黃思語，王 博，曾星宇，李俊陽

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

內(nèi)嚙合少齒差行星減速器具備體積小、輕量化、運(yùn)行平穩(wěn)、傳遞效率高、承載能力強(qiáng)、噪聲小、精度高的優(yōu)點(diǎn)，因此在國防軍事、石油冶金、航空潛水等精密領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。剛?cè)釓?fù)合齒輪是基于橡膠合金濾波減速器中的重要齒輪傳動部件，將原來的剛性齒輪副和添加橡膠合金的傳動齒輪替換為金屬橡膠齒輪副，既可以補(bǔ)償出現(xiàn)的變形誤差，還能在高低溫的嚴(yán)峻環(huán)境下不受影響地工作，大幅度提高使用壽命和承載能力[1]。Hsieh等[2]提出了少齒差擺線針輪減速器的一種非銷式設(shè)計(jì)，改進(jìn)了自由銷和固定銷設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)，結(jié)果表明合理的設(shè)計(jì)參數(shù)確實(shí)可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的不足。Lin等[3]提出了一種基于擺線齒廓離散化的算法，對擺線齒輪減速器進(jìn)行齒面接觸分析，并以制造成本最小為目標(biāo)，對參數(shù)的公差進(jìn)行優(yōu)化。Sensinger[4]提出了統(tǒng)一的方程組來優(yōu)化擺線針輪減速器的應(yīng)力、效率及扭矩，并分析了減速器公差的來源及影響。石萬凱等[5]建立了復(fù)合擺線少齒差齒輪副的嚙合方程以及共軛齒廓方程，對其進(jìn)行嚙合性能分析。貴新成等[6]推導(dǎo)了在理想條件下高重合度擺線內(nèi)齒輪副的時變嚙合剛度、齒間載荷分配和齒面接觸強(qiáng)度計(jì)算模型。在剛?cè)釓?fù)合齒輪方面，Hao等[7]基于多柔體動力學(xué)技術(shù)，將剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)仿真方法應(yīng)用于行星齒輪傳動中。Liu等[8]建立了行星齒輪柔性-剛性耦合動力學(xué)模型, 分析了故障寬度、力矩和輸入速度對行星齒輪時域和頻域響應(yīng)的影響。Hu等[9]通過建模將柔性內(nèi)圈齒輪合理地分離為多截面曲線梁的形式，使嚙合線上的齒面位移得到了快速且準(zhǔn)確的估計(jì)。

這些研究都表明金屬橡膠齒輪與橡膠合金和剛性齒輪相比使用特性更優(yōu)良。為了使結(jié)構(gòu)更緊湊，將漸開線齒輪換成擺線齒輪，目前對于少齒差金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪的研究相當(dāng)缺乏。在實(shí)際應(yīng)用中，一些參數(shù)如彈性模量的大小對齒輪副動態(tài)特性的影響以及取值建議還不明確，因此，筆者將金屬橡膠用于濾波減速器的重要傳動部件即NN級復(fù)合擺線齒輪副中，以金屬橡膠彈性模量、雙聯(lián)齒輪之間的間隙和齒輪副中心距為參數(shù)變量對少齒差剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪副進(jìn)行動力學(xué)仿真分析，研究分析這3個參數(shù)對小齒輪及雙聯(lián)齒輪角速度、角加速度、嚙合力及傳動誤差影響的差異，并與未加金屬橡膠的齒輪副進(jìn)行比較，為金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副的設(shè)計(jì)及減少齒輪副運(yùn)轉(zhuǎn)過程中受到的振動和沖擊提供一定的指導(dǎo)。

1 齒輪副結(jié)構(gòu)原理及參數(shù)

1.1 金屬橡膠齒輪副結(jié)構(gòu)與原理

該新型齒輪機(jī)構(gòu)如圖1所示。減速器主要傳動部件包括：輸入軸、內(nèi)齒圈(Z4)、行星輪(Z2、Z3)、行星架、輸出輪(Z1)和輸出軸。在中間雙聯(lián)齒輪之間間隔相同的距離填充8個材料特性、體積大小完全一樣的金屬橡膠，如圖2所示，通過其彈性變形吸收振動沖擊并過濾掉噪聲，有效提高適用范圍，避免在極端環(huán)境下的突發(fā)狀況，比如空轉(zhuǎn)、卡死等[10]。圖2中，齒圈1和輸出齒輪6固定，輸入軸輸入，雙聯(lián)齒輪繞圖1中偏心軸的軸線轉(zhuǎn)動，并和輸入軸一起繞輸出軸軸線回轉(zhuǎn)，雙聯(lián)齒輪的內(nèi)齒輪5帶動輸出小齒輪6 輸出運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)減速；可以看到齒輪1和3在下方嚙合時，齒輪5和6在上方嚙合，這時二者之間的力可以相互抵消，改善了減速器的受力情況。

圖1 少齒差行星齒輪機(jī)構(gòu)簡圖Fig. 1 Schematic diagram of the planetary gear mechanism with a small tooth difference

1—齒圈；2—金屬橡膠；3—雙聯(lián)齒大齒輪；4—柱銷；5—雙聯(lián)齒小齒輪；6—小齒輪圖2 少齒差行星減速器雙聯(lián)齒輪示意簡圖Fig. 2 Schematic diagram of the double gear system of the planetary reducer with a small tooth difference

1.2 齒輪副主要參數(shù)

用四階復(fù)合擺線作為齒廓曲線，參數(shù)方程表示如下：

(1)

式中：d1為擺線輪齒齒高調(diào)節(jié)系數(shù)，d2則為齒形調(diào)節(jié)系數(shù)，β是四階復(fù)合擺線上點(diǎn)的位置參數(shù)，R是分布圓半徑，Z為齒數(shù)。相嚙合齒輪之間齒差N=1，傳動比i=30，偏心距e=0.5 mm。齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副參數(shù)

2 齒輪副虛擬樣機(jī)建立

建立三維實(shí)體模型后將復(fù)合擺線齒輪副裝配模型導(dǎo)出，通過View模塊，導(dǎo)入到ADAMS中，為了簡化模型，省略軸承、套筒等零部件。在Solidworks中建立的三組模型，每組模型分別依次改變金屬橡膠彈性模量、雙聯(lián)齒輪大齒輪和小齒輪之間的間隙和輸出齒輪副中心距，分析研究不同參數(shù)對少齒差復(fù)合擺線齒輪動態(tài)特性的影響。

2.1 金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副剛?cè)峄旌辖?/h3>

在ADAMS中導(dǎo)入單個金屬橡膠的模型，進(jìn)行網(wǎng)格劃分，運(yùn)用軟件自帶的Flex模塊使其轉(zhuǎn)換成柔性體。材料屬性定義為[11]：楊氏模量E=19 MPa，泊松比μ=0.34，密度ρ=2.78 g/cm3。在ADAMS里進(jìn)行金屬橡膠柔性體分析后，將產(chǎn)生的MNF文件導(dǎo)入，改變每個金屬橡膠的坐標(biāo)放置到齒輪副相應(yīng)位置。內(nèi)齒圈、雙聯(lián)齒輪和輸出小齒輪的材料均為45鋼，因此其材料屬性定義如下：E=2.07×105MPa，μ=0.29，ρ=7.801 g/cm3。

2.2 接觸約束和驅(qū)動的定義

為了更好地模擬系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動情況，需依照實(shí)際情況抽象出相對應(yīng)的運(yùn)動副及驅(qū)動，在構(gòu)件之間定義運(yùn)動副，但不能產(chǎn)生冗余約束。柱銷主要起轉(zhuǎn)動副和連接作用，為了方便定義運(yùn)動副，將柱銷建立為一個整體零件，偏心套主要提供輸入轉(zhuǎn)速，將其簡化為一個圓筒一起導(dǎo)入到ADAMS中。內(nèi)齒圈和機(jī)架之間定義為固定副；偏心套和機(jī)架之間、輸出小齒輪與機(jī)架之間定義為轉(zhuǎn)動副；雙聯(lián)小齒輪與機(jī)架之間、雙聯(lián)大齒輪與機(jī)架之間定義為平面副；偏心套和柱銷間為鉸鏈副；偏心套添加旋轉(zhuǎn)驅(qū)動。

采用Impact函數(shù)計(jì)算齒輪副的嚙合輪齒之間、橡膠和雙聯(lián)齒輪之間、銷與雙聯(lián)齒輪之間的接觸碰撞力，用剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來計(jì)算碰撞力。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]950提供的物體接觸剛度的計(jì)算，物體的接觸剛度系數(shù)K取決于撞擊物體的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料屬性。齒輪接觸剛度計(jì)算式為：

(2)

(3)

式中：q為曲率，x′(β)和y′(β)分別為齒廓曲線的參數(shù)方程x(β)和y(β)的一階導(dǎo)數(shù)；x″(β)和y″(β)分別為x(β)和y(β)的二階導(dǎo)數(shù)。圖3是擺線齒廓曲率圖，齒輪副齒頂與齒根交界處曲率為0，為了方便計(jì)算，需要取一個定值作為接觸曲率，鑒于齒廓嚙合時大部分的接觸在曲率為0的齒廓附近，在這里取曲率幅值的20%作為擺線齒廓的接觸曲率，對接觸曲率求倒可得到曲率半徑R1和R2。

圖3 擺線齒廓曲率Fig. 3 Curvature of the cycloid tooth profile

在剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪副的小齒輪與雙聯(lián)齒輪之間、雙聯(lián)齒輪與柱銷及內(nèi)齒輪之間添加剛性接觸，金屬橡膠和雙聯(lián)齒輪之間添加剛?cè)釓?fù)合接觸；而剛性擺線齒輪副的上述接觸均為剛性。

ADMAS中少齒差金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副剛?cè)峄旌夏Ｐ腿鐖D4所示。

圖4 復(fù)合擺線齒輪副剛?cè)峄旌夏Ｐ虵ig. 4 Rigid-flexible hybrid model of the composite cycloid gear pair

3 仿真結(jié)果分析

整機(jī)的仿真時間設(shè)置為0.1 s，仿真步數(shù)設(shè)定為1 000步，即步長為0. 000 1 s。為了研究齒輪副的傳動性能，分析不同金屬橡膠彈性模量、雙聯(lián)齒輪的間隙、齒輪副中心距的增大量Δa、Δb、Δc情況下輸出小齒輪振動角速度、角加速度、齒輪副嚙合力的頻譜特性以及輸出輪的動態(tài)傳動誤差。

3.1 振動角速度

圖5為復(fù)合擺線齒輪副在不同參數(shù)下的振動角速度FFT頻譜圖，圖(a)(b)(c)分別為不同參數(shù)下輸出小齒輪總方向振動角速度頻譜圖。由圖中可以看出輸出擺線輪齒的振動角速度分量主要集中在低頻和單倍嚙合頻率處，低頻分量不穩(wěn)定，在此不予考慮，與漸開線齒輪相比，在其倍頻處未發(fā)現(xiàn)明顯峰值及其規(guī)律，故在此只對單倍嚙合頻率峰值進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其均集中在1 500 Hz附近。表2所示是輸出小齒輪振動角速度幅值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，M-PLF表示總方向單倍嚙合頻率幅值。

表2 振動角速度幅值

從表中數(shù)據(jù)可以看出，隨著金屬橡膠彈性模量Δa增加，它的彈性變形減小，振動角速度減小較多，且角速度整體振動波動也減??；隨著間隙Δb增加，輸出輪角速度呈現(xiàn)減小的趨勢，振動幅度和波動趨勢也減緩；隨齒輪副中心距增大量Δc增加，金屬橡膠的預(yù)緊力增加，雙聯(lián)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中受到的阻力增大，雙聯(lián)齒輪的振動減小，輸出輪振動角速度的M-PLF幅值也有所減小。金屬橡膠彈性模量變化Δa對擺線輪振動角速度的影響最大，隨著彈性模量增加，輸出輪角速度總方向的峰值明顯降低；隨著雙聯(lián)齒輪間間隙增加，振動角速度減小的趨勢變緩，影響的程度較Δa??；中心距變化Δc對擺線輪振動角速度的影響最小，中心距增大，角速度減小的趨勢最小，單倍嚙合頻率峰值也處于改變金屬橡膠彈性模量、雙聯(lián)齒間隙、齒輪副中心距這3者中較高的水平。

3.2 振動角加速度

圖6(a)(b)(c)分別為不同彈性模量、雙聯(lián)齒輪間隙和中心距下輸出小齒輪振動角加速度FFT頻譜圖，忽略低頻段角加速度幅值。表3所示是輸出小齒輪振動角速度的M-PLF幅值。

表3 振動角加速度幅值

續(xù)表3

從表中數(shù)據(jù)可以看出，彈性模量Δa增加，雙聯(lián)齒輪的振動減小，從而小齒輪振動角加速度減小；間隙Δb增加使輸出齒輪角加速度呈現(xiàn)減小的趨勢，振動波動趨勢和振動角加速度減小的趨勢也減緩；中心距增大量Δc增加，小齒輪角加速度的M-PLF峰值減小。分析表中參數(shù)對振動角加速度的影響，金屬橡膠彈性模量Δa增加使小齒輪角加速度有一定程度減小，當(dāng)彈性模量從18 MPa增加到28 MPa時，M-PLF幅值減少幅度最大，但M-PLF幅值仍維持在較高數(shù)值；雙聯(lián)齒輪間隙對振動角加速度的影響最小，整體峰值水平最高；中心距增加則顯著降低了輸出小齒輪的角加速度M-PLF幅值，影響最大，在增加值從0.003 mm到0.006 mm期間幅值降低程度最大。

3.3 嚙合力

圖7(a)(b)(c)分別為不同參數(shù)下輸出小齒輪總方向嚙合力FFT頻譜圖，忽略圖中低頻段嚙合力幅值，表4為嚙合力的M-PLF幅值統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

表4中的數(shù)據(jù)表明輸出齒輪對之間的嚙合力隨著金屬橡膠彈性模量Δa增加而逐漸增加；雙聯(lián)齒輪間隙增加，齒輪副嚙合力減小；中心距增加，嚙合力有增加的趨勢，且增加的趨勢變大。彈性模量從48 MPa增加到58 MPa，嚙合力M-PLF幅值增加幅度最大；雙聯(lián)齒輪間隙增加不僅減小了嚙合力也減小了嚙合力頻率幅值，Δb從0.08 mm增加到0.10mm，幅值減小程度最大；中心距增大較大幅度地增大了齒輪副的嚙合力。復(fù)合擺線齒輪嚙合也符合普通齒輪嚙合定律，主動輪提供動力帶動從動輪運(yùn)轉(zhuǎn)，剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪真正意義上進(jìn)入嚙合狀態(tài)的只有輪齒齒頂處的一小段，在多齒嚙合過程中，每當(dāng)下一個齒進(jìn)入嚙合會對齒輪副傳動造成一定的沖擊，復(fù)合擺線輪輪齒嚙合承受的沖擊比漸開線輪齒及其他普通輪齒受到的沖擊都要小，運(yùn)動傳遞較平穩(wěn)。前面提到少齒差齒輪副中心距增大時，兩齒輪間預(yù)緊力會增加，嚙合力在此情況下則明顯增加。當(dāng)中心距從0.512 mm增加到0.515 mm時，嚙合力頻率幅值增加量最大。

表4 嚙合力幅值

3.4 傳動誤差分析

考慮到剛?cè)釓?fù)合齒輪中金屬橡膠以及雙聯(lián)齒輪之間存在間隙，雙聯(lián)齒輪的大齒輪與小齒輪的轉(zhuǎn)動并不同步，帶動輸出小齒輪的轉(zhuǎn)動也不同步，因此實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角不一致，存在傳動誤差。少齒差復(fù)合齒輪副的傳動誤差由輸出齒輪決定，設(shè)定一個和輸出小齒輪同軸的齒輪與擺線齒輪副進(jìn)行同步仿真，轉(zhuǎn)速和輸入軸轉(zhuǎn)速一致，測量在運(yùn)行過程中輸出輪與同步輪兩相同點(diǎn)的角度差來分析復(fù)合擺線齒輪副的傳動誤差。在MATLAB中對仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，計(jì)算出不同變量下每組數(shù)據(jù)的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差來分析不同參數(shù)下傳動誤差的大小以及誤差波動大小的變化。

圖8為不同參數(shù)下輸出小齒輪傳動誤差擬合曲線。從圖中可以看出，該擺線輪受金屬橡膠以及雙聯(lián)齒輪間隙的影響，其傳動誤差與漸開線齒輪有所不同，并不是呈周期性波動的，但傳動誤差波動均不大，除了0～0.20 s時間段處于快速增長階段，其余運(yùn)行時間一直處于比較穩(wěn)定的狀態(tài)，0.08～0.10 s這一時間段有一些小波動，但也都趨于穩(wěn)定?？梢钥闯霾煌饘傧鹉z彈性模量對傳動誤差的影響最小，各傳動誤差值變化不大；不同雙聯(lián)齒輪間隙對傳動誤差的影響最大，隨著間隙增大，傳動誤差值也增加，但誤差波動是3個不同參數(shù)下最小的；不同齒輪副中心距對傳動誤差的影響較大，隨著中心距增大，傳動誤差減小，但波動比改變金屬橡膠彈性模量和雙聯(lián)齒輪間隙時都要大。

圖8 傳動誤差分析圖Fig. 8 Transmission error analysis

表5是不同參數(shù)的傳動誤差數(shù)值分析，由于金屬橡膠和雙聯(lián)齒輪間隙的存在，輸出輪的轉(zhuǎn)動相比同步輪轉(zhuǎn)動稍微滯后一定的角度，這一部分的誤差變化用數(shù)據(jù)平均值來表示，表中的平均值只統(tǒng)計(jì)了仿真0.02～0.10 s時的數(shù)據(jù)，以此來表示輸出齒輪在較為穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下傳動誤差的平均值。從表中數(shù)據(jù)分析得出，隨著金屬橡膠彈性模量增加，傳動誤差平均值減小，在58 MPa時則出現(xiàn)增大，但總體變化不大；隨著間隙增加，平均值相應(yīng)增大，且增量較大；隨著齒輪副中心距增大，平均值呈減小趨勢。

表5 傳動誤差數(shù)值分析

表中的標(biāo)準(zhǔn)差表示傳動誤差偏離平均值的波動幅度的平均數(shù)，波動幅度的平均值越小，說明齒輪傳動越平穩(wěn)。表5中的標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)了0.02～0.10 s時的穩(wěn)定數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)表明隨著金屬橡膠彈性模量增加，標(biāo)準(zhǔn)差呈增大的趨勢；雙聯(lián)齒輪間隙增加，標(biāo)準(zhǔn)差變化沒有明顯的規(guī)律，除間隙為0.10 mm時標(biāo)準(zhǔn)差值較小，其余間隙下標(biāo)準(zhǔn)差變化不大；齒輪副中心距增大，標(biāo)準(zhǔn)差除中心距增加0.006 mm的情況下較大外呈現(xiàn)減小趨勢，且整體標(biāo)準(zhǔn)差是最小的。由此可知增大少齒差復(fù)合擺線齒輪副之間的中心距可以顯著提高輸出輪的傳動精度和穩(wěn)定性。

3.5 剛性、剛?cè)釓?fù)合齒輪副輸出輪對比分析

這兩種齒輪副都會受到負(fù)載沖擊產(chǎn)生較大波動，且均受到一個周期性的振動波動影響，但剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪副受波動影響相對于剛性齒輪副所受影響更小，突變也較少。在齒輪副嚙合過程中，偏心軸帶動柱銷給予內(nèi)齒輪5沖擊，從而導(dǎo)致輸出小齒輪的周期性振動波動。由圖9可以看出新型少齒差剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪副輸出小齒輪的角速度波動較小，說明金屬橡膠減少了一定的振動和沖擊，讓角速度的變化更加均勻。

圖9 兩齒輪副輸出輪角速度對比分析Fig. 9 Comparative analysis of the angular velocity of two gear pairs

由圖10可以看出少齒差金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副輸出小齒輪的傳動誤差整體波動較小，進(jìn)一步說明了金屬橡膠減少了振動和沖擊，傳動誤差雖然有波動但并沒有太大突變，提高了傳動精度及傳動平穩(wěn)性。

圖10 兩齒輪副輸出輪傳動誤差對比分析Fig. 10 Comparative analysis of transmission error between two output wheels

4 結(jié) 論

針對新型濾波減速器中的金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副，分析了不同參數(shù)變量下輸出小齒輪振動角速度、角加速度、齒輪副嚙合力的頻幅大小以及傳動誤差，得出了以下結(jié)論。

1)增加金屬橡膠的彈性模量一定程度上有助于減小輸出小齒輪振動角加速度，減小振動角速度，一定程度上也抑制了輸出輪振動波動，但增大了輸出輪齒輪副的嚙合力，對傳動誤差影響不大。

2)增大雙聯(lián)齒輪間隙，角速度、角加速度及嚙合力都有所減小，但是過大會對結(jié)構(gòu)、傳動效率、傳動平穩(wěn)及金屬橡膠的作用等方面造成影響，傳動誤差增大，反而不利，因此在設(shè)計(jì)制造復(fù)合擺線齒輪時，在條件允許的情況下可以適當(dāng)增加雙聯(lián)齒輪間隙。

3)增加少齒差剛?cè)釓?fù)合擺線齒輪副中心距，除輸出齒輪副嚙合力增大外，角速度、角加速度及傳動誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都有所減小，尤其在減小輸出輪角加速度方面作用明顯，振動波動趨勢減緩也明顯。

4)少齒差金屬橡膠復(fù)合擺線齒輪副的輸出小齒輪角速度比未加金屬橡膠的剛性擺線齒輪副的整體走勢波動小，輸出小齒輪的傳動誤差也相對穩(wěn)定，沒有劇烈波動，這說明金屬橡膠在齒輪副的運(yùn)轉(zhuǎn)過程中對載荷沖擊起到了一定的緩沖作用，從而使復(fù)合擺線齒輪副的運(yùn)轉(zhuǎn)更加平穩(wěn)，即其具有更好的傳動平穩(wěn)性。