馬喜君, 趙琴學(xué)

(1.元濟(jì)高級中學(xué),浙江 海鹽 321004;2.海鹽高級中學(xué)，浙江 海鹽 321004)

縱觀歷年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題，具有新穎、靈活、概念的理解性強(qiáng)、重本質(zhì)等特點(diǎn)，對學(xué)生核心素養(yǎng)的要求很高，因此對高三課堂的教學(xué)提出了重概念、重本質(zhì)、重思維、重素養(yǎng)的高要求.高三二輪復(fù)習(xí)講究的是高效、精準(zhǔn)，優(yōu)策略，抓本質(zhì).如果二輪復(fù)習(xí)僅僅以基本知識、方法為線索，穿插例題分析的固定微專題模式，也許能比較系統(tǒng)地解決一類問題，但是缺乏對學(xué)生的自主思維、數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，也就是如果遇到新穎、靈活、概念性強(qiáng)的題目，學(xué)生缺乏自主思考、分析的能力，很難找到解題的突破口.因此高三二輪復(fù)習(xí)是要突破固定的課堂教學(xué)方式，采取在教師思維導(dǎo)學(xué)的指引下以培養(yǎng)學(xué)生有“度”思維為目的的學(xué)生自主探究型課堂教學(xué).下面以高三數(shù)列二輪復(fù)習(xí)課為例，對探索性思維導(dǎo)學(xué)在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維廣度、思維角度、思維深度、思維高度這4個角度進(jìn)行初步探究.

1 框圖式知識網(wǎng)絡(luò)梳理，拓展學(xué)生的思維廣度

大單元中知識框架就如人體的骨骼，是支撐整個知識模塊的核心知識，為學(xué)生設(shè)計知識與方法相結(jié)合的思維導(dǎo)圖，為學(xué)生構(gòu)建完整、系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，從整體上把握基礎(chǔ)知識及技能，為進(jìn)一步探究高精尖的問題打好基礎(chǔ).框圖式知識網(wǎng)絡(luò)具有直觀性、系統(tǒng)性等特征，有助于學(xué)生明確該知識模塊需要掌握的知識技能的同時，還能清楚地了解該知識點(diǎn)可以解決的問題類型、處理方式與方法等.

例如對于求和可分為三大方向：通項(xiàng)公式可知型、通項(xiàng)公式未知需放縮型、數(shù)學(xué)歸納型.數(shù)列求和的知識網(wǎng)絡(luò)可以梳理如下：

圖1

熟悉了以上的知識網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生遇到求和便可以從頭腦中搜索出主要的解決策略，同時能分辨出各種不同方法適用的條件以及限用的要求等，可以快速地制定出解題路徑，很大程度上避免“雷區(qū)”，節(jié)約時間，優(yōu)化解題過程.因此通過對框圖式知識網(wǎng)絡(luò)的梳理，可以拓展學(xué)生的思維廣度、思維面，讓知識有聯(lián)系地形成記憶進(jìn)行存檔，便于“搜索”.對于交匯知識的梳理將知識網(wǎng)絡(luò)模塊化、個性化的同時更趨于聯(lián)系化、整體化，有效地幫助學(xué)生應(yīng)對綜合性問題的考查.

2 探索性問題導(dǎo)學(xué)引領(lǐng)，開拓學(xué)生的思維角度

傳統(tǒng)的二輪復(fù)習(xí)課以解決一個專題為主，是一種完全按照劇本演練的實(shí)踐操作，并不能滿足對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，因此需要改善這種固化的教學(xué)方式，在二輪復(fù)習(xí)課中按照制定好的教學(xué)目標(biāo)，教師要敢于以問題做引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生自主探究研究方向，在不斷完善和進(jìn)階的研究過程中，從本質(zhì)上考查學(xué)生對知識的理解，同時開闊學(xué)生的思維角度，將邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)落實(shí)到位.

2.1 開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維

我們所碰到的問題基本都是完整的題干、固定的條件、明確的求解，即使解法是多樣化的，思維也都是被框死在一個區(qū)域內(nèi)的，因此一題只能解決一個或一類，最多是一個區(qū)塊的問題，并不能真正達(dá)到觸類旁通的效果.解決問題若缺少思維的可變性、多樣性，則會影響學(xué)生對所學(xué)知識和思想方法的理解和掌握，學(xué)習(xí)效率大打折扣，因此我們要以開放性問題作為引導(dǎo)學(xué)生思維的驅(qū)動力，放飛禁錮的思想，這樣往往會得到意想不到的收獲.

探究1若{bn}為等比數(shù)列，b1=1，公比q>0，且b1+b2=6b3，你能提出什么問題？先想一想，然后與同伴交流.

生2：還可以求前n項(xiàng)積的最值以及此時n的取值.

師：如果將題中的條件“公比q>0”改為“公比q<0”，那么我們還可以研究其他什么問題呢？

生3：如果b1=1，q<0，那么該數(shù)列為擺動數(shù)列，我們可以根據(jù)數(shù)列的圖像研究數(shù)列的收斂情況.

生4：可以求{cn}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和.

生5:要求{cn}的通項(xiàng)公式，還需要知道c1的值，不妨設(shè)c1=1，則可求得cn=4n-1.

當(dāng)特殊數(shù)列的基本量確定之后，數(shù)列便是確定的，可以多角度去研究此數(shù)列，可以增添不同的條件，從而達(dá)到不同的考查效果.

2.2 結(jié)構(gòu)不良性問題，引領(lǐng)學(xué)生理解本質(zhì)

2020年山東省數(shù)學(xué)高考卷出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良試題，這引起了各方重視.結(jié)構(gòu)不良試題具有界定不明確、結(jié)構(gòu)不完整、邏輯斷層等特征，是一個考查學(xué)生發(fā)散性思維的有效平臺，是一種考查學(xué)生靈活變通能力和知識遷移能力的高效方式，也是一種能較好地評價學(xué)生核心素養(yǎng)的新題型.教師如果平時在課堂教學(xué)中重視結(jié)構(gòu)不良問題的設(shè)置，讓學(xué)生通過對已有條件和所求解結(jié)果的運(yùn)算、推理、反思、聯(lián)想等活動，預(yù)設(shè)解決問題需要增加的條件，這就需要理解問題的本質(zhì)，才可能得到多種條件，產(chǎn)生多種解題方法和途徑.

生6：若{bn}是常數(shù)列，則{cn}是等比數(shù)列，便可以用累加法求出{an}的通項(xiàng)公式.

生7：若{bn}是等比數(shù)列，則{cn}也是等比數(shù)列，同理也可以用累加法求出{an}的通項(xiàng)公式.

生8：若{bn}是等差數(shù)列，則可以用累乘法求出{cn}的通項(xiàng)公式，還可以用累加法求出{an}的通項(xiàng)公式.

生9：其實(shí)無論{bn}是什么數(shù)列，只要它的每一項(xiàng)都是非零實(shí)數(shù)，都可以用累乘法求出{cn}的通項(xiàng)公式，再用累加法求出{an}的通項(xiàng)公式.

……

由此可見，教師借助結(jié)構(gòu)不良試題，引領(lǐng)學(xué)生分析、推理、聯(lián)想以及進(jìn)行同伴間的合作、互助，從而產(chǎn)生多維度的思考空間，開拓了思維角度，拓展了思維廣度，還能從本源出發(fā)，理解題目背景以及考查的知識點(diǎn)，讓本來不明確的開放性問題，為學(xué)生展示出一種豁然開朗的境界.這種思維的訓(xùn)練，遠(yuǎn)比灌輸式的知識方法教學(xué)高效得多.

3 類比型變式教學(xué)探究，挖掘?qū)W生的思維深度

變式教學(xué)是學(xué)科教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的重要路徑.變式的有效設(shè)計與運(yùn)用能促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的開展[1].類比型變式主要分兩種類型，即同構(gòu)型(題目條件、結(jié)論等結(jié)構(gòu)類似型)變式和同源型(數(shù)學(xué)本質(zhì)相類似型)變式.通過類比型變式的教學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究問題的本源，挖掘思維的深度，以此培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力、探究能力、應(yīng)用能力，落實(shí)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.1 同構(gòu)型變式，深化知識縱向發(fā)展

同構(gòu)型變式一般從改變、優(yōu)化條件或結(jié)果入手，通過對比分析，挖掘并便于學(xué)生理解知識本質(zhì)，從而達(dá)到深度教學(xué)的效果.

探究4在探究3的基礎(chǔ)上，如何更改已知條件，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式？

……

師：根據(jù)這幾位同學(xué)的思路分為4個小組，請大家商量一下，看看如何賦予數(shù)列條件，使得題目能完整、正確地求解？

學(xué)生參與同構(gòu)變形，有助于他們對知識點(diǎn)的進(jìn)階理解.同構(gòu)變形不僅能系統(tǒng)地掌握累加法、累乘法的含義及其具體運(yùn)算過程，而且還能通過推理得出各種變式下符合題意的適用條件，以高階的思維角度認(rèn)識累加法、累乘法，加強(qiáng)學(xué)生對知識的本源理解，深化對知識的認(rèn)知.

3.2 同源型變式，加強(qiáng)知識橫向聯(lián)系

波利亞說過：“教師的首要職責(zé)之一是不要給學(xué)生以下錯覺，即數(shù)學(xué)題目之間很少有聯(lián)系，和任何其他事物則完全沒有什么聯(lián)系.”[2]同源型變式是指數(shù)學(xué)本質(zhì)一致或類似的變式.通過同源型變式的探究分析，可以幫助學(xué)生通過對比不同的條件、不同的知識點(diǎn)，撥開題目本身的“偽裝”，更清楚地尋找到相同或相類似的數(shù)學(xué)本質(zhì)，找到相同本源下各知識點(diǎn)之間千絲萬縷的聯(lián)系，使知識交匯點(diǎn)在知識網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)大其交匯的作用，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用技能和素養(yǎng).

此類同源型，基于同源題根、目標(biāo)精度不等提升的進(jìn)階變式，可以提升學(xué)生自主辨析思維的能力，結(jié)合數(shù)列求和放縮的特點(diǎn)，理性把握放縮的“跨度”與“起點(diǎn)”，達(dá)到思維進(jìn)階、挖掘深度的目的.

1)若{bn}為等比數(shù)列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2020年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題)

變式3已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng)，數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

1)求q的值；

2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第20題)

看似完全沒關(guān)系的兩道題，其本質(zhì)都是求通項(xiàng)公式，而它們呈現(xiàn)的形式是完全不同的.探究6是借助累加法、累乘法實(shí)現(xiàn)了3個數(shù)列之間的關(guān)聯(lián)，而互相鉗制的嵌套關(guān)聯(lián)使題目變得錯綜復(fù)雜，如果沒有發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)特征，那么就無法理清思路，很難找到解題的突破口.變式3的本質(zhì)有很大的隱蔽性，要突破已知Sn求an、累加法、錯位相減法等重重障礙，才能看清目標(biāo)，在有限的解題時間內(nèi)，如何做到迅速理清思路，設(shè)計運(yùn)算策略，這就需要教師平時對學(xué)生進(jìn)行本源型變式的訓(xùn)練，讓學(xué)生通過揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)尋找它們之間的共通點(diǎn)以及區(qū)別，提高學(xué)生邏輯推理以及數(shù)學(xué)抽象能力.

4 回歸性數(shù)學(xué)本質(zhì)提煉，提升學(xué)生的思維高度

在課堂小結(jié)時，通過問題式思維導(dǎo)學(xué)的探究，學(xué)生不僅掌握了特殊數(shù)列——等差、等比數(shù)列的基本量求解，通項(xiàng)公式的求解方法以及前n項(xiàng)和的求解方法等基礎(chǔ)知識，而且學(xué)生通過自主探究各種通項(xiàng)公式的求解方法、前n項(xiàng)和的求解方法所適用的特征與要求以及通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)聯(lián)，站在數(shù)學(xué)本質(zhì)的高度，歸納提煉知識，提高了學(xué)生的思維高度.從根源上尋找解題方向，讓考題千變?nèi)f化，讓學(xué)生擁有以不變應(yīng)萬變的思維高度，從而讓素養(yǎng)教育真正落地.

5 綜合性問題導(dǎo)學(xué)突破，推進(jìn)學(xué)生“四度”進(jìn)階

對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的評價，落腳于對綜合問題的處理，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，看透數(shù)學(xué)背景，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的頂層設(shè)計下，研究解題策略、總結(jié)方法、歸納思辨，養(yǎng)成思維的生產(chǎn)、辨析、歸納、延伸，用合理的數(shù)學(xué)方法突破問題.

( )

(2021年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

故

可知

從而

即

于是

故

因此

從而

于是

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué).在教師探索性思維導(dǎo)學(xué)的指引下，基于問題、有效設(shè)計、動態(tài)生成，在師生與生生對話、思考、討論、質(zhì)疑、共鳴中，實(shí)現(xiàn)“以生為本”的思辨、歸納、拓展、延伸的思維進(jìn)階，引領(lǐng)學(xué)生拓展思維廣度、開拓思維角度、挖掘思維深度、提升思維高度，即進(jìn)行有“度”思維，激發(fā)學(xué)生的探索能力，提升學(xué)生的思辨能力，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].