駱寅飛, 易良斌

(1.杭州師范大學東城中學，浙江 杭州 310000;2.杭州市上城區(qū)教育學院，浙江 杭州 310000)

復習課的主要目的是通過對所學知識的系統(tǒng)回顧和小結，建構完整的知識網(wǎng)絡和優(yōu)化認知結構.本文聚焦知識復習內(nèi)容的結構體系，圍繞知識學習路徑精心設計問題鏈式，通過探究性問題，促進學生在復習過程中厘清知識脈絡、形成基本技能、提升思維發(fā)展，從而有效改進復習課“炒冷飯”“刷習題”等現(xiàn)象，讓學生在復習中再一次發(fā)展.同時在問題解決的過程中，運用分析、討論、歸納、總結等，優(yōu)化解題方法，提煉解題思想.

筆者以“直角三角形”的復習課為例，闡述如何幫助學生進一步梳理知識脈絡，重建知識結構，深化內(nèi)在聯(lián)系，并在教學過程中，滲透數(shù)學思想方法，有方向地提升學生的數(shù)學思維能力.

1 課前分析

在圖形與幾何板塊的新課學習中，學生已具備研究幾何問題的基本經(jīng)驗，能夠進行一般的推理和論證，對動手操作和問題探究充滿熱情，但思維有一定的局限性，能力也有差距.中考第一輪復習，是初中數(shù)學新授課結束后的一次全面、系統(tǒng)的綜合復習，是學生查漏補缺、構建關鍵知識體系的首要機會.在教學中教師要有適當?shù)摹白穯枴杯h(huán)節(jié)，使學生弄清知識的來龍去脈，不僅知道“是什么”，更要知道“為什么”以及“你是怎樣知道為什么是這樣的”，此即“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”“示以學生思維之道”.同時，在學習過程中通過對問題的質(zhì)疑與分析、質(zhì)疑甚至是批判，力爭為培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維做出努力.

2 教學過程設計

2.1 建構知識框圖，夯實基礎

初中幾何圖形中最基本的是三角形，三角形中最特殊的是等腰三角形和直角三角形，它們在初中幾何中占據(jù)著舉足輕重的作用.如圖1，許多幾何問題都是通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為這兩類三角形，然后利用這兩類三角形邊角的特殊性質(zhì)加以解決.其中直角三角形角角關系、邊邊關系、邊角關系在復雜幾何題的證明和計算中應用尤為頻繁，以直角三角形為背景的幾何題能充分考查學生的建模能力、運算能力、推理能力等.

圖1

因此，直角三角形的復習是必要且重要的，本節(jié)課讓學生了解直角三角形的定義、性質(zhì)、判定，在此基礎上，讓學生積極參與到課堂中來，使其創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新意識得到較好開發(fā)，并自主建構直角三角形的知識框圖，回顧舊知.

2.2 分析典型例題，強化思維

例1如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一個動點.在點P由A向B的運動過程中：

圖2 圖3

1)點P有哪些特殊位置？

2)當點P在特殊位置時，求線段CP的長度.

設計意圖呈現(xiàn)一道開放題，非唯一確定性問題引發(fā)學生多元思考，讓不同思維層次的學生均有效融入課堂，自主探究.第1)小題的定性為第2)小題的定量作鋪墊，符合幾何研究先定性再定量的研究思路.

對于第1)小題，學生很快能想到點P的特殊位置，即CP分別為中線、高線和角平分線.對于第2)小題，當CP為斜邊AB上的中線時，直接利用斜中線定理求得即可；當CP為斜邊AB上的高線時，用面積法亦可快速求得.因此，下面主要呈現(xiàn)當CP為角平分線時學生的解法.

解法1(利用特殊角，構造特殊直角三角形)如圖3，∠ACP=∠BCP=45°，過點P作PD⊥BC，垂足為D.

設PD=4x，易得

BD=3x，CD=4x，

從而

4x+3x=3，

解得

則

故

評注教師追問學生為什么設4x.根據(jù)角平分線的定義，得特殊角45°，作垂線，構造特殊直角三角形，這是課標要求的基礎知識和基本技能，是學生必須掌握和具備的.

解法2(面積法)如圖4，∠ACP=∠BCP，過點P作PD⊥BC于點D，作PE⊥AC于點E.設PD=x，則PE=x，由S△ACP+S△BCP=S△ACB，得

圖4 圖5

4x+3x=12，

即

從而

評注根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，作點P到角兩邊的距離.由垂直關系聯(lián)想到三角形的高，進而聯(lián)系等積法，這是幾何問題中建立等量關系的常用方法.

解法3(由平行線與角平分線構造等腰三角形)如圖5，∠ACP=∠BCP，過點B作BQ∥CP交AC延長線于點Q，易得∠CQB=∠CBQ，從而

由BQ∥CP，得

△ACP∽△AQB，

進而

即

解得

評注1)如圖6，過點B作BH∥AC交CP延長線于點H，易得

圖6 圖7 圖8

下同解法3，不再贅述.

2)還可以過點A作AM∥BC或AN∥CP，如圖7和圖8，同樣構造等腰三角形和相似三角形，下同解法3.

3)平行線與角平分線構成等腰三角形，平行線構成“A”字型或“8”字型的相似三角形，是初中幾何的基本圖形.學生在新授課、習題課下，已經(jīng)對這些基本圖形較為熟悉，并積累了較為豐富的解題經(jīng)驗，為解決問題提供了厚實的思維基礎.事實上，圖3～8都可歸類為添加平行線構造“A”字型或“8”字型的基本圖形，通過相似三角形或三角函數(shù)等建立代數(shù)模型求解.

解法4(角平分線成比例定理)如圖3，∠ACP=∠BCP=45°，過點P作PD⊥BC，垂足為D.根據(jù)三角形的內(nèi)角平分線成比例定理，知

得

從而

進而

評注由角平分線成比例定理直接得比例關系，更為簡潔方便.

反思例題中點P雖為動點，實際特殊情況下位置確定，由動轉(zhuǎn)靜，靜態(tài)幾何求值，就是找數(shù)量關系用方程求解.本題根據(jù)條件和圖形特征采用基本圖形法，學生思維發(fā)散，一題多解，又多解歸一：初中靜態(tài)幾何求線段長度就是利用勾股定理、面積、相似或三角函數(shù)等建立代數(shù)模型(如方程)求解——這種一般觀念與方法的落實是初中幾何教學的應有之義.

變式1如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一點，AP∶BP=m∶n，聯(lián)結CP，求線段CP的長.

圖9 圖10

設計意圖在變式1中將點P的位置特殊為AP∶BP=m∶n，由特殊到一般，讓學生再次鞏固所學、提升思維品質(zhì)、提高解題能力.

例2如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜邊AB上的一個動點，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F.

1)點P在什么位置時，四邊形PECF為正方形？

2)點P在什么位置時，四邊形PECF的最大面積是多少？

3)聯(lián)結EF，線段EF什么時候最長，什么時候最短？請分別求出這兩個最值.

設計意圖例1的靜到例2的動，不僅讓學生學會靜態(tài)幾何求值，更要學會用變化的觀點看問題，獲得用函數(shù)刻畫求解的活動經(jīng)驗，完善數(shù)學認知結構，同時也讓學生感受四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的數(shù)學思想方法.

易證四邊形PECF為矩形.第1)小題，在例1的幫助下，容易得到當CP為∠ACB的角平分線時，四邊形PECF為正方形.

第2)小題，設EC=x，四邊形PECF面積為S，則

AE=4-x，

易證

△AEP∽△ACB，

從而

即

得

于是

圖11

由EF2=EC2+CF2，得

反思本題第3)小題求最值，一部分學生利用幾何意義直接分析獲得，而另一部分則建立函數(shù)模型，二者比較，各有優(yōu)勝.但最關鍵的是學生基于此類問題的思考——知識關系的建立、數(shù)學思想的應用、解題思路的形成，真正促進了學生的深度思考，培養(yǎng)了學生分析問題、解決問題的能力.

變式2如圖12，已知AB=AC=10，BC=12，點D為AC上一動點，根據(jù)剛才的探究過程，你能提出哪些問題呢？

圖12

預設1)當BD分別為中線、高線和角平分線時，求BD的長.

2)在AB,BC上分別取點E,F，使得四邊形EBFD為平行四邊形，則EBFD有沒有可能是菱形？

3)求BD的最小值.

設計意圖類比本節(jié)知識內(nèi)容，從直角三角形的研究過渡到非直角三角形的探索，體現(xiàn)特殊到一般的過程.在本問題的解決過程中，培養(yǎng)學生提出問題的能力，并且預設的4個問題應該是學生積累了本節(jié)課的學習經(jīng)驗后能夠獲得的，因此對學生基本活動經(jīng)驗的積累有檢驗、測評作用.最后在具體問題的解決過程中，學生需要將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，在基本技能上體現(xiàn)了數(shù)學的化歸思想.

2.3 總結課堂所學，升華思維

學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，教師從思想和方法上引導學生總結歸納.

練習1如圖13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，BP是∠ABC的平分線，求線段BP的長度.

圖13

設計意圖知識碎片化的結果是只見樹木、不見森林，課堂小結就是把這種碎片化的知識整體化、結構化、系統(tǒng)化，思維更嚴密.同時借助這道練習引發(fā)學生的下一步思考，這節(jié)課研究了“直角”的問題，那么對于一般的三角形或非直角的情形可以怎么解決呢？再次引導學生從非直角通過構造垂直轉(zhuǎn)化為直角的問題，感悟數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.

3 教學感悟

3.1 基于學情，精心設計教學

復習課不是機械重復新授課所學的知識，而是全新地構造一個新的體系，使學生的認知結構完整又嚴密.而中考數(shù)學復習課，以“讓學生掌握數(shù)學學科核心知識，發(fā)展數(shù)學學科關鍵能力”為目標，顯然必須具備這樣的能力.學生在新授課后積累了一定的解題經(jīng)驗，但學生的認知結構不完整、不嚴謹，解題經(jīng)驗不豐富、不深刻，數(shù)學思維不靈活、不成熟，基于這樣的學情，精選例題、精編習題，突出重點、突破難點，在具體教學中，巧妙提問、智慧啟發(fā)，善于聯(lián)系、合理優(yōu)化，引發(fā)學生積極的思維熱度，真正參與到知識重組的學習中.

3.2 追本溯源，滲透思想方法

羅增儒教授對于數(shù)學思想與數(shù)學教學有著這樣的描述：“數(shù)學教學要用數(shù)學思想去指導教學設計，又要用數(shù)學操作去落實數(shù)學思想.”[1]本文中關于直角三角形的復習沒有刻意追求解題技巧，而是注重學生的自然生成，如例1第2)小題線段求值的教學過程中，不同方法的呈現(xiàn)都是理解本質(zhì)后的產(chǎn)物.本文的設計夯基礎、重落實，較好地提升了學生的基本數(shù)學素養(yǎng)，如提煉基本圖形、方程思想、數(shù)學建模、邏輯推理能力等.至此，學生再解決其他幾何求值問題都有法可依、有據(jù)可循.

3.3 加強反思，提升思維層次

徐利治教授認為至少可以區(qū)分出3個不同的數(shù)學思維活動層次：1)程式或算法；2)解題策略；3)高層次數(shù)學思維(涉及數(shù)學思維的品質(zhì)，如思維的靈活性、整合性、辯證性等)[2].本文的教學設計中，作輔助線建構基本圖形、代數(shù)模型求解等是基本的程式或算法；從條件出發(fā)，分析不同的求線段方法是解題策略；面對具體問題，靈活選用解題策略，并及時優(yōu)化解題方法，則體現(xiàn)了高層次的數(shù)學思維.教師在教學時，不僅要重視方法，更要引導學生歸納總結，并在實踐中不斷優(yōu)化，發(fā)展高階數(shù)學思維.