馬淋峰，劉智穎，黃蘊涵，張玉慧，付躍剛

（1.長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院，吉林 長春 130022；2.長春理工大學(xué) 光電測控與光信息傳輸技術(shù)教育部重點實驗室，吉林 長春 130022）

引言

隨著微顯示技術(shù)的發(fā)展，增強現(xiàn)實（augmented reality，AR）技術(shù)在游戲、教育、安防、制造等市場的需求不斷增加，開發(fā)出低成本，質(zhì)量輕，小型化的設(shè)備已成為必然發(fā)展趨勢。硅基液晶（liquid crystal on silicon，LCoS）微顯示屏具有尺寸小、分辨率高、價格低等優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于AR 智能眼鏡投影領(lǐng)域中。照明系統(tǒng)是增強現(xiàn)實光學(xué)系統(tǒng)的重要組成部分，評價AR 眼鏡照明系統(tǒng)的方式主要有系統(tǒng)體積、能量利用率、屏幕均勻性3 個指標(biāo)[1]。對LCoS 實現(xiàn)矩形光斑均勻照明，常見方法有復(fù)眼照明系統(tǒng)[2-3]、光棒照明系統(tǒng)[4]、自由曲面透鏡照明系統(tǒng)[5-8]。其中，復(fù)眼系統(tǒng)與光棒照明系統(tǒng)光學(xué)元件相對較多，增加能量損耗，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，導(dǎo)致照明系統(tǒng)的體積比較大，而且制造成本相對較高。自由曲面照明系統(tǒng)有很好的調(diào)節(jié)光束角度和對光斑整形的能力，與前兩者相比，光學(xué)元件少，結(jié)構(gòu)更加緊湊，可以在AR 眼鏡中實現(xiàn)高效均勻照明。Kanayama H 等[9]2006年開發(fā)了一款采用LED 背光的投影儀，研制了一種新型四面非球面準(zhǔn)直器，提高了照明系統(tǒng)的能量利用率，樣機的光通量為12 lm。Fournier 等[10]2010年提出了一種基于點光源和目標(biāo)平面之間網(wǎng)格映射的自由曲面反射器，可以得到連續(xù)的自由曲面面型，實現(xiàn)了均勻矩形光斑照明。張文字等[11]2010年設(shè)計了基于TIR 透鏡的微型投影光引擎，光源經(jīng)過照明系統(tǒng)到達(dá)LCoS 顯示芯片上的能量利用率為53.33%，照明系統(tǒng)體積為30 mm×15.6 mm×8 mm。吳真琦等[12]2014年設(shè)計了基于自由曲面的勻光器件，光源經(jīng)過照明系統(tǒng)到達(dá)顯示芯片上的能量為56.5%。張倩等[13]2014年設(shè)計了基于復(fù)眼的LCoS 微投影系統(tǒng)，光源經(jīng)過照明系統(tǒng)到達(dá)LCoS 顯示芯片上的能量利用率為61%，照明系統(tǒng)體積為44.2 mm×12 mm×9 mm。

本文討論的自由曲面照明系統(tǒng)由前方折反射式準(zhǔn)直系統(tǒng)與后方自由曲面透鏡兩部分構(gòu)成，其中準(zhǔn)直系統(tǒng)主要對光源發(fā)出的光線進(jìn)行準(zhǔn)直，自由曲面透鏡對準(zhǔn)直光束進(jìn)行調(diào)控進(jìn)而實現(xiàn)矩形均勻照明[14]。為了構(gòu)建準(zhǔn)直部分模型，基于光線傳輸模型建立了系統(tǒng)投影角度與系統(tǒng)面型參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而得到系統(tǒng)體積與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。利用此關(guān)系可對準(zhǔn)直系統(tǒng)性能進(jìn)行精確評估，使得到的系統(tǒng)結(jié)果很好地與自由曲面透鏡進(jìn)行銜接，實現(xiàn)整體功能。自由曲面透鏡設(shè)計時基于經(jīng)典能量守恒定律，利用入射光線和目標(biāo)平面的一一映射關(guān)系最終得到自由曲面面型。

本文首先對光源準(zhǔn)直系統(tǒng)體積大小進(jìn)行分析計算，并涵蓋了準(zhǔn)直系統(tǒng)設(shè)計原理；其次對自由曲面透鏡進(jìn)行設(shè)計；再次使用給出的設(shè)計結(jié)果驗證系統(tǒng)性能質(zhì)量，并與設(shè)計的光棒照明系統(tǒng)進(jìn)行對比，突出本文設(shè)計的系統(tǒng)優(yōu)越性；然后對系統(tǒng)的制造公差進(jìn)行分析；最后對設(shè)計分析結(jié)果進(jìn)行討論，得出本文結(jié)論。本文設(shè)計的自由曲面面型連續(xù)性好，降低了設(shè)計難度，設(shè)計的準(zhǔn)直系統(tǒng)表面平滑、結(jié)構(gòu)簡單，利于生產(chǎn)加工，照明系統(tǒng)的整體尺寸適合頭顯系統(tǒng)輕盈小型的特點要求，相比于傳統(tǒng)照明系統(tǒng)，提升了能量利用率，縮減了結(jié)構(gòu)尺寸。

1 光源準(zhǔn)直系統(tǒng)設(shè)計原理

照明系統(tǒng)采用LED 作為光源，準(zhǔn)直系統(tǒng)的形式為旋轉(zhuǎn)對稱式結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)直系統(tǒng)剖面結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。從圖1 可看出，面1 和面2 為圓錐曲面，面3 為球面，準(zhǔn)直系統(tǒng)集光角度為 θ1與 θ2之和，LED 位于O點，準(zhǔn)直系統(tǒng)可以將發(fā)光角度小于或等于 θ1與θ2之和的LED 出射光線準(zhǔn)直。準(zhǔn)直系統(tǒng)分為邊緣孔徑部分與中心光孔徑部分，分別用來處理0～θ1孔徑角的光線與 θ1～ θ2孔徑角的光線。其中出射半角小于 θ1的光線由中間部分的非球面折射透鏡進(jìn)行準(zhǔn)直，出射半角大于 θ1的光線由反射式結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)直。

1.1 準(zhǔn)直系統(tǒng)參數(shù)的確定

準(zhǔn)直系統(tǒng)幾何原理圖如圖2所示。圖2(a)標(biāo)注了準(zhǔn)直系統(tǒng)的位置長度和口徑，h1為面1 的半口徑，h2為準(zhǔn)直系統(tǒng)前端半口徑，h3為準(zhǔn)直系統(tǒng)后端半口徑，z1、z2、z3為光源到準(zhǔn)直系統(tǒng)對應(yīng)面邊緣點的沿軸距離；圖2(b)標(biāo)注了系統(tǒng)對應(yīng)不同表面的曲率半徑以及光線經(jīng)過透鏡后的偏折角度，r1為面1 的曲率半徑，r2為面2 的曲率半徑，r3為面3 的曲率半徑，u為光線出射半角為 θ1的光線經(jīng)過透鏡時與光軸的夾角。

拋物面設(shè)計原理如圖3所示。圖3 采用笛卡爾坐標(biāo)系，O點為拋物線焦點，也是LED 光源位置。與光軸夾角為 θ1的光線經(jīng)過反射面反射后，沿著光軸平行出射，∠1和 ∠2分別為光線與切線的夾角，由反射定律與幾何關(guān)系可知。同理，與光軸夾角為θ1+θ2處的光線經(jīng)過反射面反射后沿著光軸平行出射，∠3和 ∠4分別為光線與切線的夾角，。

拋物線方程為

式中：R為拋物面曲率半徑；拋物面圓錐系數(shù)為?1。

對拋物線在Q點處方程求導(dǎo)可得：

式中h3為出射的平行光光斑半徑，也就是自由曲面透鏡前表面的半徑。

同理，對拋物線在S點處方程求導(dǎo)可得：

由拋物線性質(zhì)可求出z1和z3：

由幾何關(guān)系可求出z2和h1：

準(zhǔn)直系統(tǒng)曲率半徑參數(shù)圖見圖2(b)所示。根據(jù)幾何關(guān)系可求解出r3和u：

根據(jù)折射定律可求解出r1和r2：

通過以上公式可計算出射光束半徑為h3時準(zhǔn)直系統(tǒng)基本參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)建系統(tǒng)的初始結(jié)構(gòu)模型。下面基于中心孔徑與邊緣孔徑工作原理構(gòu)建系 統(tǒng)的體積尺寸模型。

1.2 準(zhǔn)直系統(tǒng)體積模型的構(gòu)建

準(zhǔn)直系統(tǒng)的體積模型如圖4所示。通過構(gòu)建準(zhǔn)直系統(tǒng)體積模型，探討準(zhǔn)直系統(tǒng)體積與光源入射光線角度 θ1和 θ2的關(guān)系。

根據(jù)文中計算出的相關(guān)參數(shù)，將體積求解分為5 部分，由三重積分表示各部分的體積為

計算V5時矢高，則有：

由準(zhǔn)直系統(tǒng)體積公式可以看出，準(zhǔn)直系統(tǒng)的體積和出射光線角度 θ1、θ2緊密相關(guān)。體積公式和出射光線角度之間的關(guān)系模型如圖5所示。從圖5可看出，系統(tǒng)中 θ1、θ2分別在(20°～40°)范圍內(nèi)浮動，光線角度在最小角度時系統(tǒng)整體體積最??；當(dāng)系統(tǒng) θ1、θ2增大到一定范圍后，系統(tǒng)的體積快速增加；同時還可以看到，θ1對系統(tǒng)體積影響比 θ2大，即在LED 發(fā)光角度增大時，可以側(cè)重增加 θ2的數(shù)值比重。在系統(tǒng)設(shè)計確定參數(shù)時，可以依托已有關(guān)系選擇合理參數(shù)，便于實現(xiàn)系統(tǒng)整體小型化。

2 自由曲面透鏡設(shè)計原理

系統(tǒng)的光斑整形部分采用自由曲面[15-16]形式，即根據(jù)折射定律建立自由曲面偏微分方程，然后根據(jù)能量守恒和網(wǎng)格微分映射關(guān)系確定自由曲面每個點處的法線，使經(jīng)過自由曲面的出射光線照射在預(yù)定的矩形區(qū)域，通過數(shù)值求解出自由曲面離散點云，對滿足照明要求的自由曲面面型進(jìn)行建模。將設(shè)計轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，在設(shè)計中可實現(xiàn)能量的重新分配，同時也要保證光學(xué)傳遞效率。

2.1 自由曲面偏微分方程構(gòu)建

圖6 為自由曲面透鏡的幾何布局。圖6 中透鏡前表面是平面，后表面為自由曲面，光軸為z軸，入射光束為平行光，與z軸平行準(zhǔn)直射入到透鏡前表面。當(dāng)光線到達(dá)后表面P點時光線路徑發(fā)生偏折，出射光照射在目標(biāo)平面T點。出射光線的位置完全由自由曲面面型決定，因此，讓光線到達(dá)目標(biāo)平面產(chǎn)生均勻矩形光斑照明的關(guān)鍵是對透鏡后表面進(jìn)行設(shè)計。

在直角坐標(biāo)系中，自由曲面P點坐標(biāo)為出射光線照射在目標(biāo)面上T點坐標(biāo)為。因此，入射光線的單位矢量、P點單位法向量和出射光線單位向量可分別表示為

式中：n0為透鏡所在的空氣折射率；n1為透鏡材料折射率。

將（20）式、（21）式、（22）式代入（23）式中進(jìn)行化簡，可得到自由曲面的偏微分方程組：

只有當(dāng)點T和入射光線單位向量之間的關(guān)系已知時，（24）式中的2 個偏微分方程才可求解，所以建立入射光線和目標(biāo)平面的能量映射關(guān)系是求出自由曲面離散點坐標(biāo)的關(guān)鍵。

2.2 能量映射關(guān)系的建立

LED 光源發(fā)出的光經(jīng)準(zhǔn)直系統(tǒng)準(zhǔn)直后，經(jīng)過自由曲面透鏡上P(x,y,z)點的光線經(jīng)過自由曲面透鏡折射后，照射在目標(biāo)平面T(tx,ty,tz)處，光線全部均勻照射到矩形LCoS 上。由能量守恒定律可知，光源與目標(biāo)平面的能量關(guān)系為

式中：φa為光源經(jīng)準(zhǔn)直系統(tǒng)出射的光通量；φb為矩形目標(biāo)平面上的光通量。

圖7 給出了用于在設(shè)計自由曲面透鏡時，目標(biāo)平面上產(chǎn)生矩形照明時平行光源到目標(biāo)平面的能量映射關(guān)系。為了使平行光源的微元S0上的光通量與目標(biāo)平面的微元T0上的光通量相等，需要對平行光源能量與矩形目標(biāo)平面上的照度進(jìn)行網(wǎng)格微元劃分，建立二者的能量映射關(guān)系[17]。

由于平行光源光強分布和矩形目標(biāo)平面都是軸對稱，只需設(shè)計1/4 透鏡，再通過鏡像對稱即可得到完整的自由曲面透鏡，因此僅對第一象限進(jìn)行能量映射關(guān)系推導(dǎo)。首先將第一象限長為X，寬為Y的矩形目標(biāo)平面以矩形形式等面積分成N份，然后將目標(biāo)平面從原點引出射線等分成M份，對應(yīng)的平行光源也以同種形式等分成M×N份網(wǎng)格。每個小矩形的長和寬分別為

式中(Xi,Yi)為微分矩形的頂點坐標(biāo)。

平行光源經(jīng)過微分后可得：

式中：θj為平行光網(wǎng)格上引出的射線與x軸的夾角；ri為半徑。

式中：x，y為平行光源網(wǎng)格上的坐標(biāo)，也就是自由曲面上的x，y坐標(biāo)；tx，ty為矩形目標(biāo)平面上的坐標(biāo)。

根據(jù)該坐標(biāo)關(guān)系，利用數(shù)值計算方法[18]求解偏微分方程組(24)式，就可以得到自由曲面面型的z坐 標(biāo)，自由曲面上的離散點坐標(biāo)(x,y,z)即可求出。

3 仿真與分析

3.1 準(zhǔn)直系統(tǒng)的光學(xué)仿真

將準(zhǔn)直系統(tǒng)在Zemax 軟件中優(yōu)化后的參數(shù)擬合出準(zhǔn)直系統(tǒng)的母線方程，準(zhǔn)直系統(tǒng)的母線均為二次圓錐曲線，利于加工生產(chǎn)。在SolidWorks 中應(yīng)用方程式驅(qū)動曲線的方法得到準(zhǔn)直系統(tǒng)的母線，再將此母線旋轉(zhuǎn)360°即可生成準(zhǔn)直系統(tǒng)的實體模型，其剖面圖如圖8所示。準(zhǔn)直系統(tǒng)前端口徑為4.64 mm，后端口徑為10 mm，總長度為7.9 mm。

準(zhǔn)直系統(tǒng)的曲面面型方程為

準(zhǔn)直系統(tǒng)中面型參數(shù)如表1所示。由于準(zhǔn)直系統(tǒng)是基于點光源設(shè)計的，所以實際應(yīng)用過程中，LED 光源應(yīng)該越小越好，準(zhǔn)直系統(tǒng)開口直徑h2為4.64 mm，選用的LED 尺寸為1 mm×1 mm，此時光源尺寸對照明的影響可忽略不計。將圖8所示的準(zhǔn)直系統(tǒng)導(dǎo)入光學(xué)照明軟件LightTools 中進(jìn)行仿真分析。設(shè)置透鏡材料為PMMA，折射率為1.493，拋物面內(nèi)壁鍍上反射膜層，建立光通量為100 lm，發(fā)散角為120°的朗伯型LED 光源，與準(zhǔn)直系統(tǒng)后端口徑相對應(yīng)的圓形接收器直徑為10 mm，仿真得到的準(zhǔn)直系統(tǒng)光線追跡圖如圖9所示，光斑照度圖如圖10所示。從圖10 可看出，能量利用率為95.76 %，準(zhǔn)直系統(tǒng)的出射光束直徑為10 mm，發(fā)光半角小于5°。

表1 準(zhǔn)直系統(tǒng)面型參數(shù)Table 1 Parameters of surface shape of collimating system

3.2 自由曲面透鏡建模

本設(shè)計中選用HIMAX 公司的HX7028 型CFLCoS 顯示芯片，該芯片顯示區(qū)域?qū)蔷€為0.35?，尺寸為7.68 mm×4.32 mm。根據(jù)LCoS尺寸在MATLAB軟件中進(jìn)行編程求解，給定初值后，依據(jù)能量網(wǎng)格映射關(guān)系（28）式和（29）式，采用數(shù)值計算方法求解（24）式。由于矩形照明具有對稱性，所以只需計算出第一象限上的自由曲面面型數(shù)據(jù)，如圖11所示。將自由曲面坐標(biāo)數(shù)據(jù)導(dǎo)入SolidWorks 軟件中進(jìn)行建模，得到自由曲面實體模型如圖12所示。圖12 中自由曲面透鏡厚度為2 mm，前表面口徑為10 mm，材料為PMMA。

3.3 整體光學(xué)系統(tǒng)的仿真與分析

增強現(xiàn)實照明系統(tǒng)基本原理如圖13所示。系統(tǒng)體積尺寸為23 mm×10 mm×10 mm，照明系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖14所示，光線追跡模擬圖如圖15所示。對于不同的照明要求，可設(shè)計出不同的自由曲面透鏡，再搭配上準(zhǔn)直系統(tǒng)就可以實現(xiàn)不同的照明效果。

將準(zhǔn)直系統(tǒng)和自由曲面透鏡導(dǎo)入Tracepro 軟件中進(jìn)行光線追跡，得到在LCoS 面板上的照度圖如圖16(a)所示，LCoS 面板上的整體光斑近似矩形，截取LCoS 有效顯示區(qū)域后的剩余光斑照度如圖16(b)所示。在LCoS 有效顯示區(qū)域的照度圖如圖17所示，照明系統(tǒng)在LCoS 表面形成的坎德拉分布如圖18所示。不計偏振損失的情況下，由圖17和圖18 可以看出，LED 發(fā)出的光能中約有66.6%以小于15°的入射角照射到LCoS 面板上。LCoS上各區(qū)域光照度值如表2所示。通過ANSI 九點法計算出LCoS 顯示區(qū)域的照度均勻性為91.96%。

表2 LCoS 上的區(qū)域光照度值Table 2 Regional illuminance values on LCoS

3.4 與光棒照明系統(tǒng)對比

根據(jù)前文所選擇的光源和LCoS 顯示芯片設(shè)計了一個光棒照明系統(tǒng)。光源發(fā)出的光束經(jīng)過光棒進(jìn)行勻光，然后經(jīng)過中繼透鏡組進(jìn)行放大成像，再經(jīng)過偏振分光棱鏡，最后照射在LCoS 上。圖19為光棒照明系統(tǒng)的光線追跡模擬圖，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸為54.4 mm×13 mm×13 mm，圖20 為LCoS 有效顯示區(qū)域照度圖。由圖20 可以看出，光棒照明系統(tǒng)的能量利用率為66.7%，通過ANSI 九點法計算出LCoS 有效顯示區(qū)域的照度均勻性為94.53%。在光學(xué)性能上，兩種形式的照明系統(tǒng)沒有明顯區(qū)別，但應(yīng)用在AR 眼鏡中的照明系統(tǒng)不僅要擁有良好的光學(xué)性能，更要注重系統(tǒng)體積的小型化。本文提出的增強現(xiàn)實照明系統(tǒng)光學(xué)元件少，體積尺寸僅為23 mm×10 mm×10 mm，結(jié)構(gòu)尺寸大大縮減。

4 系統(tǒng)制造公差分析

4.1 自由曲面面型加工誤差

本文中自由曲面面型是由一系列點構(gòu)成的，為了模擬表面加工誤差，在離散點z坐標(biāo)值上加一個Δ(n)，Δ(n)可以表示為l·sin[(2π/T)·n]。其中l(wèi)表示自由曲面面型誤差的極值，T為正弦函數(shù)的周期，可以用來表示表面誤差變化的頻率，n為劃分能量網(wǎng)格θ角方向的數(shù)據(jù)點編號。

當(dāng)設(shè)置誤差極值l為0.01 mm，T為10、50、100時，進(jìn)行仿真分析。圖21 為LCoS 有效顯示區(qū)域上的光斑照度，照明系統(tǒng)能量利用率分別為67.3%、66.3%、66.5%。圖22 為過LCoS 中心在X方向和Y方向的歸一化照度分布，通過ANSI 九點法計算出LCoS 上的照度均勻性分別為93.43%、92.27%、92.06%。從圖21 和圖22 可以看出，照明系統(tǒng)的能量利用率和照度均勻性結(jié)果并沒有明顯變化，說明此系統(tǒng)對自由曲面面型的允差較大。

4.2 準(zhǔn)直系統(tǒng)加工厚度誤差

準(zhǔn)直系統(tǒng)的加工厚度會存在誤差，對準(zhǔn)直系統(tǒng)厚度誤差分別為+0.02 mm 和?0.02 mm 時進(jìn)行仿真分析。圖23 為LCoS 有效顯示區(qū)域上的光斑照度，照明系統(tǒng)能量利用率分別為65.2% 和67.9%。圖24 為過LCoS 中心在X方向和Y方向的歸一化照度分布，通過ANSI 九點法計算出LCoS 上照度均勻性分別為92.46%和92.61%。從圖23 和圖24 可以看出，照明系統(tǒng)的能量利用率和照度均勻性結(jié)果并沒有明顯變化，說明此系統(tǒng)對準(zhǔn)直系統(tǒng)加工厚度的允差較大。

5 結(jié)論

本文采用LED 準(zhǔn)直系統(tǒng)與自由曲面透鏡組合，完成了基于LCoS 的AR 照明系統(tǒng)的設(shè)計。文中重點對準(zhǔn)直系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計和分析，對準(zhǔn)直系統(tǒng)的面型構(gòu)建進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，構(gòu)建了準(zhǔn)直系統(tǒng)的體積模型，并討論了LED 光線在準(zhǔn)直系統(tǒng)中的入射角度與系統(tǒng)體積的關(guān)系，利用此關(guān)系對準(zhǔn)直系統(tǒng)性能進(jìn)行準(zhǔn)確評估。最終得到的結(jié)果可很好地與自由曲面透鏡進(jìn)行銜接，保證了LCoS 顯示區(qū)域上照度均勻性為91.96%，同時光能利用率為66.6%，光能利用率相比以往微型照明系統(tǒng)有所提高，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸大大縮減。最后對此照明系統(tǒng)的可加工性進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，準(zhǔn)直系統(tǒng)的厚度和自由曲面的面型允差較大，利于實際生產(chǎn)加工。