張鈺涵

摘? 要：開展“問題解決”的數(shù)學(xué)研究，是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)重要方面，數(shù)列在高考中占據(jù)重要的地位，具有較強(qiáng)的綜合性，常常考查學(xué)生方程與化歸的思想，以及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。遞推關(guān)系是一種數(shù)列的表示方法，利用遞推關(guān)系和已知項(xiàng)可逐一求出數(shù)列的其他未知項(xiàng)，但運(yùn)算量很大、耗時(shí)且容易發(fā)生錯(cuò)誤。許多數(shù)列都是通過遞推關(guān)系給出的，通過遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法是高考與數(shù)學(xué)競賽的重要課題，把握由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的處理方法，對學(xué)生未來發(fā)展將起到積極作用。

關(guān)鍵詞：遞推;數(shù)列;待定系數(shù)

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在高考、數(shù)學(xué)競賽、強(qiáng)基計(jì)劃等考試中占有重要地位。數(shù)列綜合問題種類繁多，難度較大，解法通常具有一定的技巧性。其實(shí)要學(xué)好數(shù)列，必須抓到數(shù)列問題的敲門磚，即數(shù)列的通項(xiàng)。本文總結(jié)數(shù)列求通項(xiàng)的十種方法，通過舉例的形式展現(xiàn)出來，以饗讀者。

一、an+1=an+f（n），求an

例1. 在數(shù)列{an}中，an=an-1+■（n≥2），a1=1，求an。

解法? 疊加法：∵an-an-1=■-■，∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=■-■+■-■+…+1-■+1=2-■。

解法運(yùn)用了數(shù)學(xué)中常用的疊加法，該方法本身簡單，但運(yùn)算較復(fù)雜，不少學(xué)生會因?yàn)檫\(yùn)算而出錯(cuò)。

二、an+1=an f（n），求an

例2. 在數(shù)列{an}中，an=■an-1（n≥2），a1=1，求an。

解法1? 疊乘法：∵■=■，∴an=■×■×■×…×■×a1=■×■×■×…×■×■×1=■。

解法2? 構(gòu)造常數(shù)列：∵an=■an-1？圯（n+2）an=nan-1？圯（n+1）（n+2）an=n（n+1）an-1，∴{（n+1）（n+2）an}是常數(shù)列，∴（n+1）（n+2）an=（1+1）（1+2）a1，∴an=■。

解法1運(yùn)用了疊乘的方法，同類型1一樣，該解法運(yùn)算較難;解法2利用構(gòu)造常數(shù)列，比較簡單?？傊畬W(xué)生在做疊加、疊乘的運(yùn)算時(shí)，適當(dāng)?shù)厮伎既绾螛?gòu)造常數(shù)列，不但可以提高自己的思維水平，也能激發(fā)自己對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三、an+1=pan+q（p，q∈R，且p≠1），構(gòu)造等比數(shù)列

例3. 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n≥2），求an。

解? ∵an+1+1=2（an+1），∴{an+1}為等比數(shù)列，∴an+1=（a1+1）×2n-1=2n，∴an=2n-1。

該解法考查了學(xué)生的方程思想，在構(gòu)造數(shù)列的過程中，必須借助于方程求得待定系數(shù)，該類型的數(shù)列必須化為等比數(shù)列，在構(gòu)造的過程中必須強(qiáng)調(diào)恒等的概念，才可以求得待定系數(shù)。

四、an+1=pan+pn（p∈R，且p≠1），構(gòu)造等差數(shù)列

例4. 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n（n≥2），求an。

解? ∵an+1=2an+2n？圯■=■+■∴■為等差數(shù)列，∴an=n×2n-1。

這種數(shù)列只能化為等差數(shù)列，可以先讓學(xué)生探究為什么不能化為等比數(shù)列，在新構(gòu)造的數(shù)列中必須熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

五、an+1=pan+qn（p，q∈R，且p≠1，p≠q），構(gòu)造等比數(shù)列

例5. 在數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+3n（n≥2），求an。

解? ∵an-3n+1=2（an-1-3n），∴{an-3n+1}為等比數(shù)列，∴an-3n+1=（a1-32）×2n-1=-2n+2，∴an=3n+1-2n+2。

該解法運(yùn)用方程思想：先運(yùn)用待定系數(shù)法求得新數(shù)列，然后熟練應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法來求解。

六、an=pan-1+pn+q（p，q∈R，且p≠1）

這種類型是類型3、4的衍生類型，配等差數(shù)列即可。

例6. 在數(shù)列{an}中，a1=5，an=3an-1+3n-1（n≥2），求an。

解? ∵an-■=3an-1-■+3n？圯■=■+1， ∴■為等差數(shù)列，∴■=■+（n-1）×1=n+■，∴an=3nn+■+■。

這類試題難度比較大，綜合性強(qiáng)，先應(yīng)用待定系數(shù)法，配成類型3，然后通過變形轉(zhuǎn)化為類型4，充分利用類型3、4的方法求解，就是這種類型最好的解題模型。

七、an+1=pan+qn+m（p≠q且p≠1）

這種類型是類型3、5的衍生類型，配等比數(shù)列即可。

例7. 在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n-1（n≥2），求an。

解? ∵an+1-1=2（an-1）+3n？圯an+1-1-3n+1=2（an-1-3n）， ∴{an-1-3n}為等比數(shù)列，∴an-1-3n=（a1-1-31）×2n-1=-3×2n-1，∴an=3n-3×2n-1+1。

該解法先構(gòu)造成類型5的模式，應(yīng)用方程思想，確定待定系數(shù)，然后構(gòu)造成等比數(shù)列，通過新的等比數(shù)列得出結(jié)論，該類型題難度較大。

八、an+1=pan+kn+b，配等比數(shù)列

例8. 在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+2（n≥2），求an。

解? 令an+1+（n+1）x+y=4（an+nx+y）？圯x=-1，y=■， ∴an+1-（n+1）+■=4an-n+■，∴an-n+■為等比數(shù)列，∴an=n-■+■×4n。

該解法先構(gòu)造成等比數(shù)列，其中未知數(shù)要設(shè)二元，然后通過求解二元方程組得出新的等比數(shù)列，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力。

九、an+1=pan+an2+bn+c，配等比數(shù)列

例9. 在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an+n2+n+1（n≥2），求an。

解? 令an+1+（n+1）2x+（n+1）y+z=4（an+n2x+ny+z）？圯x=■，y=■，z=■，∴an+■n2+■n+■為等比數(shù)列，∴an+■n2+■n+■=2+■+■+■×4n-1。

該解法先構(gòu)造等比數(shù)列，其中未知數(shù)要設(shè)三元，最后通過求解三元方程組得出新的等比數(shù)列，運(yùn)算能力要求比較高，需具備較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。

十、an+1=pan+qan-1（n≥2），運(yùn)用方程思想配等比數(shù)列

例10. 在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=4an-3an-1（n≥2），求an。

解? an+1+xan=（4+x）（an+xan-1）？圯（4+x）x=-3？圯x2+4x+3=0？圯x1=-1，x2=-3，這兩個(gè)x中任取一個(gè)值，不妨設(shè)x=-1，∴an+1-an=3（an-an-1），∴{an+1-an}為等比數(shù)列，∴an+1-an=（a2-a1）×3n-1=3n-1，運(yùn)用類型1可得an=■。

（責(zé)任編輯：莫唯然）

參考文獻(xiàn)：

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