宋紅紅，劉 婷，錢俊宏，李佳文，張蓉竹

（四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610041）

引言

反射式光學(xué)系統(tǒng)以其無色差、寬波段、大尺寸等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于各類大口徑望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中[1-4]。傳統(tǒng)的同軸反射系統(tǒng)由于存在中心遮攔問題，視場(chǎng)受到影響，同時(shí)導(dǎo)致入射信號(hào)中低頻率的MTF 值出現(xiàn)下降，影響系統(tǒng)成像質(zhì)量。為解決此問題，通常采用光闌離軸、視場(chǎng)離軸或是兩者相結(jié)合的方法將同軸系統(tǒng)離軸化，避免中心遮攔，提高系統(tǒng)分辨率[3]。其中離軸兩反光學(xué)系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，加工和裝調(diào)難度相對(duì)較小，穩(wěn)定性好等，因此具有較好的實(shí)用性。

2013年，姜?jiǎng)P[5]利用離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)作為離軸折反式中波紅外連續(xù)變焦光學(xué)系統(tǒng)的入口端，使系統(tǒng)在250 mm～2 000 mm 焦距范圍內(nèi)連續(xù)變焦，且系統(tǒng)無遮攔，滿足100%冷光闌效率，成像質(zhì)量良好。2018年，郭占立[6]同樣用離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)作為可見光和紅外光雙波段共口徑連續(xù)變焦系統(tǒng)的入口端，擴(kuò)大了光譜接收范圍，系統(tǒng)在可見光和紅外光波段均能實(shí)現(xiàn)200 mm～2 000 mm 焦距范圍內(nèi)連續(xù)變焦，變焦軌跡平滑，系統(tǒng)成像質(zhì)量良好。谷茜茜[7]等人設(shè)計(jì)了離軸兩反無焦光學(xué)天線，系統(tǒng)的有效通光口徑為100 mm，放大倍率為5 倍，波段為500 nm～1 100 nm，全視場(chǎng)角為0.6°，波像差優(yōu)于λ/14（λ=500 nm），斯托列爾比大于0.8，像質(zhì)接近衍射極限，光學(xué)視場(chǎng)相對(duì)于傳統(tǒng)二次曲面系統(tǒng)增加26.7%，在激光通信領(lǐng)域具有較強(qiáng)的實(shí)用性和很好的發(fā)展前景。周欣茹[8]等人基于XY多項(xiàng)式自由曲面設(shè)計(jì)了一個(gè)大相對(duì)孔徑寬視場(chǎng)的離軸兩反自由曲面望遠(yuǎn)光學(xué)系統(tǒng)，其相對(duì)孔徑為1/3.75，全視場(chǎng)角為2.8°，在全視場(chǎng)范圍內(nèi)各個(gè)視場(chǎng)在空間頻率50 lp/mm 處的MTF 值大于0.4，系統(tǒng)整體成像性能優(yōu)良。

然而，系統(tǒng)在具體設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)初級(jí)像差的分析都是針對(duì)同軸兩反光學(xué)系統(tǒng)展開的，對(duì)離軸系統(tǒng)像差分布情況并未展開系統(tǒng)討論。本文從同軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)的三級(jí)（初級(jí)）像差理論出發(fā)，推導(dǎo)了主、次鏡偏心后的離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)的像差表達(dá)式，并用初級(jí)賽德爾系數(shù)將其展開并計(jì)算了不同面形離軸兩反系統(tǒng)的像差，利用Zemax 軟件對(duì)理論分析涉及到的鏡面組合進(jìn)行仿真，比較了不同面形組合下的光學(xué)系統(tǒng)像差特性，為離軸系統(tǒng)的基礎(chǔ)面形選擇以及系統(tǒng)的裝調(diào)提供參考。

1 離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)的像差分析

無焦系統(tǒng)是等效焦距為無限大，對(duì)光束沒有發(fā)散或聚焦作用的光學(xué)系統(tǒng)。離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)是將同軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行光闌離軸或者視場(chǎng)離軸，得到一個(gè)非對(duì)稱光路結(jié)構(gòu)。離軸兩反無焦系統(tǒng)分為兩種類型：一是主次鏡中間無實(shí)焦點(diǎn)的卡塞格林系統(tǒng)，如圖1(a)所示；二是主次鏡中間存在實(shí)焦點(diǎn)的格里高利系統(tǒng)，如圖1(b)所示。設(shè)計(jì)離軸兩反無焦系統(tǒng)時(shí)，首先需要根據(jù)高斯光學(xué)計(jì)算同軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，關(guān)鍵是確定主鏡的相對(duì)孔徑，然后根據(jù)要求計(jì)算光闌離軸量或視場(chǎng)傾斜角度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)離軸。對(duì)系統(tǒng)像差分析時(shí)，以同軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)的三級(jí)（初級(jí)）像差理論為出發(fā)點(diǎn)，研究離軸系統(tǒng)的像差表現(xiàn)形式，最后通過仿真軟件進(jìn)行比較。

像差是評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)質(zhì)量最直接參數(shù)之一。常用的圓形同軸系統(tǒng)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，對(duì)這種理想系統(tǒng)進(jìn)行像差分析時(shí)，通常選擇如圖2(a)所示的出瞳面和像面上的2 個(gè)量來描述光線的傳播路徑，用光線之間的光程差來定量描述，即常用的波像差[9]。對(duì)于光闌離軸系統(tǒng)，實(shí)際選用的光瞳部分是同軸初始光瞳的一部分，即圖2 中粗實(shí)線部分。

光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)波像差用矢量像差處理[10]，可以寫為

式中：k=2p+m；l=2n+m；（Wklm）j為第j個(gè)面上某種類型像差的像差系數(shù)；為歸一化視場(chǎng)矢量，其長(zhǎng)度為H，方位角為θ；為歸一化光瞳矢量，其長(zhǎng)度為ρ，方位角為φ。

如圖2(b)所示，X＇O＇Y＇為初始光瞳坐標(biāo)系，半徑為R＇；XOY為經(jīng)過光闌離軸后的子光瞳的參考坐標(biāo)系，半徑為R。對(duì)子光瞳內(nèi)的任一點(diǎn)P，其坐標(biāo)可由同軸系統(tǒng)和離軸系統(tǒng)的歸一化光瞳矢量坐標(biāo)變換來表示[11-12]，即：

初級(jí)波像差用矢量像差處理時(shí)，（1）式可化簡(jiǎn)為[13-14]

兩反無焦系統(tǒng)的主、次鏡是由2 片反射鏡組成，反射鏡不考慮色差，在應(yīng)用中主要考慮球差、彗差、像散、場(chǎng)曲及畸變[15]，對(duì)應(yīng)k+l=4的初級(jí)Seidel像差。離軸系統(tǒng)的三階波像差系數(shù)表達(dá)式為

將（4）式展開并整理，得：

對(duì)（5）式的求解結(jié)果進(jìn)行分析，可以得出以下主要結(jié)論：

1）將未校正初級(jí)像差的同軸系統(tǒng)進(jìn)行離軸設(shè)計(jì)后，離軸系統(tǒng)的初級(jí)像差由球差、彗差、場(chǎng)曲、像散、畸變組成，但各種像差與視場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系發(fā)生了變化。

2）由于同軸系統(tǒng)中賽德爾系數(shù)SI～SV均與主、次鏡的曲率半徑和圓錐系數(shù)有關(guān)，因此主、次鏡曲率半徑和圓錐系數(shù)均對(duì)離軸系統(tǒng)的初級(jí)像差存在影響。

3）離軸系統(tǒng)的球差為B4與對(duì)應(yīng)的同軸系統(tǒng)球差的乘積；彗差由同軸系統(tǒng)的彗差和球差轉(zhuǎn)換而來；像散由同軸系統(tǒng)像散、彗差、球差轉(zhuǎn)換而來；場(chǎng)曲由同軸系統(tǒng)場(chǎng)曲、彗差、球差轉(zhuǎn)換而來；畸變由同軸系統(tǒng)畸變、場(chǎng)曲、像散、彗差、球差轉(zhuǎn)換而來。因此當(dāng)主、次鏡均為拋物面時(shí)，SI=SII=SIII=SV=0，同軸系統(tǒng)只存在一定量的場(chǎng)曲，離軸后系統(tǒng)只存在場(chǎng)曲和畸變。

取離軸系統(tǒng)的半視場(chǎng)角為0.1°，相對(duì)孔徑為1/4.5，結(jié)合（5）式計(jì)算不同面形的非球面鏡組合下系統(tǒng)的初級(jí)像差系數(shù)。表1 給出主鏡的曲率半徑、同軸系統(tǒng)半徑、離軸后的半徑以及離軸量，并計(jì)算了光瞳孔徑壓縮比因子B和光瞳偏心因子dy，其中dx為0。離軸雖實(shí)現(xiàn)了中心無遮擋，但是離軸量一方面會(huì)影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的橫向尺寸，同時(shí)也會(huì)帶來不同的像差。綜合考慮加工難度以及機(jī)械結(jié)構(gòu)在裝調(diào)時(shí)需要留有的余量，在保證系統(tǒng)能達(dá)到衍射極限的情況下，依據(jù)主、次鏡的曲率半徑與所選取的入瞳直徑尺寸采用盡量小的離軸量。表2 為不同面形組合下計(jì)算得出的初級(jí)波像差系數(shù)（λ=0.587 6 μm）。

表1 不同組合離軸前后的各組變量Table 1 Each group of variables of different combinations before and after off axis

由計(jì)算結(jié)果可知，不同的面形組合會(huì)有不同的像差，如表2 中（1）、（2）數(shù)據(jù)所示，同為拋物面結(jié)構(gòu)，當(dāng)系統(tǒng)曲率半徑和離軸量相同，但結(jié)構(gòu)不同時(shí)，其像差不同。在表2 中（3）、（4）兩組計(jì)算結(jié)果表明，曲率半徑以及離軸量幾乎相同的雙橢球面組合，由于圓錐系數(shù)不同，所得到的像差結(jié)果也不同。由表2 可以看到，在同軸系統(tǒng)中未校正像差的離軸系統(tǒng)仍然存在，但是主、次鏡的面形都選擇拋物面時(shí)，剩余像差最少。根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果可以初步判斷，選取初始結(jié)構(gòu)時(shí)，采用雙拋物面組成的離軸兩反無焦系統(tǒng)引入的像差最少，作為基底不失為合理的選擇。

表2 初級(jí)波像差系數(shù)Table 2 Primary wave aberration coefficients

2 離軸兩反無焦系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與比較

離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)可應(yīng)用于空間光通信和激光準(zhǔn)直中，發(fā)射信號(hào)時(shí)用作擴(kuò)束系統(tǒng)，可增大束腰半徑，擴(kuò)大發(fā)射范圍，壓縮光束發(fā)散角，提高其準(zhǔn)直性，降低光源發(fā)射功率；接收信號(hào)時(shí)用作縮束系統(tǒng)，減小后續(xù)光路元件的尺寸，盡可能提高接收光功率。與聚焦系統(tǒng)不同，離軸兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)主要采用波前差和斯托列爾比進(jìn)行分析，一般波前差RMS 小于λ/14，斯托列爾比大于0.8。作為輔助評(píng)價(jià)方法，當(dāng)點(diǎn)列圖為圓形時(shí)光學(xué)系統(tǒng)能量集中且分布均勻，MTF 接近衍射極限，像質(zhì)較好。

為更系統(tǒng)地分析不同面形結(jié)構(gòu)下誤差的具體分布，我們進(jìn)行更詳細(xì)的比較。在每一種不同面形組合下，取可見光波段離軸反射系統(tǒng)相對(duì)孔徑為1/4.5，半視場(chǎng)角為0.1°，像質(zhì)評(píng)價(jià)時(shí)均取邊緣視場(chǎng)的波前差和斯托列爾比?？紤]到離軸兩反無焦結(jié)構(gòu)配合成像系統(tǒng)組成一個(gè)完整的遠(yuǎn)距離成像系統(tǒng)，在系統(tǒng)傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)指標(biāo)上，綜合考慮離軸兩反無焦系統(tǒng)、成像透鏡組的成像質(zhì)量，最終與選用的探測(cè)器像元尺寸（25 μm）相匹配，探測(cè)器陣列對(duì)應(yīng)的空間頻率為20 lp/mm，因此在后續(xù)所有仿真設(shè)計(jì)中考察此空間頻率下的MTF 值。

首先對(duì)主、次鏡均為拋物面的卡塞格林系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)進(jìn)行比較。圖3 和圖4 為卡塞格林系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)像質(zhì)分析結(jié)果，兩者主鏡曲率半徑均取900.000 0 mm，次鏡曲率半徑均取180.000 0 mm，主鏡離軸量均取180.000 0 mm。

通過比較可以看出，兩組系統(tǒng)的MTF 曲線已基本達(dá)到衍射極限，卡塞格林系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)在空間頻率20 lp/mm 處MTF 值均接近0.3。理論上，光學(xué)系統(tǒng)具有相同的F#時(shí)，系統(tǒng)MTF 衍射極限應(yīng)相同，但實(shí)際上系統(tǒng)的MTF 表現(xiàn)效果會(huì)受到像差和視場(chǎng)角大小的影響，卡塞格林系統(tǒng)與格里高利系統(tǒng)的場(chǎng)曲和畸變都不相同，所以系統(tǒng)MTF 衍射極限也存在差別。彌散斑均在艾里斑內(nèi)，0.1°視場(chǎng)時(shí)，卡塞格林系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)的彌散斑RMS 半徑分別為0.003 mr 和0.004 mr。

由像差數(shù)據(jù)可知，卡塞格林系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)的RMS 波前差分別為0.008 2 λ 和0.008 3 λ，均優(yōu)于λ/14，斯托列爾比均為0.997。兩種結(jié)構(gòu)均僅存在場(chǎng)曲與畸變，卡塞格林系統(tǒng)的場(chǎng)曲為0.028 802 λ，畸變?yōu)?0.003 619 λ，格里高利系統(tǒng)的場(chǎng)曲為?0.043 204 λ，畸變?yōu)?0.001 357 λ。兩種結(jié)構(gòu)的像差數(shù)據(jù)雖相差較小，但卡塞格林系統(tǒng)在空間頻率20 lp/mm 處MTF值更大，系統(tǒng)分辨率更好。

下面對(duì)采用雙橢球面的2 個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真與分析。圖5 為橢球面系統(tǒng)像質(zhì)分析結(jié)果。其中主鏡曲率半徑、主鏡離軸量、次鏡曲率半徑分別取3 282.043 0 mm、250.000 0 mm、749.068 4 mm，主、次鏡非球面系數(shù)滿足?10。

通過比較看出，橢球面系統(tǒng)在空間頻率20 lp/mm 處MTF 值大于0.8，扁橢球面系統(tǒng)邊緣視場(chǎng)MTF 值僅大于0。橢球面系統(tǒng)和扁橢球面系統(tǒng)RMS波前差分別為0.037 9 λ 與1.199 1 λ，斯托列爾比分別為0.943 和0.008。不同于拋物面系統(tǒng)，橢球面系統(tǒng)還存在球差、彗差以及像散，橢球面系統(tǒng)的彗差較小，為?0.086 376 λ，但扁橢球面系統(tǒng)的彗差達(dá)到了?1.218 345 λ。兩組系統(tǒng)場(chǎng)曲接近一致，分別為0.088 692 λ 和0.088 644 λ，像散分別為?0.004 591 λ和?0.064 730 λ，系統(tǒng)球差分別為?0.010 588 λ 和?0.094 654 λ，兩組系統(tǒng)畸變分別為?0.010 534 λ 和?0.013 722 λ。

由此可見，選擇雙橢球面雖能達(dá)到較好的空間分辨率，但像差引入更多，從而限制了系統(tǒng)的成像質(zhì)量。尤其當(dāng)次鏡非球面系數(shù)?e2>0 時(shí)，不僅不能滿足RMS 波前差小于λ/14、斯托列爾比大于0.8的要求，而且點(diǎn)列圖和MTF 變形嚴(yán)重，光學(xué)系統(tǒng)能量分布不均勻，像質(zhì)差。

針對(duì)主、次鏡均為雙曲面的卡塞格林系統(tǒng)而言，主、次鏡曲率半徑分別取1 486.425 7 mm 和264.639 7 mm，離軸量取300.000 0 mm，非球面系數(shù)均滿足?e2

由圖7 可以看出，系統(tǒng)在空間頻率20 lp/mm處MTF 值大于0.4，RMS 波前差為0.045 1 λ，斯托列爾比為0.920，彌散斑均在艾里斑內(nèi)，0.1°視場(chǎng)時(shí)存在一定的像散，大小為0.000 158 λ。系統(tǒng)的球差為0.001 484 λ，彗差為0.002 178 λ，場(chǎng)曲為0.054 905 λ，畸變小于0.2%，為?0.007 420 λ。由此可見，選擇雙曲面雖然能夠達(dá)到較好的空間分辨率，但更多像差的引入也將限制系統(tǒng)的成像質(zhì)量，球差和像散雖然較小，但是彗差與場(chǎng)曲都比較大，總體性能不及前述幾種結(jié)構(gòu)。

圖8 是主鏡為拋物面、次鏡為橢球面的格里高利系統(tǒng)的像質(zhì)分析結(jié)果，其中主鏡曲率半徑取1 679.202 4 mm，離軸量取200.000 0 mm，次鏡曲率半徑取387.636 9 mm，非球面系數(shù)滿足?1

由圖8 可知，系統(tǒng)MTF 曲線接近衍射極限，在空間頻率20 lp/mm 處MTF 值大于0.6，RMS 波前差為0.028 5 λ，斯托列爾比為0.968，彌散斑均在艾里斑內(nèi)，球差為0.006 284 λ，彗差為?0.002 105 λ，像散為0.000 176 λ，場(chǎng)曲為?0.071 633 λ，畸變小于0.15%，為?0.001 513 λ。由此可知，主鏡拋物面、次鏡橢球面的格里高利系統(tǒng)雖然能夠達(dá)到較好的空間分辨率，但會(huì)引入更多像差與較大的彗差和場(chǎng)曲，因此其成像質(zhì)量也將受到限制。

最后對(duì)主鏡為雙曲面、次鏡為拋物面的卡塞格林系統(tǒng)進(jìn)行分析。主鏡曲率半徑取3 167.337 4 mm，非球面系數(shù)滿足?e2

由圖9 可知，系統(tǒng)的MTF 曲線接近衍射極限，在空間頻率20 lp/mm 處MTF 值大于0.7，系統(tǒng)的RMS波前差為0.061 6 λ，斯托列爾比為0.864，彌散斑雖在艾里斑內(nèi)，但變形較嚴(yán)重，像散為0.000 001 λ，彗差為?0.000 006 λ，場(chǎng)曲為0.086 207 λ，球差為?0.012 862 λ，畸變小于0.1%，為?0.010 023 λ。由此可見，主、次鏡分別選擇雙曲面和拋物面的組合雖然也能夠達(dá)到較好的空間分辨率，并且像散和彗差很小，但場(chǎng)曲與球差都比較大，對(duì)系統(tǒng)整體成像質(zhì)量會(huì)有明顯影響。

由仿真結(jié)果可知，仿真的像差數(shù)據(jù)與理論分析基本相符，其數(shù)值相差小于0.001 λ，因此，本文推導(dǎo)的離軸兩反結(jié)構(gòu)像差計(jì)算公式具有合理性，提出利用像差來評(píng)價(jià)離軸兩反結(jié)構(gòu)系統(tǒng)及其元件選用方法的模型是可行的。

3 結(jié)論

兩反無焦光學(xué)系統(tǒng)有多種面形的鏡面組合結(jié)構(gòu)，在離軸情況下，系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須綜合考慮。本文在同軸兩反光學(xué)系統(tǒng)初級(jí)像差理論的基礎(chǔ)上，對(duì)離軸兩反光學(xué)系統(tǒng)的初級(jí)像差公式進(jìn)行了推導(dǎo)，具體計(jì)算了不同面形組合下系統(tǒng)的像差大小，并進(jìn)行了對(duì)比，以像差的種類及具體指標(biāo)作為系統(tǒng)性能的判定規(guī)則，確定了離軸兩反系統(tǒng)鏡面類型的選擇原則。利用ZEMAX 軟件對(duì)理論分析涉及到的鏡面組合進(jìn)行了仿真，理論分析及仿真結(jié)果表明，當(dāng)主、次鏡均選擇拋物面時(shí)，離軸兩反無焦系統(tǒng)將引入最少的像差，在其后加上成像系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的成像質(zhì)量。另外，當(dāng)主鏡為凹形拋物面，次鏡為凸形拋物面時(shí)，更能有效壓縮系統(tǒng)體積，在系統(tǒng)小型化設(shè)計(jì)中具有明顯優(yōu)勢(shì)。