李海婷，張鵬超，咼生富，劉亞恒，徐鵬飛

（1.陜西理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，陜西漢中 723001；2.陜西理工大學(xué) 陜西省工業(yè)自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西漢中 723001）

移動(dòng)機(jī)器人的編隊(duì)廣泛應(yīng)用于遠(yuǎn)地作業(yè)、協(xié)助軍事運(yùn)動(dòng)、震后搜索與營(yíng)救、自動(dòng)化工廠、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及防疫消殺場(chǎng)合中，是多智能體領(lǐng)域的重要研究方向之一[1-2]。常用的編隊(duì)控制方法有跟隨領(lǐng)航者法、人工勢(shì)場(chǎng)法、基于行為法等[3]。近年來(lái)，隨著智能控制技術(shù)的大力發(fā)展，遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法[4]、模糊控制[5]、滑?？刂芠6-9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[10]、預(yù)測(cè)控制[11]等被應(yīng)用到多智能體編隊(duì)中來(lái)，其中遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法屬于同一類(lèi)型的路徑搜索算法，會(huì)出現(xiàn)局部最優(yōu)、死鎖問(wèn)題；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在“黑匣子”和學(xué)習(xí)速度慢問(wèn)題；預(yù)測(cè)控制算法中存在大量參數(shù)，當(dāng)有擾動(dòng)時(shí)魯棒性難以保證；而自適應(yīng)模糊控制算法因其不依賴(lài)于被控對(duì)象的精確模型，與滑?？刂葡嘟Y(jié)合具有高魯棒性和易于軟件實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。

傳統(tǒng)的模糊滑?？刂品ㄒ言诙嘁苿?dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制中得到應(yīng)用，雖可以滿(mǎn)足控制系統(tǒng)對(duì)實(shí)時(shí)性、自適應(yīng)調(diào)整的要求，但在編隊(duì)過(guò)程中仍出現(xiàn)控制精度差、自適應(yīng)能力有限、振蕩等問(wèn)題。為此，Chen等[12]提出一種自適應(yīng)模糊滑膜控制器，提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)性，但響應(yīng)時(shí)間明顯增加。Djelal和Nair等[13-14]從動(dòng)力學(xué)的角度，利用模糊邏輯系統(tǒng)補(bǔ)償控制率中的不確定性，有效減小了系統(tǒng)抖振，但控制精度有待提高。在實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)器人在編隊(duì)過(guò)程中控制精度低、通訊范圍有限時(shí)機(jī)器人會(huì)掉隊(duì)造成任務(wù)失敗，預(yù)設(shè)性能約束是解決該問(wèn)題的方法之一。在預(yù)設(shè)條件下，Bechlioulis和Dai等[15-16]設(shè)計(jì)了一種具有最小復(fù)雜度的魯棒分布式控制律，但跟蹤曲線(xiàn)抖動(dòng)范圍大，有較大的超調(diào)，Verginis等[17]研究了具有雙積分動(dòng)力學(xué)編隊(duì)控制問(wèn)題，但控制系統(tǒng)響應(yīng)速度較低,在此基礎(chǔ)上，Dai等[18]引入tan型李亞普諾夫函數(shù)，設(shè)計(jì)虛擬控制器完成了圓形編隊(duì)，通過(guò)控制輸入力矩使距離誤差和角度誤差控制在一定范圍內(nèi)，跟蹤誤差精確度較低，且跟蹤曲線(xiàn)有微小的抖動(dòng)。

本文通過(guò)綜合考慮機(jī)器人自身安全距離、角度約束和外部環(huán)境未知擾動(dòng)影響，提出一種新的預(yù)設(shè)性編隊(duì)控制算法，通過(guò)設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)來(lái)約束跟蹤誤差范圍，設(shè)計(jì)滑膜控制率來(lái)逼近理想輸入狀態(tài)量，利用模糊邏輯消除系統(tǒng)抖振，并采用Lyapunov理論分析證明了該控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在仿真實(shí)驗(yàn)研究中，通過(guò)與文獻(xiàn)[18]提出的tan型障礙李亞普諾夫算法跟蹤誤差和隊(duì)形整體評(píng)價(jià)函數(shù)相比較，對(duì)該算法的準(zhǔn)確性以及有效性進(jìn)行分析。

1 移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)基本模型

1.1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)-動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人Kobuki建立模型，機(jī)器人底盤(pán)主要由兩個(gè)后輪和一個(gè)前輪組成，后輪用來(lái)驅(qū)動(dòng)，前輪用來(lái)平衡系統(tǒng)，見(jiàn)圖1。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)-動(dòng)力學(xué)模型

由圖1可得機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程[19]：

式中：j為機(jī)器人繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；M為機(jī)器人的質(zhì)量；J為輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；c為粘性阻尼系數(shù)；k為放大系數(shù)；ul、ur為左右輪的輸入力矩；r為車(chē)輪半徑；dl、dr分別為機(jī)器人系統(tǒng)左右輪的擾動(dòng)力矩；l為左右兩輪中心線(xiàn)間距離的1/2；θ為機(jī)器人的航向角；ω為角速度；v為線(xiàn)速度。

由圖1得機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[20]為

1.2 虛擬領(lǐng)航-跟隨者相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

為減小跟隨者對(duì)領(lǐng)航者的過(guò)度依賴(lài)，避免鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)造成的跟蹤誤差累積問(wèn)題，采用虛擬領(lǐng)航-跟隨運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，參與編隊(duì)的i（i= 1，2，3，···，n）個(gè)機(jī)器人為跟隨者，以虛擬領(lǐng)航機(jī)器人為參考點(diǎn)，各機(jī)器人與虛擬領(lǐng)航者保持一定的距離和角度實(shí)現(xiàn)編隊(duì)。虛擬領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型如圖2所示。

圖2 跟隨者與虛擬領(lǐng)航者相對(duì)運(yùn)動(dòng)位姿模型

設(shè)虛擬領(lǐng)航者的位姿qd=[xdydθd]T，ud=[vdwd]T， 跟 隨 機(jī) 器 人 的 位 姿qi=[xiyiθi]T，ui=[viwi]T，二者之間的相對(duì)位姿p=[pxidpyidpβid]T，由圖2可得跟隨機(jī)器人i與虛擬領(lǐng)航者的相對(duì)位姿方程為

式中： Δx=xd?xi； Δy=yd?yi。

2 控制器的設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 問(wèn)題描述

為了直觀的描述控制系統(tǒng)，確定輸入輸出量及控制目標(biāo)，聯(lián)立式（2）~ 式（4）得控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)-動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為

其中：

式中：p為 相對(duì)位置的輸出；u為 控制輸入；d(t)為未知擾動(dòng)。定義 δr=[δxidδyidδθid]T為相對(duì)位姿的理想值，則跟蹤誤差e=pid?δid，對(duì)其求二階導(dǎo)可得

取預(yù)設(shè)性能指標(biāo)函數(shù)為 λ (t)，設(shè)計(jì)為λ(t)=(λ(0)?λ∞)e?βt+λ∞， 其 中 ， β >0, 0 < |e(0)| < λ (0)則 λ (t)>0，按指數(shù)快速收斂到 λ∞的值。控制目標(biāo)為通過(guò)設(shè)計(jì)控制率使跟隨機(jī)器人與虛擬領(lǐng)航者保持一定的距離和角度,編隊(duì)控制跟蹤誤差在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處于預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)，從而保持控制系統(tǒng)的高精度跟蹤和穩(wěn)定性。

2.2 預(yù)設(shè)誤差性能函數(shù)設(shè)計(jì)

為了保證跟蹤誤差快速收斂，并達(dá)到一定的收斂精度，現(xiàn)取單一變量跟蹤誤差進(jìn)行分析，并設(shè)跟蹤誤差為[20]

其中S(ε)=e(t)/λ(t)，且S(ε)需滿(mǎn)足如下要求：

1）S(ε)為光滑連續(xù)的單調(diào)遞增函數(shù)；

2）?1

3）S(ε)∞=1，S(ε)?∞= ?1。

根據(jù)上述要求設(shè)計(jì)誤差性能函數(shù)S(ε)為雙曲正切函數(shù)，表示為

由于 ? 1

從而e(t)的收斂集合 ? ={e∈R:|e(t)|≤ λ∞}，通過(guò)對(duì)跟蹤誤差的限定，可實(shí)現(xiàn)理想輸出和輸出值范圍的限定。

2.3 模糊滑模控制率設(shè)計(jì)

根據(jù)雙曲正切函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)S(ε)的反函數(shù)為ε=0.5[ln(λ+e)?ln(λ?e)]，則:

由式(10)、式(11)可得

取滑模函數(shù)為

則有

其中u1=M3B(p)u。設(shè)控制量u1為

因滑模存在條件為 σ σ˙<0，K(t)是保證運(yùn)動(dòng)到達(dá)滑模面的增益，其值必須滿(mǎn)足消除不確定項(xiàng)的影響的要求，所以設(shè)計(jì)模糊規(guī)則：ss˙>0和K(t)同增同減。由模糊規(guī)則可設(shè)計(jì)關(guān)于 σ σ˙和K(t)關(guān)系的模糊系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中， σ σ˙為輸入，K(t)為輸出。輸入輸出隸屬函數(shù)如圖3和圖4所示。

圖3 輸入變量隸屬函數(shù)

圖4 輸出變量隸屬函數(shù)

式中G為 比例系數(shù)，G>0。用代替式（15）中的K(t)，則u1變?yōu)?/p>

則控制率為

2.4 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

定義lyapunov函數(shù)為

則有

為使V(t)指數(shù)收斂于零，則需 σ 收斂于零，由式（13）可得，ε˙和 ε指數(shù)收斂于零，收斂速度決定于控制率中的 η值。由于雙曲正切函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)S(ε)有界且單調(diào)收斂于零，且e(t)的收斂范圍取決于式（9）。

根據(jù)雙曲正切函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得，S˙(ε)=(1?S2(ε))ε˙，S˙ (ε)指數(shù)收斂于零，又由 λ指數(shù)收斂于λ∞，λ˙ 指數(shù)收斂于零， λ˙S和Sλ˙都不是單調(diào)的指數(shù)收斂，則e˙(t)=λ˙S+Sλ˙為單調(diào)收斂于零，即控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

3 仿真試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)性編隊(duì)控制算法的準(zhǔn)確性和有效性。假設(shè)參與編隊(duì)的機(jī)器人個(gè)數(shù)為5，分別取系統(tǒng)控制參數(shù)M= 20 kg，j= 0.162 kg·m2，J= 0.1 kg·m2，l= 0.27 m，r= 0.1 m，k= 1，c= 0.01，取機(jī)器人的線(xiàn)速度 1 m/s，角速度為 0.6 rad/s，自身安全距離為 0.3 m，角度約束為 π /2，虛擬領(lǐng)航者與跟隨者相對(duì)角度和距離由隊(duì)形軌跡設(shè)定，且虛擬領(lǐng)航者軌跡已知并取λ(0)=0.51， λ∞=0.001，η=10， β =5，輸入擾動(dòng)分別為d1=sin(t)+cos(t) N/m，d2=sin(t)?cos(t) N/m，采用控制率式(18)。在相同初始條件下，本文所提控制算法表示為A算法，文獻(xiàn)[18]所提t(yī)an型障礙李亞普諾夫算法為B算法，仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖5~圖14所示。

圖5 三角形-曲線(xiàn)軌跡編隊(duì)

圖6 直線(xiàn)形-異構(gòu)圓形軌跡編隊(duì)

圖14 B 算法跟隨者速度跟蹤誤差

圖5~圖8為A算法下不同隊(duì)形的編隊(duì)軌跡，可看出機(jī)器人在編隊(duì)形成后一起運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，跟隨機(jī)器人始終與虛擬領(lǐng)航者保持相同的距離和角度穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，且無(wú)碰撞、掉隊(duì)現(xiàn)象；圖9和圖10為跟隨機(jī)器人在兩種控制算法下與虛擬領(lǐng)航機(jī)器人相對(duì)位姿綜合跟蹤誤差；圖11和圖12為兩種控制算法下各跟隨機(jī)器人在x軸方向、y軸方向及航向角位置跟蹤誤差；圖13和圖14為各跟隨機(jī)器人的線(xiàn)速度與角速度跟蹤誤差?，F(xiàn)對(duì)控制精度、控制系統(tǒng)響應(yīng)速度、曲線(xiàn)的光滑程度即穩(wěn)定性進(jìn)行對(duì)比分析。

圖8 8 字形編隊(duì)軌跡

圖9 A 算法跟隨者軌跡跟蹤誤差

圖10 B 算法跟隨者軌跡跟蹤誤差

圖11 A 算法跟隨者位置跟蹤誤差

圖12 B 算法跟隨者位置跟蹤誤差

圖13 A 算法速度跟蹤誤差

為了直觀的對(duì)比兩種控制算法下編隊(duì)控制系統(tǒng)的控制精度，分別取x軸方向、y軸方向、航向角、線(xiàn)速度及角速度的均方根誤差A(yù)vex、Avey、Ave、Avev、Avew數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。

表1 各狀態(tài)變量跟蹤誤差對(duì)比

由圖9和圖10可知：在相同預(yù)設(shè)誤差范圍條件下，相對(duì)位姿跟蹤狀態(tài)量均保持在預(yù)設(shè)誤差范圍內(nèi)，A 算法軌跡跟蹤誤差范圍為（?2 × 10?8, 5 × 10?8） m，B 算法軌跡跟蹤誤差范圍為（5 × 10?4, 5 × 10?3） m，與B算法相比，A算法軌跡跟蹤誤差范圍極大的減小，控制精度得到極大的提高。由圖11~圖14及表1可得：與B算法控制效果相比，A算法在x軸方向、航向角跟蹤誤差精度都提高了5個(gè)數(shù)量級(jí)，在y軸方向的位置跟蹤誤差及角速度跟蹤誤差精度提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)，線(xiàn)速度控制精度提高了10個(gè)數(shù)量級(jí)。此外，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，A算法控制系統(tǒng)的平均跟蹤誤差收斂時(shí)間為 4.1 s，B 算法為 3.87 s，即 A 算法下的控制系統(tǒng)響應(yīng)速度延遲了5.9%，這是因?yàn)槟：刂葡到y(tǒng)增益調(diào)整導(dǎo)致的時(shí)間輕微延緩。但與B算法圖中跟蹤曲線(xiàn)相比，A算法圖中跟蹤曲線(xiàn)更光滑，且無(wú)抖振現(xiàn)象產(chǎn)生，達(dá)到了穩(wěn)定的編隊(duì)的目的。

為進(jìn)一步對(duì)比分析，設(shè)計(jì)3種指標(biāo)函數(shù)對(duì)兩種算法的編隊(duì)控制性能進(jìn)行整體評(píng)價(jià)。

1) 控制系統(tǒng)指令跟蹤準(zhǔn)確率函數(shù)

定義控制系統(tǒng)指令跟蹤準(zhǔn)確率函數(shù)為每個(gè)控制系統(tǒng)指令輸入量的最大絕對(duì)跟蹤誤差與最小絕對(duì)跟蹤誤差的差值的平均值。

式中：m為每個(gè)機(jī)器人的指令輸入量個(gè)數(shù)；n為參與編隊(duì)的機(jī)器人個(gè)數(shù)；eicmax、eicmin分別為理想輸入量跟蹤最大誤差和最小誤差。函數(shù)值越小，控制系統(tǒng)性能越好。

2） 隊(duì)形緊湊密度函數(shù)

定義隊(duì)形緊湊密度函數(shù)為編隊(duì)中各個(gè)機(jī)器人到隊(duì)形幾何中心距離之和的倒數(shù)，幾何中心為O(x0,y0)。函數(shù)值越大，隊(duì)形越緊湊。

式中第i個(gè)機(jī)器人位置坐標(biāo)為 (xi,yi)。

3） 隊(duì)形保持函數(shù)

定義隊(duì)形保持函數(shù)為各機(jī)器人與各自期望位置的均方根誤差，即

式中：m為測(cè)量次數(shù)； (xij,yij)、 (xdj,ydj)分別為機(jī)器人i在j時(shí)刻的實(shí)際位置坐標(biāo)和理想位置坐標(biāo)。函數(shù)值越小，隊(duì)形保持越好。

由式(22)~式(24)計(jì)算可得編隊(duì)整體評(píng)價(jià)，如表2所示。

表2 隊(duì)形整體評(píng)價(jià)對(duì)比

由表2可知，在控制系統(tǒng)指令跟蹤準(zhǔn)確率方面，A算法比B算法跟蹤精度大約提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)，即對(duì)外界干擾的克服能力更強(qiáng)；在隊(duì)形緊湊性方面，A算法比B算法提高了6.94%，隊(duì)形相對(duì)來(lái)說(shuō)更加緊湊，不容易掉隊(duì)；在隊(duì)形保持方面，A算法比B算法提高了3個(gè)數(shù)量級(jí)，隊(duì)形保持度明顯更優(yōu)。

綜上，在預(yù)設(shè)條件約束下，基于模糊增益調(diào)整的滑模編隊(duì)控制算法實(shí)現(xiàn)了任意隊(duì)形的穩(wěn)定編隊(duì)，與現(xiàn)有控制法相比，系統(tǒng)響應(yīng)速度大致相同，但超調(diào)量大大降低，能夠有效克服外界干擾保持緊湊的隊(duì)形，極大的提高了軌跡跟蹤控制精度，且跟蹤誤差收斂于原點(diǎn)附近的極小范圍內(nèi)，保證了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)的良好運(yùn)動(dòng)性能，表現(xiàn)出更優(yōu)越的控制效果。

4 結(jié)論

1）提出一種在雙曲正切型函數(shù)的約束下模糊增益調(diào)整的滑?？刂破鳎靡詫?shí)現(xiàn)機(jī)器人以任意隊(duì)形高精度穩(wěn)定的編隊(duì)控制。

2）從跟蹤誤差方面分析，該算法與tan型障礙李亞普諾夫算法控制效果相比，跟蹤誤差范圍極大的減小，控制精度大為提高，在x軸方向、y軸方向、航向角以及角速度跟蹤誤差精度至少提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)，尤其線(xiàn)速度控制精度提高了10個(gè)數(shù)量級(jí)，在響應(yīng)速度輕微延遲情況下，跟蹤曲線(xiàn)更為光滑，且無(wú)抖振現(xiàn)象產(chǎn)生，實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定編隊(duì)。

3）從隊(duì)形整體評(píng)價(jià)分析，該算法與tan型障礙李亞普諾夫算法相比，跟蹤準(zhǔn)確率精度提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)外界干擾的克服能力更強(qiáng)；隊(duì)形緊湊性方面提高了6.94%，隊(duì)形更加緊湊；隊(duì)形保持精度提高了3個(gè)數(shù)量級(jí)，隊(duì)形保持度更優(yōu)。