方宇孟，袁 曉，謝雨婧

（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，成都 610065）

0 引 言

在經(jīng)典的整數(shù)階微分方程理論中，指數(shù)函數(shù)e（∈?）起著非常重要的作用，且是微分方程

的解：（）e。

復(fù)變量（i）的整函數(shù)—解析指數(shù)函數(shù)e的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為：

e的任意有限階導(dǎo)數(shù)等于自身，這一特性對(duì)傅里葉變換、拉普拉斯變換和變換意義重大。

1903年，米塔-列夫勒提出單參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)：

其中，E（）是指數(shù)函數(shù)的單參量廣義化結(jié)果。

1905年，Wiman提出雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)：

顯然有：EE。

1971年，Prabhakar提出三參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)：

米塔-列夫勒函數(shù)在分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的重要性如同指數(shù)函數(shù)在整數(shù)階系統(tǒng)中的重要性。E（）稱(chēng)為分?jǐn)?shù)微積分的女王函數(shù)（the Queen Function of Fractional Calculus）。米塔-列夫勒函數(shù)類(lèi)可用于表示分?jǐn)?shù)階微積分方程的解，比如：第二類(lèi)阿貝爾積分方程，含有黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的微分方程等，還可應(yīng)用于許多現(xiàn)代分?jǐn)?shù)階模型，比如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的信息處理、聚合物網(wǎng)絡(luò)中的黏彈性、分子輸運(yùn)、熱傳導(dǎo)、信號(hào)處理和反常擴(kuò)散。

米塔-列夫勒函數(shù)廣泛應(yīng)用在各種研究領(lǐng)域與工程應(yīng)用之中，因此有必要研究米塔-列夫勒函數(shù)的快速有效高精度算法。2002年，Gorenflo等人提出分區(qū)算法，采用泰勒級(jí)數(shù)、積分表達(dá)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)三種方法來(lái)計(jì)算米塔-列夫勒函數(shù)，但算法存在計(jì)算錯(cuò)誤。2015年，Garrappa等人基于米塔-列夫勒函數(shù)的拉普拉斯變換，提出最優(yōu)拋物線圍線算法。2018年，Garrappa等人在文獻(xiàn)［17］中研究了帶矩陣參數(shù)的米塔-列夫勒函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。2020年，Saenko提出一種新的積分算法，將米塔-列夫勒函數(shù)的積分表示成實(shí)部和虛部的和且每部分只依賴(lài)實(shí)變量和實(shí)參數(shù)，但算法存在一定局限性。

除了以上提到的算法，研究者們還將帕德逼近法應(yīng)用于米塔-列夫勒函數(shù)的數(shù)值計(jì)算。帕德逼近（Padéapproximation）是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德提出的有理多項(xiàng)式近似法，往往比截?cái)嗟奶├占?jí)數(shù)準(zhǔn)確。2007年，Starovoitov等人利用帕德逼近法研究了米塔-列夫勒函數(shù)在｛≤1｝范圍內(nèi)的計(jì)算。文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［21］基于帕德逼近法研究了米塔-列夫勒函數(shù)E（-x）（0）的上下邊界。

2003年，Winitzki在帕德逼近的基礎(chǔ)上提出全局帕德逼近（global Padéapproximation），構(gòu)造了超越函數(shù)的一致逼近。2005年，Diethelm等人提供了米塔-列夫勒函數(shù)E（-x）（01）的有理逼近系數(shù)表，在{∈［01，15］}范圍內(nèi)具有良好的計(jì)算精度。2011年，Atkinson等人利用全局帕德逼近法實(shí)現(xiàn)米塔-列夫勒函數(shù)E（）在{01，0}范圍內(nèi)的二階逼近，但二階逼近的效果差，為了進(jìn)一步提高計(jì)算精度，需要擴(kuò)展到更高階逼近。

在前人研究基礎(chǔ)上，本文將全局帕德逼近法應(yīng)用于雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)E（）及其任意階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了10階逼近，計(jì)算精度可達(dá)1×10%。經(jīng)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該算法的運(yùn)算有效性和可行性。

1 米塔-列夫勒函數(shù)的基本性質(zhì)

米塔-列夫勒函數(shù)最主要的性質(zhì)有4種：積分、微分、漸進(jìn)、拉普拉斯變換。這些性質(zhì)不僅有助于求解分?jǐn)?shù)階微積分方程，而且在實(shí)際的工程應(yīng)用中具有重要意義，比如：Bagley-Torvik方程的數(shù)值求解，分?jǐn)?shù)階被控系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階PD控制器系統(tǒng)中表示單位階躍響應(yīng)，電介質(zhì)的分?jǐn)?shù)階松弛方程的求解等。

1.1 米塔-列夫勒函數(shù)的積分

對(duì)雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)（4）逐項(xiàng)積分得：

其中，當(dāng)＝1時(shí)，得到式（6）的一個(gè)特例：

Erdélyi等人和D?rba?yan等人研究了米塔-列夫勒函數(shù)沿漢克爾環(huán)的反常積分形式，得到定理1。

設(shè)02且∈?，則對(duì)任意0與，滿(mǎn)足π2≤min｛π，π｝時(shí)，有：

其中，積分圍線（，）如圖1所示，由2條射線S（arg，≥）和S（arg，≥）以及一個(gè)圓弧C（0，）（，≤arg≤）組成。積分圍線左側(cè)區(qū)域是（，），右側(cè)區(qū)域是（，）。表示圓弧G的半徑，表示積分變量的角度。

圖1 積分圍線γ（ò，δ）［14］Fig.1 Integral contourγ（ò，δ）［14］

1.2 米塔-列夫勒函數(shù)的微分

對(duì)雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)E（）逐次求導(dǎo)可得階導(dǎo)數(shù)公式：

另外，文獻(xiàn)［5］中給出階導(dǎo)數(shù)公式：

1.3 米塔-列夫勒函數(shù)的漸進(jìn)展開(kāi)

利用式（8）和式（9）的積分表達(dá)得到米塔-列夫勒函數(shù)在復(fù)平面上的漸進(jìn)表達(dá)。

對(duì)于02、∈?、∈?，當(dāng)argmin｛π，π｝時(shí)，有漸進(jìn)展開(kāi)式：

當(dāng)01，πargπ時(shí)，有漸進(jìn)展開(kāi)式：

1.4 米塔-列夫勒函數(shù)的拉普拉斯變換

2 米塔-列夫勒函數(shù)的數(shù)值算法

2.1 分區(qū)算法

Gorenflo等人提出分區(qū)算法，用泰勒級(jí)數(shù)、積分表達(dá)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)計(jì)算復(fù)平面上不同區(qū)域的米塔-列夫勒函數(shù)。Seybold等人在Gorenflo等人的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，消除了變量靠近積分圍線時(shí)的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

對(duì)于0、∈?，分區(qū)算法能夠計(jì)算復(fù)平面上任意米塔-列夫勒函數(shù)E（）的值。對(duì)復(fù)平面上的不同取值，采用不同的數(shù)值計(jì)算方法，以獲得最佳的穩(wěn)定性和精度?；舅悸肥牵寒?dāng)0≤1、∈?時(shí)，≤則用泰勒級(jí)數(shù)（式（4））計(jì)算；≥則用漸進(jìn)級(jí)數(shù)（式（17）和式（18））計(jì)算；則用積分表達(dá)（式（8）和式（9））計(jì)算。其中，表示采用泰勒級(jí)數(shù)方法的區(qū)域半徑上限值，表示采用漸進(jìn)級(jí)數(shù)方法的區(qū)域半徑下限值。當(dāng)1時(shí)，用遞歸公式將其轉(zhuǎn)為0≤1的情形再計(jì)算：

其中，∈?，∈?；［（1）2］1；［］為不超過(guò)的最大整數(shù)。

然而，分區(qū)算法存在一定缺陷。Popolizio等人指出分區(qū)算法存在計(jì)算錯(cuò)誤。Saenko證明了定理1有誤，當(dāng)∈（，）時(shí)，積分表達(dá)式正確；當(dāng)∈（，）時(shí)，積分表達(dá)式錯(cuò)誤。指出分區(qū)算法因使用了定理1導(dǎo)致∈（，）產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤。

2.2 最優(yōu)拋物線圍線算法

Garrappa等人提出最優(yōu)拋物線圍線算法，在復(fù)平面上選擇計(jì)算量和誤差都最小的區(qū)域，對(duì)米塔-列夫勒函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反演計(jì)算。適用范圍：0，∈?，∈?。核心計(jì)算公式為：

2.3 全局帕德逼近算法

2.3.1 全局帕德逼近

帕德逼近是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)獲得有理逼近的一種簡(jiǎn)潔且有效的方法。其基本思想是對(duì)一個(gè)給定形式的冪級(jí)數(shù)構(gòu)造一個(gè)有理函數(shù)，使該有理函數(shù)的泰勒展開(kāi)盡可能與原來(lái)的冪級(jí)數(shù)吻合。這種方法克服了用多項(xiàng)式逼近大擾度函數(shù)效果不理想以及用冪級(jí)數(shù)（如泰勒級(jí)數(shù)）逼近函數(shù)收斂性太差等缺點(diǎn)。

設(shè)函數(shù)（）∈［，］，1，如果有理函數(shù)R（）可展開(kāi)為：

其中，p（）和q（）互質(zhì)，且滿(mǎn)足條件：

Winitzki對(duì)式（19）進(jìn)行改進(jìn)，提出全局帕德逼近形式：

其中，R（）表示（）在0處的階全局帕德逼近。

2.3.2 米塔-列夫勒函數(shù)的全局帕德逼近

Winitzki利用全局帕德逼近法實(shí)現(xiàn)了橢圓函數(shù)、誤差函數(shù)、貝塞爾函數(shù)和艾里函數(shù)的有理逼近。全局帕德逼近法主要是利用初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和超越函數(shù)的漸近級(jí)數(shù)實(shí)現(xiàn)計(jì)算。當(dāng)｛0≤1，≥｝時(shí)，米塔-列夫勒函數(shù)E（）在［0，∞）上是單調(diào)且有限的，有E（∞）0。根據(jù)Winitzki的思想，可將全局帕德逼近法擴(kuò)展到雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)E（）(≥0)的數(shù)值計(jì)算之中，分2種情況計(jì)算：｛0≤1，｝和｛01｝。

（1）情況一：｛0≤1，｝

根據(jù)雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)定義式（4）得Γ（）E（）的泰勒級(jí)數(shù)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)：

其中，加權(quán)項(xiàng)Γ（）保證漸近級(jí)數(shù)（23）的第一項(xiàng)系數(shù)為1。

對(duì)式（22）和式（23）取全局帕德近似：

其中，∈?，表示全局帕德逼近的階數(shù)。而當(dāng)＝∞時(shí)，式（24）右邊多項(xiàng)式的值為p／q，且可令p＝q＝1。未知系數(shù)p和q（0，1，…，1）可由線性方程組求出：

其中，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，該非齊次線性方程組存在唯一解。當(dāng)≈時(shí)，式（24）的近似效果最好。

根據(jù)文獻(xiàn)［34］提及的米塔-列夫勒函數(shù)的2階逼近多項(xiàng)式，對(duì)式（22）和式（23）截?cái)酁?階和2階，令式（24）中2，得到：

將式（27）～式（29）代入式（25）和（26）中，解出系數(shù)：

將式（30）代入式（29）中得到E（）的2階全局帕德逼近式：

同理，若要計(jì)算E（）的階逼近，對(duì)式（22）和式（23）截?cái)酁?階和階，得：

將式（32）～式（34）代入式（25）和式（26）中，求解式（34）中的系數(shù)p和q（0，1，…，1）。但隨著式（34）中等號(hào)右邊的多項(xiàng)式階數(shù)的增大，系數(shù)p和q的表達(dá)式中的Γ代數(shù)項(xiàng)也會(huì)增多。當(dāng)階數(shù)7時(shí)，系數(shù)p和q的表達(dá)式中的Γ代數(shù)項(xiàng)超過(guò)1 000個(gè)。當(dāng)式（32）～式（34）中多項(xiàng)式階數(shù)較大，難以手算求解，可借助Matlab軟件中的（）函數(shù)求解代數(shù)方程，得到系數(shù)p和q的表達(dá)式。

系數(shù)p和q的表達(dá)式只跟參數(shù)和有關(guān)，因此可根據(jù)參數(shù)和的取值，預(yù)先計(jì)算系數(shù)p和q的值并存入矩陣中，以?xún)?yōu)化精度、計(jì)算時(shí)間和系統(tǒng)內(nèi)存。

經(jīng)過(guò)Matlab軟件求解可知，僅0，～p（2）的表達(dá)式太過(guò)復(fù)雜不便于表示，由式（34）得E（）的階全局帕德逼近式：

（2）情況二：｛01｝

當(dāng)時(shí)，米塔-列夫勒函數(shù)E（）有泰勒級(jí)數(shù)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)：

基于情況一的方法，解出情況二時(shí)E（）的2階全局帕德逼近式：

經(jīng)Matlab軟件求解可知，僅0，得E（）的階全局帕德逼近式：

2.4 仿真結(jié)果及分析

為研究全局帕德逼近算法對(duì)米塔-列夫勒函數(shù)的逼近效果，需要考慮的影響因素有：逼近階數(shù)和參數(shù)?？蓪⑷峙恋卤平惴ā⒎謪^(qū)算法和最優(yōu)拋物線圍線算法做比較，綜合分析全局帕德逼近算法的逼近性能。

相對(duì)誤差函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為：

米塔-列夫勒函數(shù)E（）和E（）的解析為：

其中，誤差函數(shù)（）：

在此基礎(chǔ)上，擬對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行剖析分述如下。

（1）分區(qū)算法、最優(yōu)拋物線圍線算法和全局帕德逼近算法的比較。這里利用分區(qū)算法、最優(yōu)拋物線圍線算法、全局帕德逼近算法和解析式（42）繪制米塔-列夫勒函數(shù)E（）曲線，并繪制3種算法與解析解之間的相對(duì)誤差曲線，如圖2所示。觀察到，最優(yōu)拋物線圍線算法在整個(gè)區(qū)間內(nèi)的計(jì)算精度最好，誤差穩(wěn)定在110數(shù)量級(jí)。分區(qū)算法的誤差在區(qū)間（10，15）內(nèi)急劇增大，最高達(dá)530.6%，在其他區(qū)間的計(jì)算精度很好，甚至在區(qū)間（14，1 000）內(nèi)的相對(duì)誤差為0。全局帕德逼近算法的10階逼近的最大誤差為110610，而在區(qū)間（150，1 000）內(nèi)的誤差穩(wěn)定在110數(shù)量級(jí)。

圖2 α＝1，β＝2，比較分區(qū)算法、最優(yōu)拋物線圍線算法和全局帕德逼近算法Fig.2 Comparing the partitioning algorithm，the optimal parabolic contour algorithm and the global Padé approximation algorithm forα＝1，β＝2

文獻(xiàn)［31］提到分區(qū)算法因使用了錯(cuò)誤的積分表達(dá)導(dǎo)致∈（，）時(shí)產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤，因此在區(qū)間（10，15）內(nèi)的誤差非常大。由此看出，分區(qū)算法的計(jì)算準(zhǔn)確性不如全局帕德逼近算法和最優(yōu)拋物線圍線算法。最優(yōu)拋物線圍線算法的計(jì)算精度高且穩(wěn)定，可用于下文驗(yàn)證全局帕德逼近算法的逼近性能。

（2）全局帕德逼近算法的逼近性能。為探究逼近階數(shù)對(duì)逼近效果的影響，可繪制不同階數(shù)下全局帕德逼近的相對(duì)誤差曲線，如圖3所示。當(dāng)｛01｝時(shí)，將全局帕德逼近算法和最優(yōu)拋物線圍線算法的計(jì)算結(jié)果相比較，如圖3（a）所示。當(dāng)｛0≤1，｝時(shí)，將全局帕德逼近算法和解析式（41）～（42）的計(jì)算結(jié)果相比較，如圖3（b）和圖3（c）所示。圖3展示了逼近階數(shù)2，4，6，8，10時(shí)的全局帕德逼近的相對(duì)誤差。

為探究對(duì)逼近效果的影響，固定的值，繪制在不同取值時(shí)的相對(duì)誤差曲線，如圖4所示。其中，縱坐標(biāo)表示全局帕德逼近算法和最優(yōu)拋物線圍線算法之間的相對(duì)誤差。

當(dāng)逼近階數(shù)2時(shí)，難以手算求解系數(shù)p和q，可借助Matlab軟件求解。當(dāng)05、1時(shí)，對(duì)應(yīng)的10階全局帕德逼近系數(shù)p和q（0，1，…，9）的值見(jiàn)表1和表2。

表1 系數(shù)pi（i＝0，1，…，9）的值（α＝0.5，β＝1，v＝10）Tab.1 The value of the coefficient pi（i＝0，1，…，9）（α＝0.5，β＝1，v＝10）

表2 系數(shù)qi（i＝0，1，…，9）的值（α＝0.5，β＝1，v＝10）Tab.2 The value of the coefficient qi（i＝0，1，…，9）（α＝0.5，β＝1，v＝10）

觀察圖3和圖4，可得結(jié)論：

圖3 v對(duì)逼近效果的影響Fig.3 The effect of v on the approximation

圖4 α對(duì)逼近效果的影響Fig.4 The effect ofαon the approximation

（1）全局帕德逼近算法能在任意逼近階數(shù)下計(jì)算米塔-列夫勒函數(shù)E（），逼近階數(shù)越高，誤差越小，逼近效果越好。當(dāng)逼近階數(shù)10時(shí)，已提供了足夠的計(jì)算精度，和最優(yōu)拋物線圍線算法相當(dāng)，計(jì)算精度可達(dá)110。

（2）當(dāng)?shù)闹倒潭〞r(shí)，的值越接近1，在區(qū)間（0，200）內(nèi)的誤差越大且存在一個(gè)最大誤差，而誤差在區(qū)間（200，∞）內(nèi)穩(wěn)定在低水平。

（3）當(dāng)取值很小或很大時(shí)，全局帕德逼近算法的優(yōu)勢(shì)尤其明顯，計(jì)算精度很高。取中間值時(shí)存在最大誤差，可提高逼近階數(shù)來(lái)降低誤差。

3 米塔-列夫勒函數(shù)導(dǎo)數(shù)的全局帕德逼近

3.1 任意階導(dǎo)數(shù)的全局帕德逼近

將全局帕德逼近算法擴(kuò)展到米塔-列夫勒函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)dE（）d（）（0，∈?）的數(shù)值計(jì)算，與2.3節(jié)方法相同，分2種情況：｛0≤1，｝和｛01｝。為了便于計(jì)算，取，則任意階導(dǎo)數(shù)表示為：

表3總結(jié)了雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)的全局帕德逼近，列出了參數(shù)適用范圍、核心計(jì)算公式（泰勒級(jí)數(shù)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)）以及階全局帕德逼近式。其中，表示米塔列夫勒函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)，表示全局帕德逼近算法的逼近階數(shù)，p和q表示全局帕德逼近式的系數(shù)。得到以下幾點(diǎn)：

表3 雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)的全局帕德逼近Tab.3 Global Padéapproximation for any derivative of two-parameter Mittag-Leffler functions

（1）階導(dǎo)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)的加權(quán)項(xiàng)：

（2）經(jīng)Matlab軟件編程求解，可知階導(dǎo)數(shù)的階全局帕德逼近系數(shù)p（0，1，…，1）：

當(dāng){0≤1，}時(shí)：…＝p＝p＝0；

當(dāng)｛01｝時(shí)：…＝p＝p0。

（3）當(dāng)階數(shù)2時(shí)，可直接手算解出系數(shù)p和q的表達(dá)式。當(dāng)階數(shù)2時(shí)，難以手算求解，系數(shù)p和q（0，1…，1）（除p＝0之外）的表達(dá)式隨著的增大而越復(fù)雜，此時(shí)可借助Matlab軟件求解。系數(shù)p和q的表達(dá)式只與參數(shù)和有關(guān)，因此可根據(jù)參數(shù)和的取值，預(yù)先計(jì)算系數(shù)p和q的值并存入矩陣中，以?xún)?yōu)化精度、計(jì)算時(shí)間和系統(tǒng)內(nèi)存。

3.2 仿真結(jié)果及分析

當(dāng){0≤1，≤，0}時(shí)，通過(guò)Matlab 軟件可求解任意階導(dǎo)數(shù)的全局帕德逼近式。為了探究全局帕德逼近算法的準(zhǔn)確性，不妨將全局帕德逼近式的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［35］中_（）函數(shù)的計(jì)算結(jié)果相比較，仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。_（）函數(shù)能求解1到4參數(shù)（、、、）的米塔-列夫勒函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，是目前唯一能夠求解任意階米塔-列夫勒函數(shù)導(dǎo)數(shù)的可用代碼。

為探究導(dǎo)數(shù)階數(shù)和逼近階數(shù)對(duì)逼近效果的影響，繪制E（）的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)在不同逼近階數(shù)下的相對(duì)誤差曲線，可見(jiàn)圖5～圖7。

圖7 α＝0.47，β＝0.47，x∈［0，3］Fig.7 α＝0.47，β＝0.47，x∈［0，3］

為了探究和取值向1趨近時(shí)的逼近效果，這里?。?5，07，09｝，繪制dE（）d（）的10階全局帕德逼近曲線、_（）函數(shù)曲線以及兩者的相對(duì)誤差曲線，可見(jiàn)圖8。

觀察圖5～圖8，得到結(jié)論：

（1）全局帕德逼近算法的逼近階數(shù)越高，誤差越小，逼近效果越好。

（2）米塔-列夫勒函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，達(dá)到相同逼近效果所需的逼近階數(shù)越高。圖5中，一階導(dǎo)數(shù)的四階逼近的相對(duì)誤差大小和三階導(dǎo)數(shù)的六階逼近的差不多。

圖5 α＝1，β＝8，x∈［0，20］Fig.5 α＝1，β＝8，x∈［0，20］

（3）當(dāng){01}時(shí)，和取值越接近于1，逼近效果越差。圖8中，在相同條件下，和取值越大，相對(duì)誤差越大。當(dāng)05時(shí)，最大相對(duì)誤差低于110。當(dāng)09時(shí)，最大相對(duì)誤差超過(guò)1×10%。

圖8 α和β對(duì)逼近效果的影響Fig.8 The effect ofαandβon the approximation

圖6 α＝0.65，β＝0.95，x∈［0，5］Fig.6 α＝0.65，β＝0.95，x∈［0，5］

4 結(jié)束語(yǔ)

米塔-列夫勒函數(shù)類(lèi)的表示、快速有效高精度計(jì)算、顯示、應(yīng)用是近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。本文基于全局帕德逼近技術(shù)構(gòu)造雙參數(shù)米塔-列夫勒函數(shù)E（）及其任意階導(dǎo)數(shù)dE（）d（）（∈?）的數(shù)值算法，從泰勒級(jí)數(shù)和漸進(jìn)級(jí)數(shù)出發(fā)實(shí)現(xiàn)高階全局帕德逼近。根據(jù)和的取值，分2種情況計(jì)算：｛0≤1，｝和｛01｝，理論分析并求解全局帕德逼近式。通過(guò)大量仿真實(shí)驗(yàn)，證明了全局帕德逼近算法的逼近性能優(yōu)越，數(shù)值求解結(jié)果穩(wěn)定可靠。逼近階數(shù)越高，逼近效果越好，10階逼近的計(jì)算精度可達(dá)110；導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，達(dá)到指定精度所需的逼近階數(shù)越高。