閆洪波， 沈雅楠， 那毅然

(內(nèi)蒙古科技大學機械工程學院， 包頭 014010)

目前，隨著計算機技術(shù)的不斷成熟，圖像處理等工程技術(shù)問題成為了人們的焦點。在采集及傳輸過程中，由于設(shè)備、光線以及其他因素，輸出圖像中會不可避免地產(chǎn)生噪聲。噪聲會在不同程度上降低圖像清晰度，對識別圖像有效信息造成干擾。據(jù)此，圖像去噪[1]成為了學者們研究的一個關(guān)鍵性問題。傳統(tǒng)圖像去噪方法是將含噪圖像在圖像域內(nèi)直接進行處理，該方法對有效信息的保護欠佳，而后學者們將信號分解方法應(yīng)用到圖像去噪中，此類方法能夠在變換域內(nèi)對圖像進行針對性去噪并取得良好的去噪效果。

與經(jīng)驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)[2]相比，變分模態(tài)分解[3](variational mode decomposition，VMD)算法具有更好的噪聲魯棒性，其以堅實的數(shù)學基礎(chǔ)作為支撐，能對非穩(wěn)定、非線性信號進行良好的分解。二維變分模態(tài)分解(two-dimensional variational modal decomposition，2D-VMD)[4]是VMD方法的進一步推進，該方法充分利用了VMD方法的非遞歸性[5]，在保證自身特性的前提下，將對一維信號的分解擴展到二維。孫抗等[6]提出了一種基于VMD和奇異值分解的局部放電信號去噪方法，該方法不僅能夠達到良好的抑制噪聲效果，并且可以得到優(yōu)質(zhì)精度的信號。劉嘉敏等[7]將2D-VMD與自適應(yīng)中值濾波進行結(jié)合，此方法雖能有效去除噪聲，但易造成圖片的不連續(xù)；高宏宇等[8]后續(xù)將2D-VMD與相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient，CC)相結(jié)合，實現(xiàn)了更高精度的圖像重構(gòu)，為提高圖像質(zhì)量奠定了堅實基礎(chǔ)。

2D-VMD方法能夠?qū)D像信號按頻率大小分解成若干個子模態(tài)，得到精確的圖像信息需對不同子模態(tài)分別進行處理，分數(shù)階積分算子對高頻部分具有明顯的削減作用，對低頻信號有增強效果，因此為使去噪后圖像的噪聲更少，有效信息更多，其實用性更強，提出一種基于2D-VMD與自適應(yīng)優(yōu)化分數(shù)階積分聯(lián)合的圖像去噪算法。首先利用2D-VMD將圖像分解成若干個子模態(tài)分量，將高頻模態(tài)進行篩除，再根據(jù)信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)值設(shè)定不同的閾值,對分數(shù)階積分階次進行自適應(yīng)優(yōu)化，利用相應(yīng)的掩模去噪算子對低頻模態(tài)分量進行卷積處理，得到去噪后的圖像。

1 二維變分模態(tài)分解

1.1 2D-VMD

2D-VMD充分保留了一維分解特性，魯棒性強并且具有非遞歸性。噪聲通常存在于高頻信號中，2D-VMD能夠在預設(shè)參數(shù)的前提下對非平穩(wěn)信號進行分解，在圖像去噪領(lǐng)域中能夠有計劃地篩選高低頻圖像，并取得良好的分解效果。

一維信號在頻域內(nèi)的解析信號表達式為

(1)

(2)

根據(jù)傅里葉變換特性，可將其表示為

(3)

式中：*表示卷積變換且轉(zhuǎn)換是可分的；ωk表示頻域半平面設(shè)置為k個模態(tài)的頻率分界面；ω表示模態(tài)函數(shù)uk(x)變換到頻域的瞬時頻率。該解析信號表達為參考方向ωk的排列；δ為傅里葉變換后的變量。

二維變分模態(tài)分解約束變分模型為

(4)

式(4)中：{uk}={u1,u2，…,uk}表示2D-VMD分解后各個模態(tài)分量的集合；{ωk}={ω1,ω2,…,ωk}表示2D-VMD分解后每個模態(tài)中心頻率的集合；αk表示k個模態(tài)頻率的二次懲罰因子。

1.2 為交替懲罰算子方向法優(yōu)化

解決變分方程中的約束問題，本文中引入兩個參數(shù)：拉格朗日乘子λ和二次懲罰因子α。各個迭代參數(shù)的表達式為

(5)

(6)

2 自適應(yīng)分數(shù)階積分去噪算法

(7)

(8)

f(x-m,y)

(9)

f(x,y-m)

(10)

分數(shù)階積分去噪掩模算子將式(9)與式(10)推廣到圖像的其余6個方向，繼而得到一個含(135°、45°、0°、315°、270°、225°)8個方向的去噪掩模算子。分數(shù)階積分掩模算子對噪聲圖像作卷積處理[10]的迭代公式為

(11)

式(11)中：*表示卷積；W表示方向掩模；

在對分數(shù)階積分階次v進行自適應(yīng)優(yōu)化時，經(jīng)過選取多組圖片進行大量實驗，依據(jù)SNR實驗數(shù)據(jù)顯示，如表1和表2是對Cameraman圖和Lena圖添加不同方差噪聲時不同階次的SNR值。可將閾值T設(shè)置為兩個范圍，并確定積分階次。

表1 Cameraman圖SNR值數(shù)據(jù)表Table 1 Cameraman graph SNR value data table

表2 Lena圖SNR值數(shù)據(jù)表Table 2 Lena chart SNR value data table

(1)當7≤T≤15時，圖片的加噪方差為0.08～0.80，選取大階次v=-2對圖像進行去噪，能夠最大程度的保護圖片邊緣及紋理信息。

(2)當15≤T≤21時，圖片的加噪方差為0.02～0.08，選取v=-1進行處理，能夠使圖片最大程度去除噪聲并且使圖片信息準確性受到最低影響。

3 2D-VMD與分數(shù)階積分結(jié)合算法

由于2D-VMD能夠?qū)D像分解成若干子分量，利用分數(shù)階積分的性質(zhì)可針對不同子分量進行去噪處理，因此將分數(shù)階積分算子與2D-VMD結(jié)合完成圖像去噪。如圖1所示，首先對原始圖像添加噪聲，得到模擬二維噪聲圖像，利用2D-VMD將含噪圖像分解為K個不同頻率的子模態(tài)，每一高低頻子圖像都包含不同的圖像信息，因此對分數(shù)階積分階次進行自適應(yīng)優(yōu)化，對每個子模態(tài)分別選取相適應(yīng)的積分階次，構(gòu)造對應(yīng)的方向掩模算子進行去噪處理。在執(zhí)行本文算法時，將高頻子模態(tài)濾除，對低頻圖像信號，進行了大量仿真試驗，通過設(shè)定不同的閾值范圍，采用SNR值對不同階次下去噪效果進行判定，并根據(jù)SNR值的大小對不同圖像的不同子模態(tài)選取相適應(yīng)的積分階次v。其中SNR值表示平均信號強度與平均噪聲強度的比值，是衡量圖像質(zhì)量的重要指標。其值越大，表明圖像有效信息越多，噪聲越少，去噪效果越好。設(shè)低頻模態(tài)分量圖中某一中間狀態(tài)為fn(x+y)，運用8個方向的方向掩模與分數(shù)階積分掩模算子對低頻模量圖作卷積運算，然后根據(jù)在8個方向卷積結(jié)果綜合所占比例對結(jié)果進行加權(quán)求和，完成一次迭代處理，即完成去噪，輸出去噪圖像。

圖1 去噪算法流程圖Fig 1 Flow chart of denoising algorithm

4 實驗結(jié)果分析

本文實驗選取Lena(896 pix×896 pix)與Cameraman(600 pix×595 pix)圖像，在MatlabR2020b軟件中進行仿真去噪實驗。實驗結(jié)果使用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似指標(structural similarity ratio,SSIM)兩個評價指標進行評估。峰值信噪比值越大，說明該處理去噪效果越好；結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)越高，說明該過程對圖像的紋理和細節(jié)保護越好，有效信息越多。

為了驗證本文算法對圖像去噪的效果，本文中對兩幅原始圖像分別加入了噪聲方差為0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.20、0.60、0.80的斑點噪聲，并與傳統(tǒng)濾波算法：Kuan濾波、雙邊濾波和Frost以及分數(shù)階積分掩模去噪進行對比，用上述兩種驗證方法進行驗證。

對輸入圖像進行2D-VMD分解時，經(jīng)過大量實驗，發(fā)現(xiàn)在參數(shù)k=2，α=25時，能夠最佳效果。以添加噪方差0.10為例，k=2時，低模態(tài)子圖像與原圖的峰值信噪比最優(yōu)。其中k為模態(tài)數(shù)。分數(shù)階積分掩模去噪算法中，經(jīng)過多次調(diào)試，選取積分階次v=-1,此時PSNR值與SSIM值達到飽和狀態(tài)，既能達到良好的去噪效果，也能較好的保留圖片紋理細節(jié)信息。同時便于比較，將其他算法皆調(diào)試至最佳模式。

實驗中將不同方差(0.02～0.80)的斑點噪聲添加進兩幅圖片中，并與其他算法實驗結(jié)果進行比較。圖2為Lena加入噪聲方差為0.20斑點噪聲時各濾波方法處理后的結(jié)果。實驗結(jié)果用PSNR和SSIM進行測試，如表3、表4所示。

圖2 加噪方差0.20時Lena圖像Fig.2 Lena image with 0.20 noise variance

表3 Lena加噪不同方差各濾波器處理后PSNR值Table 3 The PSNR value of Lena after processing by each filter with different variance of noise

表4 Lena加噪不同方差各濾波器處理后SSIM值Table 4 Lena adds noise and SSIM value after processing with different variance filters

數(shù)據(jù)結(jié)果顯示：

(1)當噪聲方差較小時，雙邊濾波、Kuan濾波與Frost均有良好的去噪效果，且雙邊濾波處理后的圖片具有一定平滑效果，但結(jié)構(gòu)相似性值偏低，這3種方法在對圖像去噪時無法完好保留圖片邊緣信息；分數(shù)階積分掩模去噪具有較好的保護圖片細節(jié)效果，但PSNR值較小。

(2)當噪聲方差較大時，其他五種算法的SSIM值均有顯著降低，造成圖片中有用信息基本無法識別，邊緣破壞，細節(jié)紋理信息模糊。本文算法可以有效提高這一點，在去噪效果良好的同時，最大限度地保留圖片信息，以加噪方差0.20為例，結(jié)果明顯優(yōu)于其他算法，無論在更小或更大方差情況下，本文算法的PSNR與SSIM值都明顯更高。

圖3為Cameraman圖像添加噪聲0.20方差時不同濾波器處理后的圖像。能根據(jù)表5、表6數(shù)據(jù)看出，隨著噪聲方差的不斷加大，分數(shù)階積分掩模算子去噪的PSNR值與本文提出算法不相上下甚至略高，但SSIM值始終無法超過本文算法；Frost與Kuan濾波雖然在噪聲方差較小時有很高的PSNR值，但其很不穩(wěn)定，濾波結(jié)果起伏比較大，其SSIM值相對較小。本文算法的提出，能解決在濾除噪聲時對圖像邊緣造成破壞的不足，一定程度保護圖像紋理細節(jié)信息，加噪方差為0.20時，明顯突出這一優(yōu)勢，且無論在更高或更低加噪情況下，本文算法皆保持這一優(yōu)點，其PSNR與SSIM值高于其他算法。

圖3 加噪方差0.20時Cameraman圖像Fig.3 Cameraman image with 0.20 noise variance

表5 Cameraman加噪不同方差各濾波器處理后PSNR值Table 5 The PSNR value of each filter processed by Cameraman with different variances of noise

表6 Cameraman加噪不同方差各濾波器處理后SSIM值Table 6 SSIM value after Cameraman adds noise and different variances of each filter processing

5 結(jié)論

在已有去噪模型的基礎(chǔ)上，總結(jié)其特點，提出2D-VMD與自適應(yīng)分數(shù)階積分結(jié)合的圖像去噪算法，對分數(shù)階積分階次v進行優(yōu)化處理，針對不同含噪圖像根據(jù)閾值選取不同階次。由以上實驗數(shù)據(jù)，可以得到以下結(jié)論：

(1)本文算法在相同加噪情況下，提高了圖像去噪效果的同時，有效的保護圖片邊緣與細節(jié)紋理信息，其PSNR與SSIM值均得到提高，使得圖片信息實用性進一步增強。

(2)針對不同圖像，噪聲情況不同時，可以選擇相應(yīng)的分數(shù)階積分階次v以達到更佳的去噪效果。

(3)在今后的研究中，需將重點放在如何將本文算法中分數(shù)階積分階次與迭代次數(shù)實現(xiàn)自適應(yīng)；如何針對含噪圖像的局部細節(jié)信息來選取分數(shù)階迭代次數(shù)與積分階次。