邱子瀾, 楊文英, 彭 飛, 翟國富

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電器與電子可靠性研究所, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

電器產(chǎn)品的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中,溫度場(chǎng)的分析至關(guān)重要。高溫會(huì)影響電器產(chǎn)品性能和質(zhì)量,導(dǎo)致其機(jī)械強(qiáng)度、絕緣強(qiáng)度降低,金屬元件氧化[1-2]。隨著新能源的投入使用,大功率繼電器、接觸器等開關(guān)電器開始廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車、充電樁等用于接通大電流的場(chǎng)合中。此類電器功率大,溫升問題明顯,對(duì)其優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的耐環(huán)境溫度仿真提出了更高的要求[3-5]。此外,溫度會(huì)影響電器的電、磁、機(jī)械等材料屬性,在計(jì)算電器產(chǎn)品中其他場(chǎng)域,如電磁場(chǎng)分布時(shí),為了實(shí)現(xiàn)更加精確的仿真,往往需要將溫度耦合到求解過程中[6-7]。因此,精確而快速地求解電器產(chǎn)品的溫度場(chǎng)分布具有重要意義。

電器中的熱傳遞方式主要是熱傳導(dǎo),傳統(tǒng)的電器熱傳導(dǎo)計(jì)算通常采用熱路法對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化[8],但是電器的三維幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜,使用熱路模型計(jì)算電器溫度場(chǎng)存在較大的誤差。隨著計(jì)算機(jī)性能的提升,有限元法成為電器熱傳導(dǎo)計(jì)算領(lǐng)域的主流方法[9-11]。為了更加精確地計(jì)算溫度場(chǎng)的分布,需要考慮材料的非線性,對(duì)熱傳導(dǎo)而言主要體現(xiàn)在材料的熱導(dǎo)率隨溫度變化[12--13],而非線性問題求解過程中所必需的迭代過程將進(jìn)一步降低有限元方法的求解效率,因此如何提高迭代效率成為許多學(xué)者研究的問題。傳統(tǒng)的迭代方法,如 Newton-Raphson(NR)法,依然是如今應(yīng)用最廣泛的迭代方法,實(shí)際應(yīng)用過程中許多改良版的NR法被提出,如擬牛頓法或者引入松弛項(xiàng),這些方法提高了NR法的收斂性以及求解效率[14],但是NR法每一次的迭代都需要重新裝配Jacobi矩陣,因此改進(jìn)傳統(tǒng)NR法帶來的效率提升有限。

相比于NR法,傳輸線法(Transmission Line Method,TLM)是一種更加適用于大規(guī)模非線性問題的迭代方法。TLM最早用于非線性電路的求解[15],后被逐步推廣到有限元領(lǐng)域。文獻(xiàn)[16]提出將TLM用于有限元非線性靜磁學(xué)求解,在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[17-18]使用TLM,結(jié)合區(qū)域分解技術(shù)對(duì)三相感應(yīng)電機(jī)的渦流進(jìn)行了求解。已有學(xué)者研究TLM及其改進(jìn)方法在電器產(chǎn)品電磁場(chǎng)求解領(lǐng)域中的應(yīng)用,并取得較好加速效果。文獻(xiàn)[19-20]將TLM應(yīng)用于電器產(chǎn)品二維軸對(duì)稱電磁場(chǎng)有限元的求解當(dāng)中,并進(jìn)一步將其推廣到了含永磁的接觸器的電磁場(chǎng)有限元求解。文獻(xiàn)[21-22]提出了一種全新的黑盒傳輸線模型,該模型降低了有限元等效電路的復(fù)雜性,并且能夠較好地處理有限元中非線性單元。文獻(xiàn)[23]使用FPGA加速傳輸線迭代的計(jì)算,用于求解二維平面變壓器模型的動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[24]將TLM的入射過程改為節(jié)點(diǎn)區(qū)域分解,以較小的代價(jià)實(shí)現(xiàn)了傳輸線導(dǎo)納的自適應(yīng)更新,并且使得TLM適用于GPU異構(gòu)計(jì)算。

盡管TLM在電器電磁場(chǎng)的求解中取得了很好的加速效果,但是鮮有學(xué)者將該方法用于電器溫度場(chǎng)有限元的加速求解,并且該方法的求解效率有待進(jìn)一步優(yōu)化。因此本文提出使用TLM加速繼電器三維熱傳導(dǎo)有限元的計(jì)算,在此基礎(chǔ)上通過提出合理的傳輸線導(dǎo)納確定原則、松弛迭代和并行計(jì)算進(jìn)一步提高計(jì)算效率。本文首先介紹了TLM的原理,分析TLM的優(yōu)點(diǎn);之后,給出熱傳導(dǎo)有限元離散格式,并構(gòu)建其等效電路;然后,針對(duì)具體的大功率直動(dòng)式繼電器模型,分別使用商用軟件COMSOL,NR方法和TLM求解其溫度場(chǎng)的分布,比較三者之間的求解精度差異,并比較不同分網(wǎng)條件下NR法和TLM間的求解效率差異;最后,對(duì)TLM在電器熱傳導(dǎo)求解中的應(yīng)用前景以及存在的問題進(jìn)行討論和分析。

1 熱傳導(dǎo)有限元傳輸線模型的建立

1.1 TLM原理

TLM的基本原理是,在線性電路網(wǎng)絡(luò)和非線性元件之間添加一段無損傳輸線,通過傳輸線兩端電壓的傳遞來實(shí)現(xiàn)迭代,從而實(shí)現(xiàn)非線性電路的求解[25]。TLM基本原理如圖 1所示。

圖1 TLM基本原理

電路中,電阻R為非線性元件,在線性電路網(wǎng)絡(luò)和非線性電阻R之間插入傳輸線,原有的電路被分解成入射過程和反射過程。其中,入射過程等效為一個(gè)大型的線性電路網(wǎng)絡(luò),反射過程被分解成多個(gè)簡(jiǎn)單的非線性等效電路。入射與反射兩部分交替求解,最終結(jié)果將收斂于真實(shí)值。

在非線性電路中,傳輸線迭代法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在:①傳輸線的添加并沒有使電路的本質(zhì)發(fā)生改變,如果所求解電路系統(tǒng)存在穩(wěn)定狀態(tài),那么傳輸線迭代也會(huì)存在一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),即TLM是無條件收斂的;②對(duì)于入射過程待求的YU=I這一線性方程組,每一步迭代過程的導(dǎo)納矩陣始終不變,這意味著如果采用LU分解來計(jì)算迭代過程中的線性方程組,傳輸線只需要在第一步迭代時(shí)執(zhí)行LU分解,而LU分解是求解過程中耗時(shí)最長的部分,因此TLM的單步計(jì)算時(shí)間可顯著縮短;③非線性迭代過程被放在多個(gè)分立的簡(jiǎn)單電路中完成,實(shí)現(xiàn)了各個(gè)非線性元件的分立,有利于非線性迭代過程的并行化計(jì)算。在有限元分析中,將有限元模型等效成電路,應(yīng)用傳輸線迭代法進(jìn)行計(jì)算,其優(yōu)點(diǎn)則體現(xiàn)為無條件收斂、單步迭代時(shí)間顯著縮短以及非線性單元的細(xì)粒度并行化計(jì)算。

1.2 非線性熱傳導(dǎo)有限元分析

為了將TLM應(yīng)用到非線性熱傳導(dǎo)有限元分析當(dāng)中,首先需要得到熱傳導(dǎo)有限元的離散格式,進(jìn)而推導(dǎo)出有限元等效電路。根據(jù)傅里葉定律,熱傳導(dǎo)問題的算子方程及其邊界條件[26-27]為

(1)

式中:λ(T)——熱導(dǎo)率,隨溫度變化;

T——求解域內(nèi)的溫度;

Tg——邊界溫度;

G——內(nèi)熱源強(qiáng)度;

n——邊界平面的法向向量;

q——熱流密度;

h——對(duì)流換熱系數(shù);

Ω——求解域;

Γ1——第一類邊界條件;

Γ2——第二類邊界條件;

Γ3——第三類邊界條件;

T0——周圍介質(zhì)溫度。

可見在求解域中,溫度場(chǎng)滿足Poisson方程。接下來討論溫度場(chǎng)中的三類邊界條件。

第一類邊界條件:強(qiáng)迫邊界條件,邊界上的溫度或溫度分布函數(shù)已知。

第二類邊界條件:熱傳導(dǎo)邊界條件,邊界上的熱流密度(熱通量)q已知。

第三類邊界條件:對(duì)流邊界條件,邊界與周圍環(huán)境介質(zhì)的對(duì)流傳熱系數(shù)h和介質(zhì)溫度T0已知。

通過伽遼金法,上述控制方程和邊界條件可離散為一組積分方程[28]

(2)

式中:Tj——空間內(nèi)各個(gè)離散點(diǎn)的待求溫度;

Ni、Nj——形函數(shù)。

采用四面體單元對(duì)模型進(jìn)行離散,將每個(gè)單元整理成形如[Se][Ae]=[Fe]的代數(shù)方程組,可得矩陣中的每一項(xiàng)為

(3)

其中,

式中: [ST]、[FT]——四面體單元分析產(chǎn)生的項(xiàng);

[Se]、[Fe]——等效為節(jié)點(diǎn)、矩陣、電流源;

[SB]、[FB]——邊界條件產(chǎn)生的項(xiàng);

(xk,yk,zk)、(xlk,ylk)——四面體單元和三角形單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

計(jì)算所有的四面體單元及其邊界并進(jìn)行總體合成,可以得到全局的代數(shù)方程組:

[S][T]=[F]

(4)

1.3 有限元等效電路構(gòu)建

將TLM應(yīng)用于有限元分析,其理論依據(jù)為有限元分析中,單元系數(shù)矩陣[Se]是對(duì)稱正定矩陣,因此對(duì)于有限元法中每個(gè)單元方程組[Se][Te]=[Fe],可以將其等效為電路的形式。其中,[Te]等效為節(jié)點(diǎn)電壓,而有限元中的裝配過程,可以理解為將多個(gè)電路并聯(lián)在一起。因此,可以構(gòu)建有限元等效電路,從而將TLM應(yīng)用于有限元的求解過程中。四面體單元等效電路模型如圖2所示。

圖2 四面體單元等效電路模型

分析單元入射過程等效電路,可以得到單元的導(dǎo)納矩陣[Ye],單元的激勵(lì)向量[Fe]和單元的電流向量[Ie]。將所有子電路并聯(lián),TLM有限元等對(duì)應(yīng)有限元分析中的總體合成,得到一個(gè)線性方程組:

[Y][U(k)]=[F]+[I(k)]

(5)

式中: [Y]——全局導(dǎo)納矩陣;

[U(k)]——等效節(jié)點(diǎn)電壓;

[F]——原始激勵(lì)向量;

[I(k)]——傳輸線等效電流源。

圖3 TLM有限元等效電路模型

直到全局誤差ε小于最大誤差εmax時(shí)達(dá)到收斂。ε的計(jì)算方法為

(6)

式中:n——節(jié)點(diǎn)數(shù)目;

U——全局節(jié)點(diǎn)電壓。

2 TLM求解效率提升

盡管相比于傳統(tǒng)的NR法,TLM的單步迭代時(shí)間可以顯著減少,但是NR法可以達(dá)到n2的收斂階,而TLM的收斂階為logn,針對(duì)相同的非線性問題,傳輸線迭代法的迭代次數(shù)要大于傳統(tǒng)的NR法。因此,本文提出合理的傳輸線導(dǎo)納確定原則、松弛迭代以及并行計(jì)算方案,以進(jìn)一步提高TLM效率。

2.1 傳輸線導(dǎo)納確定原則

選擇合適的傳輸線導(dǎo)納可以顯著減少迭代次數(shù),傳輸線導(dǎo)納越接近于所連接的導(dǎo)納真實(shí)值,TLM收斂速度越快。針對(duì)這一特性,本文提出基于外部環(huán)境溫度的傳輸線導(dǎo)納確定原則。

對(duì)于傳輸線兩側(cè)連接的非線性元件,根據(jù)有限元TLM原理,可知其導(dǎo)納的真實(shí)值Yt為單元系數(shù)矩陣非對(duì)角元素的值的相反數(shù),即

(7)

其中,單元熱導(dǎo)率λe是受溫度影響的變量,其余參數(shù)僅僅和單元的幾何形狀相關(guān),是已知量。為了使得傳輸線導(dǎo)納Y0盡量接近于Yt,本文將每根傳輸線的導(dǎo)納設(shè)置成不同的值,確保傳輸線導(dǎo)納Y0和單元的幾何參數(shù)構(gòu)成線性關(guān)系,即

(8)

式中:λg——熱導(dǎo)率的初始猜測(cè),求解前需要配置該參數(shù)。

對(duì)于熱傳導(dǎo)有限元而言,該方案容易進(jìn)行,這是因?yàn)闊醾鲗?dǎo)模型中,熱導(dǎo)率隨溫度變化并不顯著,因此可以在傳輸線迭代前,將外部環(huán)境溫度代入模型,得到當(dāng)前溫度下非線性單元的熱導(dǎo)率,進(jìn)而通過式(8)計(jì)算得到傳輸線導(dǎo)納的值。

經(jīng)測(cè)試,設(shè)置λg與非線性材料的真實(shí)值在同一數(shù)量級(jí),即可保證較少的迭代次數(shù)。

2.2 松弛迭代

反射過程中,需要求解nTL個(gè)如圖3(b)的非線性電路,直接使用NR法求解該電路存在一定的困難。一方面,該電路中非線性導(dǎo)納是所在單元熱導(dǎo)率的函數(shù),和當(dāng)前電路的參數(shù)并無直接關(guān)聯(lián),這使得NR法關(guān)系式難以構(gòu)建;另一方面,頻繁的分布式非線性迭代將進(jìn)一步影響求解效率。

圖4 反射過程中的松弛迭代流程

(9)

2.3 并行計(jì)算

為進(jìn)一步提高求解效率,充分發(fā)揮多核處理器的性能,本文提出CPU并行計(jì)算方案來加速整個(gè)求解過程。TLM熱傳導(dǎo)有限元求解流程如圖5所示。其中設(shè)置邊界條件和負(fù)載、計(jì)算單元系數(shù)矩陣、裝配有限元TLM等效電路、反射過程可實(shí)現(xiàn)單元級(jí)別并行,本文使用OpenMP實(shí)現(xiàn)上述流程的并行化。入射過程涉及到線性方程組計(jì)算,需要進(jìn)行LU分解以及矩陣-向量乘法,本文使用SuperLU_MT[29]這一并行矩陣求解器實(shí)現(xiàn)入射過程的并行化。

圖5 TLM熱傳導(dǎo)有限元求解流程

3 算法驗(yàn)證

3.1 研究對(duì)象

為了驗(yàn)證TLM在電器溫度場(chǎng)計(jì)算中的求解精度和求解效率,本文選用模型進(jìn)行求解。直動(dòng)式繼電器結(jié)構(gòu)示意圖如圖6所示。該模型為一個(gè)典型的大功率直動(dòng)式繼電器,額定負(fù)載為270 V/200 A,模型已處在吸合狀態(tài)。組件材料及熱導(dǎo)率如表1所示。

圖6 直動(dòng)式繼電器結(jié)構(gòu)示意圖

表1 組件材料及熱導(dǎo)率

繼電器工作過程中,有線圈通電發(fā)熱與觸點(diǎn)接觸電阻兩部分發(fā)熱。設(shè)置線圈電壓U=28 V,線圈電阻R=170 Ω,線圈體積V=2.2×10-5m3,由計(jì)算可知線圈內(nèi)熱源強(qiáng)度G1=2×105W/m3。假設(shè)接觸等效部分為靜觸頭和動(dòng)觸頭之間的一個(gè)等效圓環(huán)體,根據(jù)繼電器額定負(fù)載接觸電阻計(jì)算公式[27],得到接觸部分內(nèi)熱源強(qiáng)度約為G2=105W/m3。此外,繼電器通過空氣自然對(duì)流散熱,該模型所有的邊界均定義為熱對(duì)流邊界條件,設(shè)置傳熱系數(shù)h=25 W/(m2·K),外部溫度T0=293.15 K。

3.2 結(jié)果對(duì)比

首先對(duì)比商用軟件COMSOL、NR法以及TLM三者的求解精度。設(shè)置最大收斂誤差為10-9,四面體分網(wǎng)單元數(shù)目為174 825,通過3種方法分別對(duì)模型進(jìn)行求解,得到溫度場(chǎng)分布散點(diǎn)圖。COMSOL、NR、TLM溫度場(chǎng)散點(diǎn)圖對(duì)比如圖7所示。由圖 7可知,在相同的參數(shù)設(shè)置下,3種求解方法得到的溫度場(chǎng)分布趨勢(shì)和溫度范圍基本一致。

圖7 COMSOL、NR、TLM溫度場(chǎng)散點(diǎn)圖對(duì)比

隨機(jī)選取10個(gè)分網(wǎng)節(jié)點(diǎn),得到COMSOL、NR和TLM 3者的求解結(jié)果,節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及計(jì)算結(jié)果如表 2所示。

表2 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及計(jì)算結(jié)果

以COMSOL的求解結(jié)果為參照,定量分析NR方法和TLM之間相對(duì)誤差。NR和TLM相對(duì)誤差分析如表3所示。其相對(duì)誤差的計(jì)算方法為

表3 NR和TLM相對(duì)誤差分析

(10)

其中,T取TNR或TTLM。

分析表 3的數(shù)據(jù),可見在計(jì)算條件一致的情況下,NR和TLM相對(duì)COMSOL的計(jì)算誤差能夠保持在0.1%之內(nèi),本文采用的算法能夠滿足精度要求。

對(duì)比不同單元數(shù)目下NR和TLM間的求解效率。求解所用計(jì)算機(jī)的CPU為Intel Core i7-9700,8核8線程,內(nèi)存大小為32 GB DDR4。兩種方法均使用并行的線性矩陣求解器SuperLU_MT進(jìn)行方程組計(jì)算,并創(chuàng)建8個(gè)并行線程,以充分釋放CPU的性能。本文選擇了4組分網(wǎng)模型對(duì)TLM進(jìn)行測(cè)試。不同分網(wǎng)條件下NR和TLM的迭代次數(shù)和單步迭代時(shí)間分別如表4所示?？梢?NR的迭代次數(shù)要少于TLM的迭代次數(shù),但是TLM單步迭代時(shí)間相比于NR迭代時(shí)間顯著縮短,并且隨著分網(wǎng)單元數(shù)目的增加,TLM單步迭代時(shí)間優(yōu)勢(shì)更顯著。這是因?yàn)門LM每一次迭代的左側(cè)系數(shù)矩陣不變,只需要在第一次迭代進(jìn)行LU分解,而后續(xù)迭代過程不需進(jìn)行額外的LU分解。因此TLM能獲得單步求解效率的顯著提升。

表4 NR和TLM迭代次數(shù)和單步迭代時(shí)間對(duì)比

NR與TLM全局求解時(shí)間對(duì)比如圖8所示。相比于NR法,TLM方法求解效率更高。TLM的第一次迭代需要進(jìn)行LU分解,占據(jù)大量時(shí)間,這一迭代過程和NR單次迭代所消耗的時(shí)間基本一致。TLM后續(xù)迭代過程中,盡管單步迭代時(shí)間極小,但是過多的迭代次數(shù)也將產(chǎn)生一定求解耗時(shí)。隨著求解規(guī)模的增大,TLM后續(xù)迭代過程所占用的全局求解時(shí)間比例隨之減小,這也使得TLM的求解加速效果更加顯著。針對(duì)本模型,在單元數(shù)目較多時(shí)TLM可以取得相對(duì)于NR法2倍以上的加速比。

圖8 NR與TLM全局求解時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 語

本文提出使用改進(jìn)的傳輸線迭代法加速三維熱傳導(dǎo)有限元問題的求解,并將其應(yīng)用于繼電器溫度場(chǎng)的求解中。針對(duì)熱傳導(dǎo)有限元問題的計(jì)算,該方法可以獲得和商用軟件一致的求解精度。相比于NR法,TLM可以通過縮短單步迭代時(shí)間的方式取得較高的求解效率,然而TLM的迭代步數(shù)較多,制約了迭代效率,因此依賴預(yù)處理過程來減多迭代步數(shù),即選擇合適的傳輸線導(dǎo)納。在選擇合適的預(yù)處理方案的前提下,模型規(guī)模越大,TLM的加速效果越明顯?？梢奣LM適用于大規(guī)模非線性溫度場(chǎng)有限元的計(jì)算,在電器熱仿真和多物理場(chǎng)耦合中具有廣闊的應(yīng)用前景。

為進(jìn)一步提高TLM的求解效率,后續(xù)研究可圍繞以下3個(gè)方面展開:提高LU分解的效率,以解決第一步迭代時(shí)間過長的問題;選取更加合適的傳輸線導(dǎo)納初始猜測(cè),進(jìn)一步減少迭代次數(shù);在保留TLM只進(jìn)行一次LU分解這一顯著優(yōu)勢(shì)的條件下,研究通過自適應(yīng)方式更新傳輸線導(dǎo)納的方案,從而提高TLM的收斂階。