劉 坤，張 拓，劉 昶，石萬凱，何愛民，孫義忠

(1.重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.南京高速齒輪制造有限公司，南京 211100)

長期以來，工程上評價構(gòu)件和零部件疲勞強度主要依據(jù)S-N曲線，由于疲勞試驗周期長，成本較高，根據(jù)傳統(tǒng)的實驗方法(成組法實驗)可能存在一定的試驗困難，部分學(xué)者借助仿真軟件，建立有限元模型對零部件進行疲勞分析[1-3]，胡建軍等[4]通過威布爾分布擬合出隨機疲勞載荷譜，對齒輪彎曲疲勞進行了研究，并得到了齒輪彎曲強度的S-N曲線。此外，基于小樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與擬合方法也得到了廣泛關(guān)注[5-9]，由于疲勞試驗中得到的循環(huán)壽命離散性較大，這就對小樣本疲勞試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計以及擬合方法要求更高。

傅惠民等[10-11]根據(jù)壽命破壞和剩余強度破壞率相等原理，提出一種極小子樣加速壽命試驗設(shè)計和可靠性分析方法，還提出了疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析異方差回歸的分析方法。謝里陽等[12]基于不同應(yīng)力下試樣疲勞壽命對應(yīng)的概率分位點不一致，提出了樣本信息聚集原理的小樣本數(shù)據(jù)P-S-N曲線擬合方法。白恩軍等[13]提出了服從威布爾分布的小樣本疲勞壽命試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析與P-S-N曲線擬合方法。劉建忠等[14]運用貝葉斯理論提出了小樣本實驗數(shù)據(jù)確定疲勞壽命的可靠方法。但上述方法的數(shù)學(xué)計算方式比較煩瑣且精度及可靠性方面存在較大的改進空間，不能較好地滿足實際工程應(yīng)用需求。

筆者基于不同應(yīng)力水平下試樣疲勞壽命對應(yīng)的概率分位點的一致性，采用數(shù)據(jù)共享與融合方法，把不同應(yīng)力下的疲勞壽命分別等效到基準應(yīng)力水平上，將等效壽命與基準應(yīng)力水平下的循環(huán)壽命混合，根據(jù)混合后疲勞壽命與基準應(yīng)力水平下疲勞壽命均值的相對誤差求得各級應(yīng)力水平下循環(huán)壽命的均值。同時以不同應(yīng)力水平為基準，對擬合得到的S-N曲線進行了討論。結(jié)合試驗數(shù)據(jù)表明，以低應(yīng)力下為基準結(jié)合改進后的方法擬合出的S-N曲線效果更好。

1 小樣本下的信息聚集

1.1 疲勞壽命概率分位點一致性原理

在工程實際中，由于材料在微觀組織結(jié)構(gòu)分布和力學(xué)性能方面均具有不均勻性，以及加工質(zhì)量對試件的影響，即使在相同的疲勞試驗條件下，各試件采集到的疲勞壽命值具有較大的分散性[15],則應(yīng)力與壽命之間不是單純的一一對應(yīng)關(guān)系，而是在不同應(yīng)力水平下具有與壽命母體相同的概率分位點。根據(jù)Miner法則定義，構(gòu)建的疲勞壽命與應(yīng)力之間具有線性關(guān)系，可以看作如圖1所示的一組具有存活率的應(yīng)力壽命曲線簇。

圖1 疲勞壽命概率分位點一致性原理圖Fig. 1 Schematic diagram of consistency of fatigue life probability quantile

如圖1所示，M和N點分別為可靠度為50%時S-N曲線在應(yīng)力水平σj和σk處兩點，兩者的存活率表達式如式(1)所示。

(1)

根據(jù)壽命概率分位點一致原理，任意一條S-N曲線為同一存活率下不同應(yīng)力下對應(yīng)的不同循環(huán)壽命，M和N點的存活率相同，有p(N

(2)

式中：nj,r為第j級應(yīng)力水平下的疲勞壽命；nk,i為第k級應(yīng)力水平下的疲勞壽命；σj和σk分別為j級和k級應(yīng)力水平下疲勞壽命的標準差。

1.2 樣本信息聚集原理

信息聚集原理就是把各個小樣本數(shù)據(jù)通過等效關(guān)系聚集成一個大樣本，根據(jù)概率分位點一致性原理，把各級應(yīng)力上的疲勞壽命向某一級應(yīng)力進行等效，在該應(yīng)力級上就可獲得較多的疲勞壽命數(shù)據(jù)。根據(jù)式(1)，將第k級應(yīng)力水平下的疲勞壽命等效到第j級應(yīng)力下，結(jié)果如式(3)所示。具體等效過程如圖2所示。

(3)

圖2 等效壽命轉(zhuǎn)換原理圖Fig. 2 Schematic diagram of equivalent life conversion

該方法可以實現(xiàn)不同應(yīng)力水平下疲勞壽命數(shù)據(jù)之間的相互轉(zhuǎn)化，將小樣本數(shù)據(jù)等效轉(zhuǎn)換融合為“當量大樣本”數(shù)據(jù)，形成樣本聚集和信息融合效應(yīng)[12]。對小樣本數(shù)據(jù)進行壽命分布參數(shù)估計時，既提高了樣本數(shù)據(jù)的使用效率，也提高了分布參數(shù)的估計精度。

2 基于樣本信息聚集方法的改進

謝里陽等[12]提出的樣本信息聚集原理結(jié)合攝動搜索尋優(yōu)技術(shù)，對于小子樣數(shù)據(jù)而言具有較強的實用性，能夠得到較為理想的疲勞P-S-N曲線，但在精度與可靠性等方面可以進一步改進。由于疲勞壽命數(shù)據(jù)的離散性較大，各級應(yīng)力下疲勞壽命的均值偏差較大，而該方法中均值作為已知參數(shù)參與樣本信息的聚集，難以確保疲勞S-N曲線的精確性。經(jīng)典的樣本信息聚集方法中，都是默認以高應(yīng)力水平為基準，沒有討論以哪一級應(yīng)力水平為基準擬合出的S-N曲線更精確。

1)選擇4級應(yīng)力水平進行疲勞壽命試驗，選取一基準應(yīng)力水平下進行大樣本試驗，做10個疲勞試樣，記錄各試樣得到的疲勞壽命nj,r(r=1～10)。其他3級應(yīng)力水平下進行小樣本試驗，各做5個(或3個)疲勞試驗，并記錄各個試驗的疲勞壽命nk,i(i=1～5)。

(4)

(5)

式中mj與mk分別為第j級與第k級應(yīng)力水平下的試樣數(shù)。

3)由式(6)中第sj級應(yīng)力及該應(yīng)力水平下的循環(huán)壽命試驗數(shù)據(jù)為基準可以估計得到其他應(yīng)力水平下疲勞壽命的均值，即

μk=μj+ki(sj-sk)。

(6)

(7)

(8)

基于該改進方法，當以高應(yīng)力水平為基準時，其S-N曲線的擬合方法如下：

因此，根據(jù)搜索可以得到3個不同應(yīng)力水平下的ki值，代入式(6)可以估計得到第2，3，4級應(yīng)力水平下循環(huán)壽命均值μ2，μ3，μ4；最后由最小二乘法對每級應(yīng)力及該應(yīng)力水平下的疲勞壽命均值進行擬合得到S-N曲線。

(9)

(10)

改進后樣本聚集方法的具體步驟如圖3流程圖所示。

圖3 疲勞特性曲線擬合流程圖Fig. 3 Fatigue characteristic curve fitting flowchart

3 案例分析

為驗證改進后樣本信息聚集方法的有效性和可靠性，利用文獻[16]提供的齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)(如表1所示)進行擬合分析，并與傳統(tǒng)方法擬合出的結(jié)果進行對比。從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，同一級應(yīng)力水平下的疲勞壽命離散性較大，因此，對該實驗數(shù)據(jù)中應(yīng)力與疲勞壽命分別取對數(shù)進行分析。

表1 各級應(yīng)力水平下齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)

續(xù)表1

為了使小樣本數(shù)據(jù)擬合出的S-N曲線與完全樣本下擬合效果更為接近，筆者對不同應(yīng)力水平為基準擬合出的S-N曲線進行了對比。分別以高應(yīng)力(第1級應(yīng)力)水平、低應(yīng)力(第4級應(yīng)力)水平以及中間級應(yīng)力(第3級應(yīng)力)水平為基準，進行S-N曲線擬合對比分析，驗證提出方法的可行性以及尋求小樣本數(shù)據(jù)下最為合理的擬合方法。

3.1 小樣本數(shù)據(jù)擬合結(jié)果分析

根據(jù)表1中的齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)，在基準應(yīng)力水平下選取完全疲勞壽命(10個數(shù)據(jù))，其他應(yīng)力水平下隨機選取5個疲勞壽命數(shù)據(jù)，隨機選取3組數(shù)據(jù)。擬合得到的S-N曲線如圖4～6所示。

圖4為以高應(yīng)力水平為基準，根據(jù)改進后的樣本信息聚集方法、傳統(tǒng)成組法以及經(jīng)典樣本信息聚集方法，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。從圖中可以看出，相對于經(jīng)典樣本聚集方法，改進后的樣本信息聚集方法擬合出的S-N曲線與傳統(tǒng)成組法更為接近。改進后的方法擬合出的曲線與傳統(tǒng)成組法在斜率上的相對誤差分別為0.410%，4.300%，2.050%，截距上的相對誤差分別為0.017%，0.620%，0.620%。

圖4 以第1級應(yīng)力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 4 S-N curve fitting based on the first-level stress level

圖5為以低應(yīng)力水平為基準，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。通過與傳統(tǒng)成組法擬合結(jié)果進行對比可以看出改進后的方法擬合效果要優(yōu)于經(jīng)典樣本聚集方法，與傳統(tǒng)成組法擬合出的S-N曲線在斜率上的相對誤差分別為0.410%，1.310%，4.840%，截距上的相對誤差分別為0.078%，0.300%，0.800%。

圖5 以第4級應(yīng)力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 5 S-N curve fitting based on the fourth-level stress level

圖6為以中間應(yīng)力水平為基準，對隨機選取的3組數(shù)據(jù)分別擬合出S-N曲線。通過與傳統(tǒng)方法擬合結(jié)果進行對比可以看出改進后的方法擬合效果要優(yōu)于樣本聚集方法，與傳統(tǒng)方法擬合出的S-N曲線在斜率上的相對誤差分別為0.082%，0.900%，2.700%，截距上的相對誤差分別為0.086%，0.089%，0.480%。

圖6 以第3級應(yīng)力水平為基準的S-N曲線擬合Fig. 6 S-N curve fitting based on the third-level stress level

根據(jù)圖3～5中S-N曲線的擬合結(jié)果可以看出，無論以哪一級應(yīng)力水平作為基準，相對于經(jīng)典樣本聚集方法，改進后的樣本信息聚集方法擬合出的S-N曲線都更加接近傳統(tǒng)成組法，且擬合出的S-N曲線的斜率和截距與傳統(tǒng)方法的相對誤差較小。因此，證明了筆者提出的方法對小樣本疲勞數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的可行性，并且提高了曲線的擬合精度。

3.2 不同基準載荷下疲勞特性對比分析

為了探究以哪一級應(yīng)力水平作為基準能提高小樣本數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的精確性，根據(jù)改進后的樣本信息聚集方法，以不同應(yīng)力水平作為基準隨機抽取8組數(shù)據(jù)進行S-N曲線擬合。由擬合得到的曲線，在應(yīng)力599～1 316 MPa范圍內(nèi)從低到高隨機選取8個應(yīng)力值進行疲勞壽命預(yù)測，其結(jié)果作為預(yù)測疲勞壽命。由傳統(tǒng)成組法預(yù)測出的疲勞壽命作為理論疲勞壽命，對預(yù)測出的疲勞壽命進行整理，做出了該應(yīng)力區(qū)間范圍內(nèi)疲勞壽命分布區(qū)間，如圖7所示。

圖7 預(yù)測疲勞壽命分布區(qū)間Fig. 7 Predicted fatigue life distribution interval

根據(jù)圖7(a)可以發(fā)現(xiàn)，以高應(yīng)力水平為基準預(yù)測得到的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命，最大波動范圍為(-0.119 7，0.106 3)；從圖7(b)可以看出，以低應(yīng)力水平為基準時預(yù)測出疲勞壽命相對于理論疲勞壽命，最大波動范圍為(-0.076 1，0.082 8)；以中間應(yīng)力水平為基準時,如圖7(c)所示，預(yù)測出的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命的波動范圍為(-0.112 5，0.031 5)。3種不同基準下,預(yù)測得到的疲勞壽命與理論疲勞壽命誤差絕對值的范圍分別為:(0.000 0，0.119 7)，(0.000 0，0.082 8)，(0.000 0，0.112 5)。

根據(jù)上述計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，以高應(yīng)力水平為基準預(yù)測出的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命波動范圍最大。以中間應(yīng)力水平和低應(yīng)力水平為基準預(yù)測得到的疲勞壽命相對于理論疲勞壽命誤差最小。其中，以低應(yīng)力水平為基準預(yù)測出的疲勞壽命與理論疲勞壽命誤差絕對值的范圍最小，且均勻分布在理論疲勞壽命線左右。以中間應(yīng)力水平為基準預(yù)測出的疲勞壽命，整體上要低于理論疲勞壽命，根據(jù)該方法預(yù)測得到的疲勞壽命值偏于保守。根據(jù)構(gòu)件的疲勞特性[17]，當以高應(yīng)力水平為基準時，由于低應(yīng)力水平下的試驗數(shù)據(jù)較少，在等效過程中會忽略疲勞壽命數(shù)據(jù)的離散性，使得在預(yù)測疲勞壽命時會產(chǎn)生較大的誤差。而當以低應(yīng)力水平為基準，可以考慮到其他應(yīng)力水平下疲勞壽命數(shù)據(jù)向低應(yīng)力水平等效時的離散性，因而可以較好地保證預(yù)測疲勞壽命的精度。因此，以低應(yīng)力水平為基準對于小樣本數(shù)據(jù)采用樣本信息聚集原理擬合得到的S-N曲線效果更好。

在進行疲勞試驗時，需要對S-N曲線的擬合精度和成本進行綜合考慮，以低應(yīng)力水平為基準時，應(yīng)力水平過低，試件可能會產(chǎn)生無限壽命，導(dǎo)致試驗過長，造成時間和資源的浪費，為提高實驗效率，應(yīng)選接近且不小于構(gòu)件的極限疲勞強度作為最低加載載荷。

4 結(jié) 論

1)筆者根據(jù)樣本聚集原理對疲勞失效軌跡線進行了拓展，使其可進行定量化分析。并以此原理為基礎(chǔ)，結(jié)合壽命概率分位點一致原理，對樣本信息聚集方法進行了改進，提出了一種基于小樣本數(shù)據(jù)擬合S-N曲線的方法。

2)筆者利用齒輪彎曲疲勞壽命數(shù)據(jù)對改進后的方法進行了驗證，在與傳統(tǒng)成組法擬合得到的曲線進行了對比之后，發(fā)現(xiàn)改進后的方法擬合出的S-N曲線要比經(jīng)典樣本聚集方法效果好，擬合精度得到了提高。

3)根據(jù)改進后的小樣本擬合S-N曲線方法，對不同應(yīng)力水平為基準進行了研究，發(fā)現(xiàn)以低應(yīng)力水平為基準擬合的S-N曲線預(yù)測得到的壽命與傳統(tǒng)成組法相比誤差范圍最小。所以，以低應(yīng)力水平為基準結(jié)合改進后的小樣本擬合方法擬合出的S-N曲線效果更好。