(shí)間思考”則與之相反，需要“聰明人下笨功夫”，用不同的例子、從不同的角度不斷分析同一個(gè)問題，經(jīng)歷從特殊到一般的概括過程。這個(gè)思考過程伴隨著很強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性，需考慮所有情形，包括各種特例、非常規(guī)情況等。這種思考方式是由數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊性，以及“數(shù)學(xué)思維是揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系的”這些本質(zhì)特征決定的。

（三）策略性和關(guān)聯(lián)性

首先，“長時(shí)間思考”體現(xiàn)為元認(rèn)知調(diào)控之下的策略性思考。也就是說，個(gè)體能夠?qū)ψ陨碓诋?dāng)下所從事的思維活動(dòng)具有清醒的自我意識(shí)和自我分析（評(píng)估），并能及時(shí)作出必要的調(diào)整，包括糾正可能的錯(cuò)誤，以使思維活動(dòng)更有效地往正確的方向開展。比如，分析問題時(shí)思考“是否充分利用了所有條件”“是否有遺漏的條件”，尋求方法時(shí)思考“是否解答過類似的問題”“如果換一種思路想會(huì)怎樣”，完成解答后思考“答案是否完全符合題意”“這樣的解答方法是否最佳”。顯然，這樣的自我思維監(jiān)控優(yōu)于一般思維，體現(xiàn)為一種具有策略性的優(yōu)化思維形式。

其次，“長時(shí)間思考”還體現(xiàn)為一種具有關(guān)聯(lián)性的“再認(rèn)識(shí)”思維形式。在結(jié)束了一個(gè)階段的學(xué)習(xí)以后，對(duì)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容與全部的學(xué)習(xí)過程作出總結(jié)和“再認(rèn)識(shí)”，從而不斷優(yōu)化認(rèn)識(shí)。這是“長時(shí)間思考”的另一重要意義。不斷的優(yōu)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)的研究總是謀求用統(tǒng)一的理論概括零碎的事實(shí)，這樣既便于簡化研究，又能洞察到事物或現(xiàn)象的本質(zhì)。在這個(gè)“再認(rèn)識(shí)”的過程中，個(gè)體超越各部分內(nèi)容并從總體上開展進(jìn)一步分析，特別是充分揭示各相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)行更高層次的抽象概括，并形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。

綜上可見，“長時(shí)間思考”是一種更為理性而可控的、高層次的思維方式。而且，它具有超越數(shù)學(xué)學(xué)科的普遍意義，適用于任何學(xué)習(xí)與研究活動(dòng)。

二、“長時(shí)間思考”的價(jià)值

對(duì)于學(xué)生而言，“長時(shí)間思考”的最大價(jià)值在于：學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，不斷提升思維品質(zhì)。

（一）學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維

數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察與實(shí)驗(yàn)、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹、類比與猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界?！伴L時(shí)間思考”能夠有效地幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想與方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。

（二）通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維

學(xué)會(huì)思維，不是指想得更快，而是要從自然狀態(tài)的思考走向愿意思考、善于思考。它具體表現(xiàn)為：（1）能認(rèn)識(shí)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等；（2）能根據(jù)已有的事實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)推測(cè)和解釋，養(yǎng)成“推理有據(jù)”“論述有理”的習(xí)慣；（3）能理解他人的思考方式和推理過程，并能與他人溝通；（4）能反思自己的思考過程，通過解決問題的活動(dòng)，發(fā)展探索精神和創(chuàng)新意識(shí)。

（三）提升思維品質(zhì)

“長時(shí)間思考”所具有的連貫性和條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性、策略性和關(guān)聯(lián)性，實(shí)質(zhì)上就能有效地促進(jìn)思維品質(zhì)的提升。雖然這一過程“不容易”，但通過潛移默化、日積月累，就會(huì)逐漸成為一種自覺的思維習(xí)慣和思維方式，學(xué)生的思維也將因此走向深入和深刻。

三、促進(jìn)“長時(shí)間思考”的教學(xué)策略

促進(jìn)學(xué)生“長時(shí)間思考”，要從“思考如何發(fā)生”“思考如何持續(xù)”“思考如何深入”和“思考如何延伸”這幾個(gè)方面入手，設(shè)計(jì)教學(xué)過程中的“思考點(diǎn)”，串接學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“思考鏈”。

（一）強(qiáng)化問題設(shè)計(jì)

思考隨時(shí)都在發(fā)生，但只有真正的數(shù)學(xué)問題才能引發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“長時(shí)間思考”。怎樣的數(shù)學(xué)問題才稱得上“真正的數(shù)學(xué)問題”？章建躍博士認(rèn)為，“真正的數(shù)學(xué)問題”應(yīng)該滿足一些基本條件，如反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，不糾纏于細(xì)枝末節(jié)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有發(fā)展性，表述形式簡潔、流暢且好懂，等等。

例如，《角的初步認(rèn)識(shí)》一課，教師設(shè)計(jì)了這樣的問題：如何畫出一個(gè)和已知角同樣大小的角？這個(gè)問題看似只是在引導(dǎo)學(xué)生開展動(dòng)手操作，其實(shí)隱含著帶動(dòng)學(xué)生“長時(shí)間思考”的“思考鏈”：學(xué)生首先要通過觀察形成已知角的大小的初步表象，然后要選擇手邊的一些工具（學(xué)具）將這個(gè)角的大小表示出來，接著要借用這種“表示”畫出一個(gè)大小相同的角，畫完后還要想辦法將自己畫出的角與已知角進(jìn)行比對(duì)。在這樣的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、判斷、想象、比較和反思等活動(dòng)，“看角—比角—畫角—再比角”的操作活動(dòng)體現(xiàn)出嚴(yán)密的思維邏輯。

（二）夯實(shí)交流互動(dòng)

1.適時(shí)而恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)

教師的組織和引導(dǎo)是學(xué)生思考得以持續(xù)和深入的關(guān)鍵。“長時(shí)間思考”，就需要更多地關(guān)注“結(jié)果是怎么來的？”“是否還有其他方法？”“從這個(gè)結(jié)果出發(fā)還能聯(lián)想到什么？”這些問題。適時(shí)而恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下的交流互動(dòng)，則是有效解決這些問題的“法寶”。

例如，教學(xué)“積的變化規(guī)律”，學(xué)生對(duì)于“一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)乘幾，積也乘幾”這個(gè)猜想深信不疑——學(xué)生具備一定的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，因而對(duì)這一運(yùn)算規(guī)律有著強(qiáng)烈的直覺判斷。這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生討論：這條規(guī)律真的成立嗎？你能用舉例或畫圖的方法驗(yàn)證嗎？學(xué)生或舉出具體的計(jì)算的例子，或結(jié)合實(shí)際情境中的問題加以說明，或畫圖示意。這個(gè)“既知其然，也知其所以然”的交流過程，引導(dǎo)學(xué)生“反芻”思維過程：（1）強(qiáng)調(diào)全面的分析，如要求更多的實(shí)例、更多的理由，加強(qiáng)比較等；（2）更好地認(rèn)識(shí)和處理特殊與一般之間的關(guān)系；（3）學(xué)會(huì)“客觀地研究”，從而切實(shí)避免主觀情感的影響。得出“積的變化規(guī)律”后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生討論：由這條規(guī)律，你還能想到什么？學(xué)生的思維空間再一次被打開，產(chǎn)生了更多的猜想：一個(gè)乘數(shù)不變，另一個(gè)乘數(shù)除以幾，積也除以幾；兩個(gè)乘數(shù)都乘上一個(gè)數(shù)，積就乘上它們乘的這兩個(gè)數(shù)；一個(gè)乘數(shù)乘幾，另一個(gè)乘數(shù)除以相同的數(shù)，積不變……

2.深度的對(duì)話

戴維·伯姆認(rèn)為，思維這一現(xiàn)象從其根本上說，是集體性的而非個(gè)體性的。聚焦“長時(shí)間思考”的深度對(duì)話中，學(xué)生都能積極參與思考、傾聽、表達(dá)。

比如，《質(zhì)數(shù)和合數(shù)》一課，教師請(qǐng)學(xué)生挑選3個(gè)自然數(shù)并寫出它們的所有因數(shù)，然后根據(jù)學(xué)生自主探索的結(jié)果，展開對(duì)話。教師提問：“自然數(shù)根據(jù)因數(shù)的多少可以分成幾類？”學(xué)生回答：“可以分成兩類，只有2個(gè)因數(shù)的是一類，有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的是一類?！苯處熥穯枺骸坝袥]有在這兩類以外的自然數(shù)呢？”學(xué)生思考后回答：“還有0和1這兩個(gè)自然數(shù)，0沒有因數(shù)，1只有1個(gè)因數(shù)?！苯處熡忠鲈掝}：“2、3、5、7等數(shù)，只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）；4、8、9、12、21、36等數(shù)，除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。你們說，1是質(zhì)數(shù)嗎？是合數(shù)嗎？為什么？”學(xué)生回答：“因?yàn)?只有一個(gè)因數(shù)，所以它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)?！绷硪晃粚W(xué)生補(bǔ)充道：“我們討論因數(shù)和倍數(shù)時(shí)就沒有包含0這個(gè)自然數(shù)，所以0也既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)?！苯處熢賳枺骸艾F(xiàn)在再請(qǐng)你們回答剛才的問題——自然數(shù)根據(jù)因數(shù)的多少可以分成幾類，你們會(huì)怎樣回答呢？”學(xué)生回答：“分為四類——0不考慮；1只有1個(gè)因數(shù)，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；只有2個(gè)因數(shù)的是質(zhì)數(shù)；有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的是合數(shù)。”

正所謂“理越辯越明”，古希臘哲學(xué)家蘇格拉底創(chuàng)立的“產(chǎn)婆術(shù)”，就是在他與學(xué)生對(duì)話的過程中，通過問答甚至辯論的方式來揭露學(xué)生認(rèn)識(shí)中的矛盾，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己得出正確答案。

（三）做好回顧反思

思維的發(fā)展不可能僅僅通過反復(fù)的實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)的簡單積累得以實(shí)現(xiàn)，而主要表現(xiàn)為由較低層次上升到更高的層次，這就是反思的價(jià)值所在?，F(xiàn)實(shí)中，很多學(xué)生往往樂于解題而疏于反思。促進(jìn)學(xué)生“長時(shí)間思考”，就要引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)所解決的問題本身、解決問題的過程、解決問題的結(jié)果進(jìn)行反思：“解決的是什么問題？”“是如何解決問題的？”“是怎樣收集信息、處理信息的？”“為什么這樣加工信息？”“分析時(shí)是從哪里入手的？”“解決問題的思路為什么是這樣的？”……通過這樣的反思，將解決問題的方法提升為策略，進(jìn)而更自覺地回望思維方法與過程、學(xué)習(xí)路徑與進(jìn)程，從而有效地調(diào)控自己的學(xué)習(xí)，發(fā)展元認(rèn)知。而在一個(gè)階段學(xué)習(xí)之后的反思，能讓看似零散的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來，建立起知識(shí)之間的聯(lián)系，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生能從更高的結(jié)構(gòu)視角反觀所學(xué)知識(shí)，提綱挈領(lǐng)，全面把握。這樣，不僅有利于舊知的鞏固，也有利于新的認(rèn)識(shí)的生發(fā)。

例如，《表面涂色的正方體》一課，教師這樣引導(dǎo)學(xué)生反思：“今天發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和以前學(xué)過的知識(shí)有什么聯(lián)系？”“除了規(guī)律以外，這節(jié)課上你還有哪些收獲？”“表面涂色的正方體的問題解決了，你有沒有產(chǎn)生新問題呢？”第一個(gè)問題，將表面涂色的正方體的規(guī)律與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的正方體的特征關(guān)聯(lián)，揭示現(xiàn)象背后的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體貫通。第二個(gè)問題，將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從知識(shí)層面轉(zhuǎn)向方法層面，引導(dǎo)學(xué)生提煉、概括探索數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法，讓學(xué)生在探索規(guī)律的過程中學(xué)會(huì)探索規(guī)律。第三個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生提出新問題，并由此感受到問題的解決會(huì)帶來新問題的產(chǎn)生。三次不同層次的反思引導(dǎo)，打通了學(xué)生的“任督二脈”，學(xué)生會(huì)在課后興致勃勃地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法研究自己提出的“表面涂色的長方體”問題，進(jìn)一步延伸“長時(shí)間思考”。

在思維中學(xué)會(huì)思維，比思維本身更具意義。布魯納曾指出：我們應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固地掌握學(xué)科內(nèi)容；我們還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主而自動(dòng)的思想家。這樣的學(xué)生，在正式學(xué)校教育結(jié)束之后，將會(huì)獨(dú)立地向前邁進(jìn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)很好地處理學(xué)生思考的快與慢、多與少、熱鬧與安靜以及獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系，努力引導(dǎo)學(xué)生“長時(shí)間思考”。

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（仲秋月，江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實(shí)驗(yàn)學(xué)校，郵編：215021）