盧秋丹

(閩清縣第一中學(xué)，福建 閩清 350800)

微專題教學(xué)是指將某一知識(shí)點(diǎn)作為研究主題，從該知識(shí)的概念與原理出發(fā)，通過(guò)一條清晰的主線將零散的知識(shí)自然地串聯(lián)起來(lái)，循序漸進(jìn)地解決問(wèn)題的一種“小切口”教學(xué)方法.“微”即細(xì)致入微，內(nèi)容精而少；“?！奔此x題目應(yīng)根據(jù)相同的教學(xué)目標(biāo)，集中解決同一類型的問(wèn)題.高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段，隨著全國(guó)各地模擬試題的不斷出爐，教師常常以習(xí)題講評(píng)的形式實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué).但由于數(shù)學(xué)知識(shí)跨度大，學(xué)生思維跳躍性強(qiáng)，在復(fù)習(xí)過(guò)程中易出現(xiàn)“高原反應(yīng)”，復(fù)習(xí)效果不理想.

因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生考試和練習(xí)中暴露出的問(wèn)題，有計(jì)劃、有目的地在二輪復(fù)習(xí)備考中采用針對(duì)性強(qiáng)、新穎靈活的“微專題”教學(xué)形式，從多視角切入與生成.這樣有利于幫助學(xué)生構(gòu)建完備的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)研究的一般方法，促進(jìn)思維的深層參與，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 聚集“疑點(diǎn)”，生成“微專題”

對(duì)于教材中的“疑點(diǎn)”，教師雖然反復(fù)講解，但收效甚微，學(xué)生遇到類似問(wèn)題仍無(wú)所適從，究其原因，是教師“碎片化”的、“就題論題”的講解無(wú)法給學(xué)生留下深刻的印象[1].因此教師應(yīng)以突破學(xué)生的“疑點(diǎn)”為目標(biāo)，選擇學(xué)生作業(yè)和試卷中的一些“易混易錯(cuò)”問(wèn)題，進(jìn)行重組、加工，組織微專題主線教學(xué)，通過(guò)對(duì)此類問(wèn)題的剖析，引導(dǎo)其透過(guò)現(xiàn)象反思問(wèn)題的本質(zhì)，掌握解決問(wèn)題的思想方法，使復(fù)習(xí)收到事半功倍之效.

案例1以“基本不等式”的應(yīng)用設(shè)計(jì)“微專題”.

這是筆者所在學(xué)校高三單元測(cè)試中的一道試題，錯(cuò)誤率較高.主要原因是學(xué)生對(duì)運(yùn)用“基本不等式”求最值問(wèn)題認(rèn)知不足,當(dāng)條件(一正、二定、三等)失效時(shí)，不能快速找準(zhǔn)解題的“突破口”，且易忽視“等號(hào)成立”的條件.為此，教師以“基本不等式”最值問(wèn)題構(gòu)建以下微專題.

環(huán)節(jié)1溫故熱身.

問(wèn)題2設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，則a+b的最小值是______.

環(huán)節(jié)2拾級(jí)而上.

變式1已知正數(shù)a,b滿足ab=a+2b，求a+b的最小值.

分析(變換題設(shè)形式)由ab=a+2b，得

變式2設(shè)正數(shù)a,b滿足ab=2a+b+3，求a+b的最小值.

分析由ab=2a+b+3，得

(a-1)(b-2)=5，

以下略.

評(píng)注此類問(wèn)題的核心在于怎樣通過(guò)“湊”達(dá)到基本不等式中“定”的條件,從“和定”轉(zhuǎn)化為“積定”.

環(huán)節(jié)3漸入佳境.

問(wèn)題4設(shè)a>0,b>0，a+b=1，則

( )

(2020年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考卷Ⅰ第11題)

問(wèn)題5設(shè)5x2y2+y4=1(其中x,y∈R)，則x2+y2的最小值是______．

(2020年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

環(huán)節(jié)4引申拓展.

問(wèn)題6設(shè)正數(shù)a,b滿足4a2+b2=1，則2a+b的取值范圍是______.

思路14a2+b2=(2a+b)2-4ab，然后運(yùn)用“基本不等式”解決.

思路2設(shè)2a+b=t，則b=t-2a，代入已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的一元二次方程，根據(jù)判別式Δ≥0，求出范圍.

評(píng)注通過(guò)“微專題”復(fù)習(xí)，有效提升了學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的處理能力，提升了學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法的能力.對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行一題多變，有利于學(xué)生突破教材的禁錮，引領(lǐng)學(xué)生由“變”的現(xiàn)象中揭示“不變”的規(guī)律，由“不變”的本質(zhì)中尋找“變”的規(guī)律，從不同的背景中掌握通性通法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，從而厘清了知識(shí)與方法間的聯(lián)系，提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性、有效性，提升了學(xué)生的思維深度，發(fā)展了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2 圍繞“高頻點(diǎn)”，生成“微專題”

高考“高頻點(diǎn)”是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.因此教師應(yīng)圍繞“高頻點(diǎn)”生成微專題，引導(dǎo)學(xué)生回歸教材,梳理微專題中所涉及的知識(shí)與方法，并通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的挖掘，抓住其精髓,深度領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問(wèn)題背后深層次的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而形成對(duì)此類問(wèn)題更為全面、深刻的認(rèn)識(shí)，從而“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融入其中.綜觀近幾年的高考試題,不難發(fā)現(xiàn)“圓錐曲線離心率范圍問(wèn)題”是命題的高頻點(diǎn)，教師可聚焦此類“高頻點(diǎn)”，圍繞回歸教材、變式訓(xùn)練、鏈接高考、深化思維等設(shè)置微專題，引導(dǎo)學(xué)生探尋破題思路，提升解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例2以“圓錐曲線離心率范圍問(wèn)題”切入的“微專題”.

此類問(wèn)題往往靈活多變，條件隱蔽，綜合性強(qiáng)，是近幾年高考的“高頻點(diǎn)”，需要學(xué)生借助圖形的幾何特征對(duì)題目進(jìn)行分析,從而找到問(wèn)題解決的“鑰匙”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)1回歸教材，反思感悟.

問(wèn)題1如何計(jì)算圓錐曲線的離心率？

問(wèn)題2求解圓錐曲線離心率范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

探究a,b,c之間的不等關(guān)系.

問(wèn)題3從哪幾個(gè)方面尋求a,b,c之間的不等關(guān)系？

從已知出發(fā)；從橢圓與雙曲線自身的性質(zhì)出發(fā)；從圓錐曲線的幾何特征出發(fā).

環(huán)節(jié)2變式訓(xùn)練，由特殊到一般.

思路1運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系確立不等式.

思路2運(yùn)用焦半徑性質(zhì)確立不等關(guān)系.

環(huán)節(jié)3鏈接高考，深化思維.

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第12題改編)

(2021年全國(guó)數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第12題改編)

評(píng)注學(xué)生的關(guān)鍵能力是在掌握“四基”的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)遷移，并進(jìn)一步概括化、系統(tǒng)化而獲得提升的[2].“圓錐曲線離心率范圍問(wèn)題”微專題承載著激活知識(shí)梳理、完備學(xué)生知識(shí)體系、培育其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的功效.因此教師應(yīng)從學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，貼近其最近發(fā)展區(qū)設(shè)置微專題，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，構(gòu)建解決某一類問(wèn)題的“路線圖”，引導(dǎo)學(xué)生在新情境的問(wèn)題解決過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)體驗(yàn)，掌握研究問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，使解決問(wèn)題的能力達(dá)到一個(gè)新的高度.

3 挖掘教材“生長(zhǎng)點(diǎn)”，生成微專題

編擬微專題不能只局限于知識(shí)的歸納整理，更要用數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)微專題教學(xué).課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)與生成的和諧融合，高三復(fù)習(xí)教學(xué)也是如此.因此在“微專題”復(fù)習(xí)的設(shè)置與教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)考慮學(xué)生思維的多向性、過(guò)程的開放性等特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深度參與，不斷探詢?cè)偕灾R(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.通過(guò)教師睿智的追問(wèn)與引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)其更深度地思考問(wèn)題，并生成深層次的認(rèn)知，使學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

案例3一道教材習(xí)題切入的“微專題”.

環(huán)節(jié)1課本溯源.

問(wèn)題1已知圓x2+y2-6x+5=0,過(guò)原點(diǎn)的直線與該圓交于點(diǎn)A,B，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

(人教A版高中《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第37頁(yè)A組習(xí)題第4題)

評(píng)注問(wèn)題1起點(diǎn)低，有多種解決問(wèn)題的思路，教師引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度進(jìn)行探究.

思路1(直接法)如圖1，設(shè)圓x2+y2-6x+5=0的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0).

圖1

設(shè)M(x,y)，若直線AB與x軸不重合，由CM⊥AB,得

整理得

x2+y2-3x=0(其中x≠3,x≠0).

若直線AB與x軸重合，則M與圓心C重合，滿足題意.

因此所求軌跡的方程為

思路3(幾何法)若直線AB與x軸不重合，無(wú)論弦AB怎樣變化，由△OCM為直角三角形，可得

|OM|2+|CM|2=|OC|2,

即

x2+y2+(x-3)2+y2=9，

即

x2+y2-3x=0(其中x≠3,x≠0).

下同思路1.

(1+k2)x2-6x+5=0，

則

當(dāng)k≠0時(shí)，消去k，得

x2+y2-3x=0.

當(dāng)k=0時(shí)，M(3,0),滿足上式.

由Δ=16-20k2≥0，得

從而

故點(diǎn)M的軌跡方程為

環(huán)節(jié)2由特殊到一般.

問(wèn)題2過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線和⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2交于點(diǎn)A,B，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.

性質(zhì)1已知⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2，過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與C交于點(diǎn)A,B，設(shè)M為弦AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)點(diǎn)P在⊙C外時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是⊙C1在⊙C內(nèi)之部分；當(dāng)點(diǎn)P在⊙C內(nèi)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是⊙C1,其中⊙C1的方程為

環(huán)節(jié)3引申推廣.

問(wèn)題3若問(wèn)題2推廣到橢圓、雙曲線和拋物線，則點(diǎn)M的軌跡如何？

學(xué)生參與的積極性很高，經(jīng)過(guò)探究，得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)5經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交，這條弦中點(diǎn)的軌跡是與原曲線類型相同、形狀相似的曲線(其曲線是原曲線內(nèi)的部分)

評(píng)注從一道平淡的課本習(xí)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與、主動(dòng)探究，由特殊到一般，深挖題目的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，并進(jìn)行引申推廣，以小見大.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生品嘗到了成功的愉悅，催生了深度學(xué)習(xí)的智慧，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題的能力，使學(xué)習(xí)過(guò)程成為提升核心素養(yǎng)的豐富載體[3].

總之，教師應(yīng)基于微專題“切口小、定位準(zhǔn)、形式多”等特點(diǎn)，選擇經(jīng)典問(wèn)題，及時(shí)彌補(bǔ)學(xué)生所暴露出的問(wèn)題.同時(shí)，教師在設(shè)計(jì)微專題時(shí)，應(yīng)重視數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的整合、串聯(lián)，由易到難，由表及里、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生深度參與，經(jīng)歷回歸基礎(chǔ)、邏輯推理、抽象概括等活動(dòng)過(guò)程，使學(xué)生由“見山是山”的淺層學(xué)習(xí)達(dá)到“見山不是山”，再上升到“見山還是山”的深層境界，從而讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中真正落地生根.