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類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

2022-04-25 13:50劉勤鳳
關(guān)鍵詞:類比復(fù)習(xí)解題

劉勤鳳

[摘 ?要] 類比作為思考之源、思維之火,在如今的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用得較為廣泛. 它可將教授內(nèi)容與學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建立有效的連接,使學(xué)生深層次地理解新知. 文章就類比法在新授課、復(fù)習(xí)以及解題教學(xué)中的應(yīng)用談一些認(rèn)識.

[關(guān)鍵詞] 類比;教學(xué);復(fù)習(xí);解題

亞里士多德提出:“類比表示的是平行者之間的關(guān)系,而非部分對整體或整體對部分的關(guān)系. ”可見,類比是一種平行式的思維方式,主要通過對事物某些相同或相似面的比較,來推理某事物也具有另一事物相同或相似的特性. 類比結(jié)論的可靠度與類比對象之間的共通點(diǎn)的數(shù)量有關(guān),共通點(diǎn)數(shù)量越多,說明兩者之間的關(guān)聯(lián)度越大,結(jié)論的可靠性就越高.

數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科,可通過類比法使知識“由此及彼”,讓知識在歸納與演繹中更加深刻化、系統(tǒng)化.

類比法在新授課中的應(yīng)用

古往今來,人們在遇到新的問題時,常會習(xí)慣性地將自身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與現(xiàn)在遇到的問題進(jìn)行對比,希望從已有的認(rèn)知范疇中對新事物產(chǎn)生更多的認(rèn)識. 對比后會出現(xiàn)兩種情況:一是通過粗淺的類比,將新事物完全歸納到原有認(rèn)知范疇中,導(dǎo)致原有認(rèn)知范疇發(fā)生一定的改變或擴(kuò)大;二是在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上對新事物產(chǎn)生新的概念,獲得新的認(rèn)知,這是思維發(fā)展的重要體現(xiàn)[1]. 教學(xué)新知時,我們的目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)第二種情況,讓學(xué)生通過類比獲得新的定義或概念,實(shí)現(xiàn)思維的成長.

案例1 “立方根”的教學(xué).

從字面上來看,“立方根”與我們學(xué)過的“平方根”有著一定的聯(lián)系. 教學(xué)時,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從平方根的概念和性質(zhì)著手,通過類比的運(yùn)用,開發(fā)學(xué)生的潛能,讓學(xué)生在自主類比與分析中獲得新知.

平方根的概念:若一個數(shù)的平方為a,我們可稱此數(shù)為a的平方根,即±(a≥0).

平方根的性質(zhì):①每個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根;②0的平方根有且只有一個,即0;③負(fù)數(shù)沒有平方根.

教師可以要求學(xué)生根據(jù)以上學(xué)習(xí)過的內(nèi)容,通過合作學(xué)習(xí)的方式來自主探討立方根的概念與性質(zhì).

探討過程中,有學(xué)生根據(jù)平方根的概念推導(dǎo)出了立方根的概念:若一個數(shù)的立方為a,則稱該數(shù)為a的立方根,即,讀作三次根號a. 雖然這種說法不夠標(biāo)準(zhǔn)與完善,但從中可以看出學(xué)生類比方法的應(yīng)用程度.

在教師的引導(dǎo)與學(xué)生的積極交流之后,立方根的概念與性質(zhì)也悄然浮出了水面.

立方根的概念:若一個數(shù)的立方為a,則稱該數(shù)為a的立方根,寫作.

立方根的性質(zhì):①正數(shù)只有一個正數(shù)立方根;②0只有一個立方根,且為0;③負(fù)數(shù)只有一個負(fù)數(shù)立方根.

學(xué)生在上述類比中,深化了對立方根的認(rèn)識,同時,類比思想也在類比法的應(yīng)用中生根、發(fā)芽.

建立原有經(jīng)驗(yàn)與新信息的聯(lián)系是學(xué)習(xí)的本質(zhì),要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富、學(xué)法靈活,避免出現(xiàn)“堆砌知識積木”的弊端,教師就該應(yīng)用一些方法將學(xué)生的思維串聯(lián)起來,讓學(xué)生從中深刻體會知識的發(fā)生、發(fā)展動態(tài). 而類比法就是聯(lián)系新知與舊知的重要紐帶[2]. 通過類比不僅能加強(qiáng)知識的聯(lián)系,還能幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò),將新知很好地內(nèi)化到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

類比法在復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用

根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線,新知只有在一定的時間內(nèi)及時溫習(xí),才能達(dá)到記憶的恒久. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)亦如此,每隔一段時間,我們都要對所學(xué)知識進(jìn)行復(fù)習(xí),從而達(dá)到鞏固與提高的目的,為更好地解題奠定基礎(chǔ). 在復(fù)習(xí)教學(xué)中使用類比法,可讓知識在縱橫交融與拓展中達(dá)到以點(diǎn)串線、以點(diǎn)連線與點(diǎn)線成網(wǎng)的良好效果.

案例2 “中心對稱和中心對稱圖形”的復(fù)習(xí)教學(xué).

本章節(jié)的內(nèi)容相對抽象,學(xué)生在初學(xué)時就感到困難重重. 在復(fù)習(xí)階段,教師最大的任務(wù)就是幫助學(xué)生縷清其中的關(guān)系,并讓學(xué)生對相關(guān)概念產(chǎn)生深刻、形象的認(rèn)識. 筆者教學(xué)本章節(jié)復(fù)習(xí)課時,將它與“軸對稱和軸對稱圖形”進(jìn)行類比,具體過程如下.

師:哪位同學(xué)能簡單地描述一下軸對稱與軸對稱圖形之間的關(guān)系?

生1:如圖1所示,軸對稱主要是指兩幅圖之間的位置關(guān)系. 軸對稱圖形則是一個具備一條軸線的兩邊完全對稱的圖形(如圖2所示).

師:生1講得很清楚. 那么中心對稱和中心對稱圖形又各自具備怎樣的特點(diǎn)呢?請分組討論.

組1:將中心對稱與軸對稱進(jìn)行類比,可得出表1所示的結(jié)論.

組2:中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系如表2所示.

學(xué)生通過縱橫交錯的對比,不僅起到了溫故而知新的復(fù)習(xí)效果,還通過列表的方式將點(diǎn)狀的知識串聯(lián)成線、編織成網(wǎng),在大腦中建構(gòu)了一個完整的知識體系. 這樣的方式不僅能讓學(xué)生深化理解知識,還能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 并在知識的遷移中通過不斷的補(bǔ)充、改造與完善,使認(rèn)知實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)者容易遺忘孤立的知識點(diǎn),但系統(tǒng)化的知識在認(rèn)知中則呈現(xiàn)出穩(wěn)固的狀態(tài). 從上述教學(xué)案例不難看出,類比法的應(yīng)用能有效地將知識進(jìn)行融會貫通,形成知識網(wǎng)絡(luò),能幫助學(xué)生更好地建構(gòu)認(rèn)知體系.

類比法在解題教學(xué)中的應(yīng)用

知識水平的評價大多是采用考試來進(jìn)行,所以從某種程度上來說,解題能力能反映一個人的實(shí)際認(rèn)知水平. 那么類比法的應(yīng)用對提高學(xué)生的解題能力具有顯著的促進(jìn)作用,學(xué)生通過一般例題的學(xué)習(xí),根據(jù)其解題思想類比推導(dǎo)出新的解題思路,獲得舉一反三的解題能力.

案例3 用類比法解題.

問題:求代數(shù)式+的最小值.

不少學(xué)生看到這道題時不知從何處下手. 為此,教師可引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行思考,將本題巧妙地轉(zhuǎn)化成圖形題:

如圖3所示,C為BD上一個動點(diǎn),現(xiàn)分別過B,D兩點(diǎn)作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC,EC. 已知AB=1,DE=5,BD=8. 假設(shè)BC=x,那么CD=8-x,AC=,CE=. 此時問題轉(zhuǎn)化為求AC+CE的最小值.

顯然,當(dāng)A,C,E三點(diǎn)在一條直線上時,AC+CE的值最小. 由此,我們就可以順利地求得+的最小值.

解完本題后,教師又提出問題:請大家參照上述解題方法,通過構(gòu)圖獲得代數(shù)式+的最小值.

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用頻率相當(dāng)高. 本題將“數(shù)”與“形”的關(guān)系進(jìn)行類比與分析:從“數(shù)”的角度來看,我們看到的是代數(shù)式,但從“形”的角度來分析,我們看到的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離. 因此,數(shù)形結(jié)合的構(gòu)造方法會讓問題變得簡單、形象、直接,更符合學(xué)生的思維模式與認(rèn)知發(fā)展特征. 本題若只從代數(shù)的角度分析,不借助圖形,很難求出答案. 但從圖形的角度去思考,則很容易想到“兩點(diǎn)之間,線段最短”.

教師在學(xué)生順利解題的基礎(chǔ)上,又提出一道類似的問題供學(xué)生思考,這其實(shí)是讓學(xué)生鞏固新知. 學(xué)生通過例題的解決過程,掌握了一定的解題技巧,但那是在教師引導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 此時,新問題的提出就是為了檢驗(yàn)學(xué)生的掌握程度,讓學(xué)生在自主應(yīng)用中熟練解題流程,并將這種解題思路內(nèi)化為自己的認(rèn)知架構(gòu),下次再遇到類似的問題,便可以融會貫通,自主解題.

將類比法應(yīng)用到解題教學(xué)中,不僅能有效地提高學(xué)生的解題能力,還能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的正遷移,對學(xué)生創(chuàng)新能力的形成與發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響[3].

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,突破教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)的方法有很多,究竟要選擇哪種方法,可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和待解決問題的性質(zhì)來決定. 用類比法將知識進(jìn)行歸納、比較與分析,不僅能提高學(xué)生的探究熱情,還能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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