毛芹

導(dǎo)數(shù)法是解答高中數(shù)學(xué)問題的常用方法，尤其是 在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值、證明不等式、解 答切線問題時，運用導(dǎo)數(shù)法求解非常便捷.下面主要談 一談如何巧妙運用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不 等式、解答切線問題.

一、利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

對于簡單的函數(shù)單調(diào)性問題，通?？梢岳煤瘮?shù) 單調(diào)性的定義求解，而對于較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問 題，如含有指數(shù)、對數(shù)、高次冪的函數(shù)式，運用導(dǎo)數(shù)法， 就能順利解題，其基本思路是：（1）對函數(shù)求導(dǎo)；（2）令 導(dǎo)函數(shù)為0，并求出零點；（3）用零點將函數(shù)的定義域 劃分為幾個區(qū)間，并在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0的 大小關(guān)系；（4）若導(dǎo)函數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單 調(diào)遞增，若導(dǎo)函數(shù)小于 0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞 減.

例1

解：

利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，主要是利用導(dǎo)函 數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.值得注意的是，有的時候 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個，此時需用并集的形式表示 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

二、利用導(dǎo)數(shù)法證明不等式

運用導(dǎo)數(shù)法證明不等式，需先將不等式進(jìn)行適當(dāng) 的變形，可將不等式變形為一側(cè)為0的形式，也可將不 等式化為兩側(cè)均為簡單基本函數(shù)的形式，然后對函數(shù) 求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函 數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值，最后建立使不等 式恒成立的式子，即可證明不等式成立.

例2

證明：

對于本題，我們需將不等式變形成一側(cè)為 0 的形 式，然后對另一側(cè)的式子求導(dǎo)，以判斷出函數(shù)的單調(diào) 性，從而求得函數(shù)的最值，建立確保不等式成立的關(guān)系 式.

三、利用導(dǎo)數(shù)法解答切線問題

解答切線問題，往往要借助函數(shù) f （x） 在點 x0 處的 導(dǎo)數(shù) f ′（x0） 的幾何意義：在曲線 y = f （x） 上點 P（x0，y0） 處的切線的斜率.對函數(shù)求導(dǎo)，并將切點的橫坐標(biāo)代 入，即可求得函數(shù)在某點處切線的斜率，則其切線的 方程為 y - y0 = f ′（x0）·（x - x0） ．

例3

解：

解答切線問題，需注意兩點：（1）已知的曲線上的 點并不一定是切點；（2）明確曲線方程的導(dǎo)數(shù)的幾何 意義就是切線的斜率.

可見，在判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式、解答切 線問題時，運用導(dǎo)數(shù)法可使問題快速獲解，且思路較 為簡單.但運用導(dǎo)數(shù)法解題過程的運算量較大，同學(xué)們 需謹(jǐn)慎計算.

（作者單位：江蘇省江安高級中學(xué)）