朱 玲

(蕭山區(qū)第五高級中學(xué)，浙江 杭州 311202)

2014年，教育部公布的《關(guān)于全面深化課程改革的意見》中明確提出：針對各學(xué)段學(xué)生，教育部將組織研究、注重核心素養(yǎng)體系的發(fā)展，指明各學(xué)段學(xué)生都應(yīng)該具備適合自身發(fā)展以及符合社會發(fā)展所必需的品格和能力.主要包括6個(gè)方面，即：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及數(shù)據(jù)分析.隨著核心素養(yǎng)的提出，一線教學(xué)的課堂也在發(fā)生轉(zhuǎn)變，其中一個(gè)重要的目標(biāo)就是學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是六個(gè)核心素養(yǎng)的第一大素養(yǎng)，很多學(xué)者也提出希望能通過研究數(shù)量的關(guān)系、空間的形式，得到抽象素養(yǎng)的提升.在我們的研究中，希望學(xué)生能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)：把一些抽象的數(shù)學(xué)概念從數(shù)量、圖像間的關(guān)系中抽象出來，并能找到它們之間的聯(lián)系；能夠通過實(shí)際背景歸納總結(jié)出事物的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu).在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)抽象是十分重要的一種思想方法，有助于理性思維的建立；通過數(shù)學(xué)抽象，能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)科具有的本質(zhì)特點(diǎn)有效地呈現(xiàn)出來，使其在數(shù)學(xué)學(xué)科概念形成以及衍生的整個(gè)過程中，都有所體現(xiàn)；數(shù)學(xué)抽象能夠使數(shù)學(xué)這門學(xué)科成為言簡意賅、表達(dá)精準(zhǔn)、結(jié)論簡練的系統(tǒng).它主要體現(xiàn)在獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、提出數(shù)學(xué)命題和模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系等方面[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中針對概念教學(xué)有這樣的教學(xué)建議：教師要引導(dǎo)學(xué)生能從實(shí)際問題入手，能夠抽象概括出數(shù)學(xué)概念，能理解基本概念的來龍去脈[1].通過高中三年數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能夠通過生活中的實(shí)際問題抽象出理論性的數(shù)學(xué)概念，積累從實(shí)例到概括抽象的活動經(jīng)驗(yàn)；讓高中階段的學(xué)生在日常生活中逐步養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣，看清事物的本質(zhì)，以簡馭繁；讓高中階段的學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維的方式去思考并解決遇到的問題[2].進(jìn)入高中后，學(xué)生較早接觸到的一個(gè)抽象數(shù)學(xué)概念就是函數(shù)，而且函數(shù)的內(nèi)容更是貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系中，是一條主線.本文以“函數(shù)的概念”這一課為例，闡述核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在概念教學(xué)中的實(shí)現(xiàn).

1 創(chuàng)設(shè)情境，搭建抽象基礎(chǔ)

情境1函數(shù)概念比較抽象，通過對抽象事物的研究，使學(xué)生能獲得并理解核心的抽象概念的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要契機(jī).可是在現(xiàn)階段，許多一線教師對于這個(gè)問題的重視程度還不夠，很多教師認(rèn)為這個(gè)過程能講的題目很少，也沒什么可以教，于是經(jīng)常會采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的填鴨式教學(xué)方法，使學(xué)生對將要了解的概念不甚了解.那么，我們該如何研究函數(shù)這一抽象概念呢？初中階段對函數(shù)的定義：如果兩個(gè)變量x與y，且對于x的每一個(gè)確定的值都有唯一的y與之對應(yīng)，我們就稱x是自變量，y是x的函數(shù).在教學(xué)中，筆者首先拋出了一個(gè)簡單的問題：正方形的周長l與邊長x的對應(yīng)關(guān)系是l=4x,這樣的回答準(zhǔn)確嗎？

教師拋出問題，但不急于回答.筆者利用學(xué)生相對熟悉的現(xiàn)實(shí)問題引入，在課堂教學(xué)中引用了書本中4個(gè)典型的情境進(jìn)行比較.

情境1杭州到上海的“和諧號”加速到320千米/小時(shí)后，會勻速行駛0.5小時(shí).在該時(shí)間段內(nèi)，列車行駛的路程s(千米)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系可以用s=320t來表示.這里的t和s是兩個(gè)變量，對于每一個(gè)確定的t，都有唯一的s和它對應(yīng).對于t的取值范圍來說，即數(shù)集A={t|0≤t≤0.5},對于s的取值范圍來說，即數(shù)集B={0≤s≤160}.

情境2某網(wǎng)絡(luò)平臺要求公司員工每周至少1天到公司總部上班.假設(shè)該公司的薪資標(biāo)準(zhǔn)是320元/天，并且工資一周一結(jié)，請問如何確定一個(gè)員工每周的收入，一個(gè)員工的收入w是工作天數(shù)d的函數(shù)嗎?

我們發(fā)現(xiàn)，收入w確實(shí)是一周工作天數(shù)關(guān)于d的函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系是w=320d，其中d的變化范圍是數(shù)集A={1,2,3,4,5,6}，w的變化范圍是數(shù)集B={320,640,960,1 280,1 600,1 920}.針對存在于數(shù)集A中的任意一個(gè)工作天數(shù)d，根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中有且僅有一個(gè)收入w和其相互對應(yīng).

情境3圖1是北京市某年某月某一天的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)的變化圖.請問：如何根據(jù)圖1確定這一天在任何一個(gè)時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)I的值？你是否能看出這里的I是關(guān)于t的函數(shù)？

圖1

從曲線變化可知，變量t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤24}，AQI的值I在數(shù)集B={I|0

表1 某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

y的范圍是數(shù)集A={2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2 013,2 014,2 015}，r的取值范圍是數(shù)集B={r|0

這4個(gè)情境的引入，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也能幫助學(xué)生在具體的情境中逐步形成抽象的概念.培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的一個(gè)切入點(diǎn)是我們可以嘗試通過與實(shí)際相結(jié)合，重現(xiàn)這種概念抽象的過程[3].

2 尋找共性，抽象概念特征

學(xué)生抽象概括的能力相對比較弱，除了主觀因素(如理解不到位等)，客觀因素還在于他們可以抽象概括的機(jī)會比較少，一般概括歸納或方法總結(jié)的步驟都是以教師為主導(dǎo)的.要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，就要把概括的機(jī)會還給學(xué)生，體現(xiàn)學(xué)生在課堂上的主體地位.一個(gè)人的能力是靠經(jīng)驗(yàn)的積累并逐步培養(yǎng)形成的.教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生更多地去思考、去探索、去體驗(yàn)，親身經(jīng)歷，習(xí)得這種數(shù)學(xué)抽象的能力.采用導(dǎo)向式的問題教學(xué)模式，可以激發(fā)學(xué)生的思考興趣；同時(shí)通過設(shè)計(jì)問題串，為學(xué)生提供抽象概括的機(jī)會，循序漸進(jìn)、層層逼近，從而將學(xué)生的思維聯(lián)系起來，幫助學(xué)生從被動歸納到主動抽象，加深加固對數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識和理解，更有效地提高數(shù)學(xué)抽象能力.

在教學(xué)中，師生共同梳理出表2，再針對表2歸納的內(nèi)容提出問題1和問題2.

表2 4個(gè)情境中的對應(yīng)關(guān)系

問題1觀察上述4個(gè)函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同的特征，你能概括出函數(shù)有哪些特征嗎？學(xué)生總結(jié)，教師歸納：1)兩個(gè)非空數(shù)集；2)確定的對應(yīng)關(guān)系.

上面4個(gè)實(shí)例的對應(yīng)關(guān)系基本涵蓋了我們平時(shí)最常見的函數(shù)表示方法：解析式法、圖像法、表格法.事實(shí)上還有其他一些方法，為了方便，我們引進(jìn)f來統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系.由此，便引出了有關(guān)函數(shù)的概念，并用y=f(x)來表示對應(yīng)關(guān)系，其中x被稱為自變量.x的取值范圍A為函數(shù)的定義域；對應(yīng)的y值為函數(shù)值，其取值范圍又被稱為值域[3].

問題2在情境1與情境2中，這兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是一致的，它們是相同的函數(shù)嗎？請具體說明.

情境1與情境2既有典型性，又可用于比較，由此鞏固定義域和值域的概念，讓學(xué)生能夠真正理解定義域和對應(yīng)關(guān)系的概念，能夠知道二者是密不可分的.

在課堂上提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，在教學(xué)過程中采用啟發(fā)、互動、探究相結(jié)合的教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生的好奇心、想象力和求知欲.引導(dǎo)學(xué)生主動思考，自主探究，從而使學(xué)生理解函數(shù)概念.這是一個(gè)“抽絲剝繭”的過程，從具體到抽象，也是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).

3 互動探索，拓展概念理解

學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的新知識后，嘗試要求學(xué)生在課堂上繼續(xù)深入探索，希望能以此挖掘?qū)W生的潛在能力，拓寬視野.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中養(yǎng)成自覺探索的意識，促進(jìn)應(yīng)用意識的形成，達(dá)到學(xué)生核心素養(yǎng)養(yǎng)成的目的.

在課堂上設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題讓學(xué)生探究辨析：

1)請用新學(xué)的函數(shù)概念的知識來解釋初中已經(jīng)接觸過的初等函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系以及值域(學(xué)生獨(dú)立完成).

對這一問題的辨析，能使學(xué)生更深刻地理解函數(shù)三要素：對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域.

2)構(gòu)造一個(gè)有關(guān)問題的情境，確保能夠通過解析式來表達(dá)其中的變量關(guān)系.這是一個(gè)“化繭成蝶”的過程，回到實(shí)際中去構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10-x)的對應(yīng)關(guān)系，是從抽象到概括具化的過程，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了一定的提升.實(shí)踐表明，由于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，他們構(gòu)建實(shí)際問題的背景往往比較簡單，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生舉出各種例子[4].

追問上課開始時(shí)提出的問題：正方形的周長l與邊長x的對應(yīng)關(guān)系是l=4x,這個(gè)回答是否準(zhǔn)確？通過對這個(gè)問題的討論分析，可以讓學(xué)生更加深刻地體會到：函數(shù)的本質(zhì)是兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，而不是用什么符號或什么形式[4]，因此l=4x只給出了對應(yīng)關(guān)系.對于函數(shù)，我們還需要關(guān)注自變量的取值范圍以及相應(yīng)函數(shù)值的范圍.用新知識解釋舊問題，回到實(shí)踐中去，能促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念的真正理解，通過這些探索辨析，真正落實(shí)數(shù)學(xué)抽象思維.

4 總結(jié)應(yīng)用，建構(gòu)概念體系

依靠數(shù)學(xué)抽象形成數(shù)學(xué)概念之后，還要依靠實(shí)際案例展開具體的概念辨析，使學(xué)生熟練地掌握概念內(nèi)含.通過具體練習(xí)，熟練操作步驟，形成技能，然后加以歸納總結(jié).

例1下列哪個(gè)函數(shù)與y=x是相同函數(shù)？

( )

例2若集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，請嘗試寫出所有集合A到B的函數(shù).

數(shù)學(xué)是思維學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)要滲透數(shù)學(xué)思維.而數(shù)學(xué)概念更是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式，更是“數(shù)學(xué)抽象”的落腳點(diǎn)[3].從整體上來看：解決數(shù)學(xué)問題本質(zhì)上屬于一個(gè)思維的過程，是在對其進(jìn)行教學(xué)的過程中，將所針對的所有學(xué)習(xí)的知識、方法以及數(shù)學(xué)問題有效地結(jié)合起來，并展開深入探究的過程.以上是“函數(shù)概念”課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)所做的一些嘗試，函數(shù)高度的抽象性，要讓學(xué)生經(jīng)歷“從事實(shí)到概念”的認(rèn)識過程，幫助他們獲得數(shù)學(xué)研究對象.筆者從“創(chuàng)設(shè)情境，搭建抽象基礎(chǔ)；尋找共性，抽象概念特征；互動探索，拓展概念理解；總結(jié)應(yīng)用，建構(gòu)概念體系”4個(gè)方面逐步推進(jìn)概念學(xué)習(xí)，是從“感性具體、感性一般、理性具體、理性一般”4個(gè)水平逐步加深理解概念的過程，也是基于理解數(shù)學(xué)抽象從而不斷深化發(fā)展的過程.