文 /錢秀梅

引 言

為促使學生深入理解數(shù)學知識，形成高階數(shù)學思維，教師應引導學生主動學習、深入探究，以此實現(xiàn)學生對數(shù)學學習的深度參與，使其獲得深度思維，從而達到深度學習的層次。但是應該選擇怎樣的問題驅(qū)動學生的深度學習？教師在學生學習的過程中應當做哪些引導？學生的深度學習有沒有限度？這些問題都需要教師進行思考。文章結(jié)合筆者之前的一個教學片段，就驅(qū)動學生的深度學習展開討論。

一、深度學習，引發(fā)思考

在教學“圓的周長”一課時，筆者設(shè)計了這樣一個問題：“一個長方形木框的長是40厘米，寬是24厘米，一個半徑為2厘米的圓環(huán)在木框內(nèi)部沿著四條邊繞一圈，圓心經(jīng)過的軌跡長度為多少厘米？如果繞著木框的外面繞一圈，圓心經(jīng)過的軌跡長度又是多少厘米？”

在學生嘗試獨立解答時，筆者發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學生畫了圖。在組織學生交流時，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學生輕松解決了第一個問題，而第二個問題不出意外地“全軍覆沒”了。于是筆者提示學生利用手中的模型模擬圓環(huán)滾動的過程，觀察圓環(huán)繞木框內(nèi)部和外部滾動一圈時的運動軌跡是不是相似的。一段時間之后，學生發(fā)現(xiàn)了以下問題。如圖1所示，圓環(huán)在木框內(nèi)部滾動時，圓心運動軌跡是一個小的長方形，其長度比木框的長短4厘米，寬度也比木框的寬短4厘米。但是當圓環(huán)在長方形木框的外部滾動一圈時，其圓心最多到達長方形頂點的上方，無法到達圖示位置（如圖2）。所以，當圓環(huán)繞木框外部滾動一周時，其圓心的運動軌跡并不是一個長方形。結(jié)合圖示和操作，學生發(fā)現(xiàn)圓心到達長方形頂點正上方時，圓開始繞著長方形的這個頂點旋轉(zhuǎn)四分之一周，結(jié)合四個頂點處圓心的運動軌跡，學生可以知道圓心經(jīng)過的軌跡長度為一個完整的圓的周長與長方形的周長之和。通過解決這個問題，學生受到很多啟發(fā)。

圖2

圖1

學生最初為什么會“全軍覆沒”呢？經(jīng)驗主義起到了絕對的作用，在解決圓環(huán)繞著木框內(nèi)部滾動一圈的問題時，學生發(fā)現(xiàn)了圓心能夠到達的極限位置，這讓他們在解決第二個問題時很自然地將之前的經(jīng)驗遷移過來。在教師展示了幾個學生畫的靜態(tài)示意圖后，學生并沒有意識到這兩種滾動有什么不同，而只有在繼續(xù)深入探析圓心到達長方形的頂點正上方之后會不會繼續(xù)沿著原來的方向行進到圖示位置時，才意識到圓心的運動軌跡跟之前不同。在此基礎(chǔ)上，學生的探究有了動力，有了基礎(chǔ)，有了方向。

回溯整個教學過程，學生解決這個問題時由淺入深，對問題的認識逐層遞進，這樣的學習是有深度的、觸及數(shù)學本質(zhì)的。

二、深度學習，“深”在何處

深度學習的“深”不應當是艱深的意思，不是指在教學過程中要有意加強練習的難度和繁雜程度，適合學生的教學才是最有效的。教師在教學時，要根據(jù)不同年齡段學生的認知能力和心理發(fā)展水平，把握教學的“度”，力求切合學生的“最近發(fā)展區(qū)”，而不是超越學生的認知“天花板”，這樣的教學才能令學生感到有價值、有意義[1]。因此，深度學習的“深”應當體現(xiàn)在教學內(nèi)容能引發(fā)學生的真思考，推動學生的思維向縱深處發(fā)展；應當體現(xiàn)在教學方式能推動學生的真探究，讓學生在自主學習中體驗真實的問題解決過程；應當體現(xiàn)在需要通過集思廣益才能解決的較高難度問題的探討環(huán)節(jié)；應當體現(xiàn)在學生經(jīng)歷學習過程后的深入的體會和深切的啟發(fā)[2]。

在教學“認識百分數(shù)”時，筆者設(shè)計教學環(huán)節(jié)首先想到的就是讓學生深入生活，探索生活中有哪些百分數(shù)，用在什么地方，這些數(shù)與分數(shù)有什么不同，用法上有什么差別。因此，筆者先預設(shè)導學案，要求學生收集一些生活中典型的百分數(shù)，結(jié)合具體的百分數(shù)體會其含義，并將自己的收獲及遇到的疑難問題記錄下來。學生很快辨析出百分數(shù)和分數(shù)的不同，百分數(shù)只用來表示分率，而不能表示具體的數(shù)量。在交流“百分數(shù)不能表示具體的數(shù)量，所以百分數(shù)后面不加單位名稱”這個知識點時，一個學生的分享內(nèi)容給筆者帶來了驚喜。這位學生表示自己在收集百分數(shù)時發(fā)現(xiàn)百分數(shù)后面都沒有單位，所以他意識到百分數(shù)只能表示兩個量之間的關(guān)系，不能表示某一個具體的數(shù)值。但是他無意中發(fā)現(xiàn)酒瓶上的百分數(shù)后面有“vol”字樣，于是通過查閱資料來驗證“vol”是不是單位名稱，然后找出了該字符的具體含義。他列舉的這個案例不僅驗證了其他學生的發(fā)現(xiàn)，還拓寬了學生的數(shù)學視野，有力地詮釋了什么是好的學習、有效的學習，同時也給其他學生帶來了啟發(fā)。

在這節(jié)課上，筆者也展示了自己收集到的一些百分數(shù)，這些百分數(shù)來自一種飲料的營養(yǎng)成分表。最初，學生認為這里的百分數(shù)表示的是某一種元素在整個飲料中的配比，但當他們看到其中一個營養(yǎng)元素的百分數(shù)超過100%時，立即推翻了自己之前的想法。當學生產(chǎn)生困惑時，筆者引導他們從不同角度猜想這里的百分數(shù)含義。學生的猜想集中指向飲料不是單位“1”。對此，筆者表示贊許，隨后解開了學生的疑問，讓他們知道這些百分數(shù)的單位“1”是正常人一天對該元素的需求量。

三、深度學習，如何去“深”

（一）深度經(jīng)歷

方法比知識重要，過程比結(jié)果重要。在數(shù)學學習的過程中，學生不僅需要知道一類問題的解法，還要把握知識的來龍去脈，從根本上理解問題，這樣的學習才是有效的、有價值的、有深度的。換個角度來看，當學生忘記了具體的知識時，如果能夠從根源出發(fā)，將知識和規(guī)律再現(xiàn)，也可以達成培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目標。

例如，在一年級“十幾減九”的教學中，一些學生在學習新課之前已經(jīng)能夠熟練計算減數(shù)是9的減法，同時，他們知道可以用被減數(shù)個位上的數(shù)加上1求得答案，但是這只能說明學生具備了一定的運算技能。教師如果只通過強化訓練來鞏固學生的運算技能，那么學生的學習只能流于表面。在實際教學中，教師只有讓學生面對“十幾減九”的實際情況，經(jīng)歷探索算法的過程，逐步優(yōu)化算法，才能使學生的學習落到本質(zhì)上。因此，在教學這部分內(nèi)容時，筆者首先創(chuàng)設(shè)情境，引導學生列出“13－9”這個算式，然后自己想辦法從13中把9分出去。學生提出幾種不同的思路：（1）看圖數(shù)一數(shù)；（2）“破十法”，先將13分成10與3，用10減去9得到1，與剩下的3相加得到4；（3）“平十法”，先從13中減去3，再減6，這樣得到4；（4）“想未知加數(shù)法”，思考加法中9＋（ ）＝13，就知道減法算式的差是4。在交流了這些方法后，大部分學生選擇的方法是“破十法”，也有學生選擇其他方法。對此，筆者不置可否，將被減數(shù)從11到18依次列出來，讓學生計算減去9后的差是多少。在羅列出所有算式的答案后，筆者再引導學生去觀察和比較，使其發(fā)現(xiàn)“差比被減數(shù)個位上的數(shù)大1”這個規(guī)律。由此，筆者再追問學生“1從何而來”？結(jié)合“破十法”，學生就理解了“1”是10減去9得到的。在探析規(guī)律的過程中，學生對“破十法”有了更深刻的認識，自然而然地選擇使用這個方法來計算。這就為之后學生學習20以內(nèi)的退位減法打下了基礎(chǔ)，同時，其他方法的出現(xiàn)也拓展了學生的數(shù)學視野。學生在這樣的課堂上收獲滿滿。

（二）深度建構(gòu)

數(shù)學知識本身的關(guān)聯(lián)性和邏輯性對學生構(gòu)建整體數(shù)學體系是有幫助的。在數(shù)學教學過程中，教師不能著眼于單個知識，而是要將知識放到合適的背景中，讓知識回歸本原體系，這樣學生在學習時才能觸類旁通，建構(gòu)完整的知識體系。學生在建構(gòu)知識體系時，對數(shù)學的認知一定是立體的，數(shù)學學習一定是深入的、深刻的。

例如，在“認識公頃”的教學中，筆者單刀直入：“今天我們將一起來學習一個新的面積單位。”同時，板書課題“認識公頃”。隨后，筆者引導學生提出在看到這個課題后想到哪些問題。學生立即回憶起之前學過的幾個面積單位，提出了一些有價值的問題，如“這個面積單位比平方米大還是比平方米小”“它和之前學習的面積單位有什么關(guān)系”“為什么這個面積單位不叫作平方什么”等。在記錄下學生的問題后，筆者引導學生從平方米入手，將面積單位與正方形的邊長對應起來，并告知學生“公頃這個面積單位大小是一個邊長為100米的正方形的面積大小”。由此展開學習，學生不僅想象出這個面積單位的面積大小，還得出公頃和平方米之間的換算關(guān)系，并根據(jù)“平方米和公頃之間還有一個邊長為100米的正方形大小的面積單位”得出“公頃不叫平方百米就是因為這個面積單位比較特殊”。筆者肯定了學生將公頃叫作平方百米的想法，并介紹了“公畝”這個單位，將整個知識體系補充完整。經(jīng)歷了這樣的學習過程，學生對“公頃”這個面積單位的認識維度更多元，對整個面積單位體系的建構(gòu)更完備，此后對“平方千米”的認識也就水到渠成。

（三）深層追問

追問是數(shù)學教學的一種有效手段，可以促進學生的深度思考，讓學生循著現(xiàn)象去探索內(nèi)在的、本質(zhì)的數(shù)學規(guī)律。因此，在教學過程中，教師要審時度勢，把握學生學習中的疑難點，從學生的困惑出發(fā)，引出問題，通過深層追問推動學生的深度學習。

例如，在學習“間隔排列”的規(guī)律時，學生通過自主學習發(fā)現(xiàn)兩種不同物體在間隔排列中可能出現(xiàn)的幾種排列方式，并用圈圓圈的方法將不同排列方式下物體的個數(shù)對應起來，從而發(fā)現(xiàn)當一種物體兩端都有時，個數(shù)比中間的物體個數(shù)多1，當一種物體只有一端有而另一端沒有時，兩種物體的數(shù)量是相同的。由此，結(jié)合生活中的一些實例，學生不僅牢牢記住了規(guī)律，還能熟練運用規(guī)律去解決相關(guān)的問題。

四、深度學習，意義深遠

深度課堂是小學數(shù)學教學的追求，在深度課堂上推動學生的深度學習對學生的學習有著深遠的影響。

（一）深度學習讓學生更獨立

深度學習的形成有兩個基本維度，一是讓學習真實發(fā)生，讓學生遇到有價值的問題，圍繞問題展開研究、交流；二是讓學生通過各種形式展開深入思考，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，獲取數(shù)學規(guī)律的本質(zhì)。真實的問題會讓學生更獨立。例如，在學習“認識升和毫升”時，如果紙上談兵，學生的量感養(yǎng)成比較困難；如果讓學生走進生活、走進超市，讓學生從1毫升、10毫升再到100毫升和1000毫升去感知、體驗，學生不僅會對這樣的容積單位有深刻的認識，還可以增強量感，并在學習的過程中掌握數(shù)學學習的方法。

（二）深度學習讓學生更自信

數(shù)學是思維的“體操”，有效的數(shù)學活動不僅可以增強學生的思維靈活度，還能滿足學生的內(nèi)在需求，激發(fā)學生數(shù)學學習的自信，培養(yǎng)學生積極的數(shù)學學習情感。例如，教師在數(shù)學課上與學生一起玩“搶15”的游戲，規(guī)定一次可以按順序報一個或兩個數(shù)字，最終報到15的人獲勝。教師讓學生先報數(shù)，反復幾次，參賽的學生都以失敗告終。這時學生的關(guān)注點就聚集到游戲規(guī)則上，從而領(lǐng)悟關(guān)鍵點，并由此展開探索。在學生成功發(fā)現(xiàn)“奧秘”之后，其數(shù)學學習自信會油然而生。

結(jié) 語

總之，深度學習對學生數(shù)學學習的影響意義非凡，能夠讓學習真正發(fā)生，讓學生獲益匪淺。因此，在實際教學中，教師要為學生的深度學習創(chuàng)設(shè)機會，引領(lǐng)學生去探索、辨析、建構(gòu)、領(lǐng)悟，從而實現(xiàn)深度學習，打造卓有成效的深度課堂。