沈吉兒, 鄭 瑄

(1.寧波教育學(xué)院，浙江寧波 315000； 2.江北區(qū)教育局教研室，浙江寧波 315000)

2019年北京市數(shù)學(xué)中考壓軸題中的新定義“中內(nèi)弧”，其意蘊豐沛、別有洞天.試題的設(shè)問也引人入勝、扣人心弦，同時試題的解答更是耐人尋味、發(fā)人深省.針對此題的相關(guān)研究頻頻亮相.筆者亦在欣欣然對其鉆研之列——對細節(jié)的質(zhì)疑深究，以探求數(shù)學(xué)本質(zhì)；對思維的追本溯源，以追求自然天成，并從中收獲了數(shù)學(xué)教育教學(xué)的一些心得體會[1].因此，筆者以該中考題為例，擇省思之疑，呈研究之道，述教學(xué)之悟，撰文如下，以饗同仁.

1 試題呈現(xiàn)

圖1 圖2

2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0,2)，B(0,0),C(4t,0)(其中t>0),在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點．

(2019年北京市數(shù)學(xué)中考試題第28題)

2 對新定義“中內(nèi)弧”的理解

2.1 關(guān)鍵詞的聯(lián)想

“中點”——指向中位線.由三角形中位線定理，知線段DE與邊BC的關(guān)系為DE但此處更側(cè)重于指向相互位置關(guān)系的特殊性，即平行關(guān)系.

2.2 研究對象的選擇與確定

研究對象從中位線到中內(nèi)弧，變直為曲，看似極其細微的轉(zhuǎn)化，恰恰將初中階段直線型幾何圖形(三角形、四邊形等)的研究與曲線型幾何圖形(圓及圓弧形)的研究融合在一起，這是極具創(chuàng)意的創(chuàng)舉.那么，這樣的“碰撞”將會開啟怎樣意想不到的景觀？三角形中位線定理中數(shù)與形的“優(yōu)雅”結(jié)論，將會引發(fā)中內(nèi)弧怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的遷移思考？同時，進一步想象，如果從中位線到任意位置的平行線，我們可以得到一般意義上的三角形相似，那么從中內(nèi)弧可以到非特殊位置的內(nèi)弧……如此，研究必將進入更一般的狀態(tài).這又將展開怎樣的探幽之旅？

3 對新定義“中內(nèi)弧”的研究

3.1 試題設(shè)問的內(nèi)在邏輯

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”楊玉東博士也曾經(jīng)提出：“要以本原性數(shù)學(xué)問題驅(qū)動數(shù)學(xué)課堂教學(xué).”那么一個良好的試題，該如何做到捕捉學(xué)習(xí)領(lǐng)域的關(guān)切問題，并提出精準(zhǔn)的問題以促進數(shù)學(xué)思維的展開與精進？為此需要注重設(shè)問的層次性、邏輯的連貫性，以構(gòu)建系統(tǒng)的完整性.繼而通過問題的解決，探索新的研究對象所蘊涵的本質(zhì)屬性與客觀規(guī)律.

第1)小題提供了等腰直角三角形作為初步理解新定義中內(nèi)弧的特殊背景和淺顯入口.這種投石問路式的特殊化觀察，實則是一種數(shù)學(xué)家的研究方法，這也與學(xué)生們在初中階段的學(xué)習(xí)經(jīng)歷和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(比如：等腰直角三角形→銳角三角函數(shù))一脈相承，旨在特殊圖形的摸索與探究中體驗與感悟中內(nèi)弧的要義.本小題在幾何直觀的引導(dǎo)下，最長中內(nèi)弧的獲得并非難事.

第2)小題以平面直角坐標(biāo)系為學(xué)習(xí)支架.淡化計算而強化思維.一方面，運用控制變量再一次以特殊圖形作為研究背景，與第1)小題相比，此處的特殊化稍做退讓，即第1)小題中的軸對稱條件已消失，但還留存直角三角形這一特性[2]；另一方面，點C(4t,0)的不確定又使得設(shè)問具有一般性，在動態(tài)變化中擴展想象的空間和自由度.

第①問在特定的直角三角形中，探索三角形中內(nèi)弧的分布(中內(nèi)弧所在圓的圓心軌跡)情況，以發(fā)現(xiàn)并獲得一般三角形中內(nèi)弧的分布規(guī)律，直抵中內(nèi)弧的本質(zhì)屬性.

第②問其表象是在增加的限制條件(中內(nèi)弧所在圓的圓心需在三角形的內(nèi)部或邊上)下，求變量t的取值范圍.但實質(zhì)可以看成是在變化過程中，潛在地突顯了三角形中內(nèi)弧分布的影響因素，即三角形的形狀、大小對其中內(nèi)弧的制約作用.

綜上，設(shè)問的理想與追求，是為了一步一步不斷地逼近、深入、揭示新定義“中內(nèi)弧”的數(shù)學(xué)本質(zhì).當(dāng)然，沒有最好只有更好.試題的設(shè)問是智慧的挑戰(zhàn)與專業(yè)的享受.

3.2 試題解答的細節(jié)存疑

著名科學(xué)方法論學(xué)者波普爾曾言：“正是質(zhì)疑、問題激發(fā)我們?nèi)W(xué)習(xí)，去發(fā)展知識，去實踐，去觀察.”教輔資料中的參考答案如下：

圖3 圖4

圖5 圖6

以上答案準(zhǔn)確無誤，并且對于關(guān)鍵性的臨界位置，均給出了明確的表述.但不可否認的是，知道然(what)，還應(yīng)該要問所以然(why),更要明白何由以知其所以然(how).否則，如浮云般飄忽而過，未必真正懂得其中的道理，入寶山而未得其珍品，可惜了！

對于第1)小題，師生可能認為這是一道送分題.但筆者認為這個分送得糊涂，即便憑直觀感知(甚至猜測)得到最長中內(nèi)弧，這對于中內(nèi)弧的理解究竟能有多少，其中有一個很大的疑問：此時的中內(nèi)弧為何最長？事實上從初中數(shù)學(xué)的角度不易說明，要用到高中求導(dǎo)的方法[3].那么現(xiàn)如今，教師該如何給學(xué)生一個交代？我們不能因為試題要求直接寫出，在解題教學(xué)時就任其掠過.即便是幾何直觀，也要有一個合情說理.不然，與投石問路式的設(shè)問理念之初衷相悖.

對于第2)小題，取值范圍確定的關(guān)鍵在于臨界位置的發(fā)現(xiàn)，那么這些關(guān)鍵性的臨界點是怎么冒出來的？是直覺還是撞大運？是散漫的找尋還是理性的求索？其背后發(fā)生了什么？這樣的質(zhì)疑，可以帶來更深層次的發(fā)問——中內(nèi)弧分布的一般規(guī)律究竟如何？中內(nèi)弧與其背景三角形之間的關(guān)系究竟怎樣？定性研究和定量研究如何交互作用？如何讓思維來得更自然一些？最重要的是：解題不僅僅是為了得到一個解答，而是在解題中發(fā)現(xiàn)新定義所蘊涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)和可能的拓展空間.

3.3 解題思路的自然形成

嘗試先畫一條中內(nèi)弧試一試，再畫一條，最后畫一條最長的中內(nèi)弧.

從字面上理解，三角形的中內(nèi)弧之要旨就在于不得“逾越過界”.這樣的圓弧蘊涵著怎樣的本質(zhì)屬性？如果說畫第一條，可以由圖1得到啟示和遷移；那么畫第二條，要有別于第一條就得思考怎樣做到不越界；而第三條最長中內(nèi)弧，必須從數(shù)與形兩方面進行考量.

特別關(guān)注——最長中內(nèi)弧的解釋.在不同角度和不同層面的說理中，選擇基于初中學(xué)生認知和經(jīng)驗的途徑與方法，以便學(xué)生能夠接受與接納，這對于中內(nèi)弧的深度理解至關(guān)重要.

不妨從這個視角出發(fā),如圖7，對于Rt△HIJ與Rt△KMN，因為HJ=KN=PQ，而直線yHI=k1x+b1與直線yKM=k2x+b2中，k1>k2，所以HI>KM(下略).

圖7 圖8 圖9

線索非常有意味的是，尋找中內(nèi)弧的過程，能發(fā)現(xiàn)很多意想不到的結(jié)論.

規(guī)律宏觀上，三角形的中內(nèi)弧有無數(shù)條，是以D,E為端點的圓弧束.中位線是其極限，無限接近但永遠也不會到達.綜上所述，圖8和圖9可以歸納為以下3種情形：

情形1當(dāng)⊙O2與AC相切、與BC相離時，中內(nèi)弧圓心分布在O1的下方或O2的上方；

情形2當(dāng)⊙O2與AC相切、與BC相交時，中內(nèi)弧圓心分布在O1的下方或O3的上方，其中O3G=O3D；

情形3當(dāng)⊙O2與AC相切、與BC相切時，中內(nèi)弧圓心分布在O1的下方或O2的上方，此時點O2與點O3重合.

微觀上，由控制變量法令三角形特殊化，就第2)小題第①問和第②問的背景再進一步回味(如圖4)：若2AB>BC，則歸于情形1；若2AB

應(yīng)用與拓展就第②問而言，要使中內(nèi)弧所在圓的圓心在三角形的內(nèi)部或邊上，極端限制位置只需令O1落在邊BC上，而O3落在邊AC上即可.

還有什么問題可以提出？時空無垠、腦洞無限、知識無涯、探索無極限……循此，還可以設(shè)計諸如此類的思考練習(xí)[2]，以拓展延伸，思維遷移.

1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(4,0)，B(m,n),設(shè)內(nèi)弧所在圓的圓心為P，當(dāng)m=0，n=4時，

4 對解題教學(xué)的啟示

好的數(shù)學(xué)試題，是整個命題團隊的精良杰作與奉獻，也是教師實施解題教學(xué)的優(yōu)秀素材，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體.例1正是這樣的經(jīng)典范例.

而好的解題教學(xué)，令筆者聯(lián)想到波利亞在《如何解題》開篇第一部分“在教室里”的一些文字：教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生，但不能太多，也不能太少，這樣才能使學(xué)生有一個合理的工作量.如果學(xué)生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨立工作.為了做到這一點，教師應(yīng)當(dāng)謹慎地、不露痕跡地幫助學(xué)生.然而，最好是順乎自然地幫助學(xué)生.教師應(yīng)當(dāng)努力去理解學(xué)生心里正在想什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟，而這正是學(xué)生自己原本應(yīng)想到的.波利亞此言易懂，但是真正踐行其實很難.作為教師，照本宣科、直接告知答案，永遠比“謹慎地、不露痕跡地幫助學(xué)生”要容易得多.而對細節(jié)的質(zhì)疑深究以探求數(shù)學(xué)本質(zhì)，對思維的追本溯源以追求自然天成，恰恰蘊涵著教師助力于學(xué)生求真務(wù)實、崇尚自然之品質(zhì)的養(yǎng)成.

數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在知何由以知其所以然.”何由以知其所以然，此為最難，但也最為動人.數(shù)學(xué)試題的研究，不僅是為了應(yīng)付一場中考[4]，而是在生命和精神的層面，注重培養(yǎng)學(xué)生探索的意識、思辨的覺悟以及審美的能力，培養(yǎng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考，此乃數(shù)學(xué)學(xué)科獨特的育人價值之所在.