李永亮，王敬* , ，馬毓

（1.重慶工商大學 機械工程學院，重慶 400069；2.重慶工商大學 制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶 400069）

超聲變幅桿是實現(xiàn)換能器到負載之間的聚能、振幅放大、阻抗匹配的關鍵部件，在超聲塑料焊接領域應用廣泛[1]。因加工領域、加工對象不同、材料不同，變幅桿形式多種多樣，缺乏面向工程應用的、統(tǒng)一的、高效的設計、試驗方法，在實際工程應用中是一個難點。隨著大功率超聲器件在工業(yè)領域的廣泛應用，國內外學者對各種類型的超聲變幅桿進行了大量的理論分析和試驗研究。國外學者從上世紀四五十年代起就開展了超聲加工的研究，近年來，在復合超聲變幅桿的設計、有限元分析、加工熱彈性響應、優(yōu)化設計、試驗分析、疲勞分析、受載安全評估等方面進行了大量的研究[2-7]，研究領域滲透到超聲振動切削技術，超聲復合加工技術硬脆復合材料高精密加工等技術領域[8~10]。國內學者林中茂[11]研究了超聲變幅桿的原理和設計方法；潘巧生等[12]進行了一種等應力大振幅變幅桿的設計并進行了有限元分析；李新和等[13]進行了超聲旋壓系統(tǒng)的變幅桿的設計和有限元仿真，并得出有限元仿真與試驗分析的吻合性；閆曉東等[14]研究了縱扭復合超聲換能器的設計與仿真；劉湘晨等[15]基于CAD/CAE的一體化分析方法，對變幅桿的設計進行了程序化的設計，簡化了計算和繪圖，提高了設計效率，仿真比較理想；馬繼召等[16]通過UG的二次開發(fā)功能，應用VC++編程，實現(xiàn)了變幅桿的參數(shù)化三維設計。此外，國內其他學者也針對階梯形變幅桿有限元分析、縱振特性等性能進行了研究分析[17-18]。針對變幅桿的設計，有限元的設計方法和仿真分析已成為技術的主流，然而，隨著應用領域的拓寬，復合變幅桿、異形變幅桿的需求日益增多，因此，研究用于帶異形工具頭的復合變幅桿的高效設計、仿真分析、試驗研究的通用方法在工程實踐應用中就顯得尤為重要。

基于此，利用圓錐形復合超聲變幅桿的參數(shù)化設計與工具頭結構優(yōu)化的設計思路，圍繞有限元仿真分析與阻抗測試分析，探索出單頭復合變幅桿的振型、共振頻率、阻抗分析方法，設計了用于超聲塑料焊接系統(tǒng)的半波長圓錐形復合變幅桿。

1 縱波復合變幅桿的參數(shù)化設計

1.1 設計基礎資料

設計內容來源于一款耳機外罩防塵鋼網(wǎng)超聲焊接的工程項目，設計需求是將防塵鋼網(wǎng)及防塵薄膜焊接至耳機外罩上，設計特點上防塵鋼網(wǎng)尺寸較小，耳機焊接孔避空尺寸較小，焊接深度較淺，需求高頻率，低振幅就可以完成焊接過程，因此超聲焊接可選用40 kHz的頻率發(fā)生器及與之配套的超聲換能器，耳機防塵鋼網(wǎng)焊接工作需求圖及超聲頻率發(fā)生器、超聲換能器如圖1所示。

圖1 耳機防塵鋼網(wǎng)焊接要求圖

超聲焊接需要實現(xiàn)將頻率發(fā)生器發(fā)出的電能經(jīng)由超聲換能器轉變成振動機械能，然后經(jīng)過超聲變幅桿聚能、振幅放大完成焊接過程。超聲變幅桿的材料選擇上有很多種，諸如鋼類材料，40鋼、45鋼、20Cr、12CrNi3A、30CrMnSiA 等；鈦合金類，如BT-1、BT-4、OT-4等；鋁、鎂合金材料等。鋼材損耗較大，往往需要熱處理，工藝復雜，鈦合金性能最好，但價格較高，機械加工難度較大，因此，針對加工特點，本設計變幅桿材料選擇鋁合金，且選擇鋁合金性能強度最好的，加工性能優(yōu)的，耐磨性較好的7075鋁合金，材料主要屬性及變幅桿主要參數(shù)如表1所示。

表1 7075 鋁合金材料性能參數(shù)表

根據(jù)均勻細棒的縱向振動原理，定義細棒軸向為x軸，截面積為S，在動態(tài)應力的作用下產(chǎn)生縱向位移，在x處的應力為，取微元， 根據(jù)牛頓第二定律可知波動運動方程為

式中：E為楊氏模量；ρ為棒材的密度。

縱波在棒體傳輸速度公式為

由于棒是有界的，聲波在端面上會產(chǎn)生反射，形成正向和反向波的疊加，因此可通過對式（2）取解，并通過兩端自由的縱波傳輸和兩端固定的縱波傳輸?shù)倪吔鐥l件從而可求解縱波傳輸?shù)牟▌臃匠?，并進一步確定自由縱振條件下的固有頻率值。聲波在均勻固體棒材介質中做縱波傳輸?shù)牟ㄩL為

變幅桿為縱波傳輸，為計算方便，取半波長圓桿作為變幅桿主要尺寸及外形。變幅桿的大端直徑D不小于超聲換能器輻射面的線度，因此D取25 mm；小端直徑d一般按照加工對象來取，耳機防塵鋼網(wǎng)直徑約3.5 mm，為計算方便，避免過大的放大系數(shù)，d取5 mm。在計算完成后，再優(yōu)化結構為3.5 mm的焊接工作D（25 mm）應小于波長的四分之一（31.415 mm），因此能夠滿足縱波傳輸條件。具體變幅桿參數(shù)如表2所示。

表2 變幅桿參數(shù)表

1.2 縱波傳輸復合變幅桿波動理論

工程上單一變幅桿的形狀及外形多種多樣，為求解方便，往往需要設計一些跟隨縱向坐標有規(guī)律變化的函數(shù)型外形變幅桿，以便得到波動方程的解，較多的是指數(shù)形、懸鏈線形、圓錐形、階梯形等，然而為了兼顧形狀因數(shù)、放大系數(shù)，尤其是在高速振動時，常常也用復合形變變幅桿?；谧兎鶙U的參數(shù)表的選擇，為了便于數(shù)控車削加工，變幅桿采用了帶圓錐形過渡的復合變幅桿，截面尺寸為圓形截面。圖2為半波長復合圓錐變幅桿波形傳動圖。

圖2 半波長復合圓錐變幅桿波形傳動圖

結合波動理論，根據(jù)圖2可知面積系數(shù)N為

圓錐形曲線坐標方程為

為計算方便通?？扇1=L3，即KL1=KL3=0.1π+0.025π×n(n=0,1,...)，將兩端自由狀態(tài)的復合變幅桿的邊界條件代入波動方程（2）中，可以求得帶圓錐過渡形狀的復合變幅桿頻率方程，即

當KL2≤ π時，取“+”；KL2>π時，取“–”。

以半波諧振長度為計算，取KL1=0.225π，則有

可分別求得L1=L3=14.14mm，L2=56.18mm，L=84.46mm，記H=KL2/π，H=0.894。

1.3 三維參數(shù)化建模設計

工程實踐應用中，將選擇好的變幅桿材料參數(shù)（表1）和變幅桿參數(shù)（表2）以固定參數(shù)嵌入三維設計建模軟件Solidworks中，在零件建模環(huán)境中，選擇上視圖作為草圖環(huán)境，繪制變幅桿截面圖形，并對截面圖形進行回轉特征建模。建模后，在模型樹中，將需要的變量參數(shù)輸入到方程式的工具菜單中，輸入變量如圖3所示，變量的設置可以根據(jù)自己的需要添加或者刪減，主要設計的變量參數(shù)為大端尺寸D，面積系數(shù)N，變幅桿傳輸波長λ，半波諧振長度系數(shù)KL，諧振長度變換系數(shù)H等。

圖3 變幅桿參數(shù)化建模圖

在顯示的特征尺寸中嵌入變量參數(shù)方程式，便于三維建模，同樣在后續(xù)的變幅桿建模、諧振頻率仿真調整等過程中均可對某些變量進行參數(shù)化設計，便于快速修改尺寸。此外，在后續(xù)其它的變幅桿設計中，尤其同樣是半波長的圓錐變幅桿，只需改變相關參數(shù)就可以快速實現(xiàn)參數(shù)化建模。

2 有限元模態(tài)分析與優(yōu)化

2.1 模態(tài)分析

有限元模態(tài)分析是進行結構的固有頻率、振型與振型參與系數(shù)的一種線性分析方法。有限元模態(tài)分析方法已被廣泛應用于變幅桿的設計、仿真中，并且被證實能夠在頻率分析，應力應變位置分析以及預測疲勞斷裂位置及壽命有很好的指導意義。在有限元分析中，通常假定變幅桿為橫截面積大小固定，材料密度和彈性常數(shù)均勻且沒有機械損耗的彈性體，該彈性體做無阻尼的自由運動，根據(jù)有限元分析中系統(tǒng)動力學方程和線性系統(tǒng)中的自由振動運動方程，可以得到振動頻率 ωi和模態(tài) φi的關系方程為

應用Ansys Workbench工具箱中的Modal進行分析，具體步驟如下：

1）導入“.X_T”三維模型文件；

2）設置材料屬性，需注意的是新建一個材料屬性，需添加7075鋁合金材料屬性；

3）定義網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分可采用自動劃分方式，網(wǎng)格大小設為5 mm；

4）在Analysis Settings的屬性窗口中設置提取的模態(tài)階數(shù)為6階，設計提取的頻率變化范圍為38～42 kHz，由于超聲振動模態(tài)分析進行的無約束的自由模態(tài)分析，因此不添加載荷和約束；

5）進行求解，可以發(fā)現(xiàn)在設置的頻率范圍內的6階求解結果只有一個共振固有頻率即39502.0 Hz，且振動形式為縱波傳輸，從整體變形方式上看，端頭的變形最大，符合工具頭的設計，模態(tài)分析如圖4所示。

圖4 變幅桿優(yōu)化前模態(tài)分析結果圖

2.2 變幅桿結構優(yōu)化

結合設計要求，變幅桿需進行結構優(yōu)化，主要體現(xiàn)在以下位置：1）變幅桿與超聲換能器的連接采用螺紋連接方式；2）結合耳機罩防塵鋼網(wǎng)焊接孔的焊接要求，經(jīng)測量，變幅桿的端頭需要設計?3.5 mm的直徑，且中間打個錐形孔的工具模頭，便于焊接；3）需對耳機?3.5 mm直徑的工具頭進行倒圓錐角處理防止端頭應力過度集中，導致焊接工具頭內部組織斷裂失效；4）對大端直徑銑削兩條直角邊，便于用扳手將變幅桿與換能器連接緊固，結構優(yōu)化如圖所示圖5所示。應用同樣的方法對結構優(yōu)化后的變幅桿進行有限元模態(tài)分析，得到的固有頻率圖及振動矢量圖分別如圖6和圖7所示。

圖5 變幅桿結構優(yōu)化圖

圖6 優(yōu)化后變幅桿模態(tài)分析結果圖

圖7 優(yōu)化后變幅桿模態(tài)分析振動矢量云圖

從結構優(yōu)化后的變幅桿模態(tài)分析結果來看，優(yōu)化后的變幅桿固有頻率為39819.0 Hz，較優(yōu)化前的固有頻率 39502.0 Hz，提升了 0.802%，與設定計算的40000 Hz 的頻率，誤差為 0.45%，偏差較小。此外，根據(jù)超聲頻率發(fā)生器能夠匹配的頻率信號為39800 ～40200 Hz，當前的變幅桿模態(tài)仿真頻率滿足此頻率范圍，說明在有限元仿真條件下，變幅桿的振型及固有頻率設計滿足要求?？傮w來看，經(jīng)結構優(yōu)化后的變幅桿，整體頻率變化不大，且振動形式仍為縱振，振動的最大變形方向仍然集中在小端的焊接工具頭上，說明通過參數(shù)化縱振波動傳輸頻率方程計算后的變幅桿，在有限元模態(tài)分析設定較寬頻率范圍內只存在一個與設計頻率比較接近的固有頻率，且局部小尺寸的結構優(yōu)化對于整體變幅桿振型及頻率的影響不大，即便增加求解階數(shù)，也不會對固有頻率產(chǎn)生極大的變化，極大了避免了因變幅桿結構變化產(chǎn)生的彎曲、扭轉等波動形式對變幅桿設計的影響。

3 諧響應分析與試驗分析

3.1 有限元諧響應分析

變幅桿的理論計算和有限元模態(tài)分析往往都是基于空載條件下進行的，然而實際應用中，變幅桿的輸出端面都是有負載的，比如超聲乳化、超聲焊接、超聲成型等應用中，而且超聲的負載有可能隨著加工工具的不同而不同，比如超聲焊接中，隨著焊接工具與焊接件接觸到熔化的過程，負載都是不斷的變化的，理論計算時，往往可以將負載等效為質量的抗性負載進行計算，然而計算過程復雜，工程實踐應用性不強，為此，采用有限元的諧響應分析為變幅桿有負載情況下的簡諧頻率及變形分析提供了技術支撐。應用Ansys Workbench工具箱中的Harmonic Response模塊進行分析，在自由諧振條件下，對端頭錐形工具頭進行加載，加載的靜壓力按氣動控制系統(tǒng)進行估算，氣缸靜壓力估算值為100 N，設定諧響應分析的頻率范圍為超聲波頻率發(fā)生器的電信號采集頻率，頻率值在 39800～40200 Hz 范圍內，進行求解，計算的總變形量（Total deformation）響應結果圖如圖8所示，計算的最大彈性應變圖如圖9所示，計算的頻率變形響應圖如圖10所示。

圖8 總變形量諧響應分析圖

圖9 最大彈性應變諧響應分析圖

圖10 頻率諧響應分析圖

從圖8可以看出，變幅桿在加載狀態(tài)的總體最大變形量主要集中在變幅桿的前端工具頭上，最大數(shù)值為31.509 μm，能夠滿足塑料與金屬防塵網(wǎng)格的超聲焊接要求。從圖9可以看出，加載狀態(tài)的變幅桿，最大主彈性應變主要集中在圓錐形與小端圓柱形的連接處，數(shù)值為 0.9689 μm，說明此處存在較大的應變，在長期的高頻振動狀態(tài)下，可能會產(chǎn)生組織疲勞斷裂，從而影響變幅桿的使用壽命，在后期的研究中可進行疲勞壽命試驗分析。從圖10可以看出，加載狀態(tài)的變幅桿，隨著輸入頻率的變化，變幅桿的振幅及相位均呈現(xiàn)單調遞減狀態(tài)，且在39840 Hz時有最大的振幅，即此處為加載狀態(tài)的最大共振頻率。

3.2 阻抗與試驗分析

為了驗證變幅桿理論設計及仿真的可靠性與合理性，應用數(shù)控技術進行變幅桿加工，并應用阻抗分析儀分別對超聲換能器和變幅桿進行頻率、阻抗分析，測試圖如圖11和圖12所示。

圖11 超聲換能器阻抗分析圖

圖12 超聲換能器及變幅桿阻抗分析圖

從阻抗分析可以看出，對超聲換能器單獨測量時，阻抗分析儀采集共振頻率為 39920 kHz，對超聲換能器和變幅桿一體測量時，阻抗分析儀采集共振頻率為39867 Hz，總體頻率變化率在 0.1%以內，變化較少，如圖13和圖14所示，且該頻率在頻發(fā)發(fā)生器的發(fā)波頻率39.8～40.2 kHz范圍內，滿足頻率發(fā)生器的發(fā)波要求，從阻抗分析上來看，超聲換能器的阻抗在12.4 Ω，而超聲換能器和變幅桿一體測量的阻抗在43.8 Ω，按照阻抗分析儀的技術指標，阻抗值在10 ～60 Ω以內，不會引起超聲波頻率發(fā)生器的能量損失，能夠滿足超聲加工要求。為此將超聲加工系統(tǒng)安裝在如圖15所示的臺式超聲加工機床上，經(jīng)加工驗證設計的變幅桿能夠完成耳機防塵鋼網(wǎng)、防塵膜的焊接，且經(jīng)工程實踐產(chǎn)品檢驗驗證，防塵鋼網(wǎng)焊接強度在工程技術要求14 N以上，滿足產(chǎn)品的焊接技術需求，焊接質量較好，焊接效率較高。

圖13 超聲波換能器阻抗分析圖

圖14 超聲波換能器及變幅桿阻抗分析圖

圖15 耳機防塵鋼網(wǎng)超聲焊接加工圖

4 結論

根據(jù)超聲焊接需求，基于波動理論，給出了一般復合變幅桿的主要尺寸參數(shù)公式，并將相應設計參數(shù)及公式嵌入到三維建模軟件中，可以實現(xiàn)圓錐復合變幅桿快速結構設計及結構優(yōu)化；應用Ansys Workbench 當中的 Model和 Harmonic Response模塊可以對初步設計的焊接變幅桿進行振型、固有頻率，加載共振頻率、最大應變及總變形量等參數(shù)的仿真分析，仿真得到的共振頻率為 39840 Hz，與阻抗分析儀測試的共振頻率39867 Hz誤差較小，解析計算、有限元分析、阻抗測試在振型與共振頻率分析上吻合度較高，且在頻率發(fā)生器的發(fā)波范圍內，同時阻抗值為43.8 Ω，滿足設計要求，加工測試驗證了設計的合理性，為通用單頭超聲圓錐復合超聲變幅桿的設計、分析提供了依據(jù)。