高文斌 黃 琪 余曉流

1.安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，馬鞍山，2430322.特種重載機器人安徽省重點實驗室，馬鞍山，243032

0 引言

模塊化機器人由關(guān)節(jié)模塊和連桿模塊等組成，能夠通過標準化的接口實現(xiàn)機械和電氣連接，面向任務(wù)組裝成不同構(gòu)型、自由度的機器人以滿足不同工作需求。生產(chǎn)過程中的制造公差、裝配誤差、重構(gòu)產(chǎn)生的裝配誤差和使用過程中產(chǎn)生的磨損等，導(dǎo)致模塊化機器人重構(gòu)后實際運動學(xué)模型偏離理論模型，不利于離線編程應(yīng)用和高精度軌跡控制。目前，針對模塊化機器人重構(gòu)后位姿誤差補償?shù)难芯恐饕袃煞N思路。

第一種思路是將重構(gòu)后的模塊化機器人作為普通串聯(lián)機器人進行運動學(xué)參數(shù)標定[1-6]。這種方法可以有效補償重構(gòu)后機器人的位姿誤差，但每次重構(gòu)后會引入裝配誤差，需要專業(yè)的技術(shù)人員根據(jù)重構(gòu)后機器人的具體構(gòu)型設(shè)計標定試驗，再次進行標定，操作繁復(fù)。

第二種思路是針對模塊化機器人的組成模塊進行參數(shù)標定，通過對由模塊或子裝配體構(gòu)成的多個機器人進行聯(lián)合標定[7-8]，實現(xiàn)組成模塊的參數(shù)辨識，并根據(jù)標定值對重構(gòu)后的機器人運動學(xué)模型進行修正。這種方法可以補償由經(jīng)過標定的模塊或子裝配體組成的機器人的位姿誤差，但工作量大，操作繁瑣，在引入新的模塊或模塊發(fā)生磨損后，需對所有模塊或子裝配體進行重新標定。文獻[9]設(shè)計了一種模塊接口，通過測距傳感器測量模塊接口，利用傳感器測量值與接口間的幾何關(guān)系，實現(xiàn)了模塊間裝配誤差的測量解耦，但僅在平面內(nèi)考慮裝配誤差，不能實現(xiàn)位姿誤差的補償，并且未對模塊參數(shù)標定展開詳細研究。

本文分析模塊化機器人的幾何誤差來源，將其劃分成模塊參數(shù)誤差和模塊間裝配參數(shù)誤差，并基于外部測量給出一種模塊化機器人組成模塊參數(shù)和模塊間裝配參數(shù)的辨識方法。

1 誤差分析

影響機器人位姿精度的誤差來源可分為幾何誤差和非幾何誤差。幾何誤差主要來自生產(chǎn)環(huán)節(jié)的加工、裝配誤差。非幾何誤差主要來自關(guān)節(jié)和連桿的柔性、齒輪側(cè)隙及溫度造成的熱變形等。幾何誤差占據(jù)了機器人定位誤差來源的90%左右[10]。對于模塊化機器人，其定位誤差主要來自生產(chǎn)過程和重構(gòu)過程產(chǎn)生的幾何誤差[8]。

1.1 關(guān)節(jié)模塊誤差分析

在關(guān)節(jié)模塊的輸入端、輸出端機械零位以及輸出端電子零位分別定義輸入坐標系(下標JI)、輸出坐標系(下標JO)和電子零位坐標系(下標JD)，如圖1所示。以輸出坐標系相對輸入坐標系的位姿矩陣TJ表示理論關(guān)節(jié)位姿，電子零位坐標系相對輸出坐標系的位姿矩陣TD表示理論關(guān)節(jié)零位位姿。理論上，關(guān)節(jié)電子零位與機械零位重合，TD為單位矩陣。關(guān)節(jié)理論運動學(xué)模型根據(jù)指數(shù)積公式[11]可表示為

圖1 關(guān)節(jié)坐標系定義

(1)

ω=[ω1ω2ω3]Tν=-ω×r

關(guān)節(jié)模塊幾何誤差可以分為以下四類。

(1)關(guān)節(jié)位姿誤差。關(guān)節(jié)零件的制造公差使關(guān)節(jié)尺寸、形狀偏離理論值，導(dǎo)致實際關(guān)節(jié)輸入坐標系(下標JIA)和關(guān)節(jié)輸出坐標系(下標JOA)偏離理論位置，如圖2a所示。實際關(guān)節(jié)位姿用TJA表示。

(2)關(guān)節(jié)旋量誤差。制造公差和關(guān)節(jié)零件的裝配使得關(guān)節(jié)軸線偏移導(dǎo)致關(guān)節(jié)旋量誤差，如圖2b所示。實際關(guān)節(jié)運動旋量坐標用ξa表示。

(a) 關(guān)節(jié)位姿誤差 (b) 關(guān)節(jié)旋量誤差

(3)關(guān)節(jié)零位誤差。關(guān)節(jié)零位誤差由電子零位觸發(fā)位置不準確導(dǎo)致，使電子零位坐標系相對輸出坐標系繞z軸偏轉(zhuǎn)誤差角Δθ′，如圖3所示。實際關(guān)節(jié)零位位姿用TDA表示，并且TDA=Rot(z，Δθ′)。

圖3 關(guān)節(jié)零位誤差

(4)關(guān)節(jié)角誤差。關(guān)節(jié)角誤差主要由關(guān)節(jié)傳動鏈存在的誤差引起[12]，實際關(guān)節(jié)角可表示為

θa=kaη

(2)

式中，ka為實際關(guān)節(jié)角(rad)與關(guān)節(jié)內(nèi)部編碼器的脈沖數(shù)之比(簡稱計數(shù)比)，與關(guān)節(jié)減速器的減速比、編碼器線數(shù)有關(guān)；η為關(guān)節(jié)內(nèi)部編碼器的脈沖數(shù)。

實際應(yīng)用中，應(yīng)對計數(shù)比ka進行標定。

因而，關(guān)節(jié)的實際運動學(xué)模型可表示為

(3)

1.2 連桿模塊誤差分析

連桿坐標系定義與關(guān)節(jié)坐標系定義類似，如圖4所示。連桿位姿用齊次變換矩陣TL表示。

(a) 平行連桿 (b) L型連桿

制造公差的存在，導(dǎo)致連桿模塊輸入坐標系(下標LI)、輸出坐標系(下標LO)從其理論位置偏離至實際位置(下標LIA，LOA)，如圖 5所示。連桿實際位姿用齊次變換矩陣TLA表示。

圖5 實際連桿位姿

1.3 模塊間誤差分析

以由一個關(guān)節(jié)模塊和一個連桿模塊組成的子裝配體為例，裝配后，理論上連桿輸入坐標系與關(guān)節(jié)輸出坐標系重合，如圖6所示。在兩模塊不存在誤差的情況下，子裝配體的理論運動學(xué)模型fn為

圖6 模塊間理論裝配位姿

(4)

實際應(yīng)用中，模塊連接處主要存在以下三種誤差。

(1)周向定位誤差Δθ″。由相鄰模塊安裝時接口處無周向定位導(dǎo)致，使連桿輸入坐標系(下標LI)相對關(guān)節(jié)電子零位坐標系(下標JD)繞z軸偏轉(zhuǎn)角度Δθ″，如圖7a所示。

(2)關(guān)節(jié)零位誤差Δθ′。如圖7a所示，關(guān)節(jié)零位誤差導(dǎo)致關(guān)節(jié)電子零位坐標系相對關(guān)節(jié)輸出坐標系(下標JO)繞z軸偏轉(zhuǎn)角Δθ′，使關(guān)節(jié)輸出坐標系與連桿輸入坐標系不重合，所以關(guān)節(jié)零位誤差應(yīng)歸結(jié)為模塊間誤差。并且關(guān)節(jié)零位誤差只存在于關(guān)節(jié)輸出端與連桿輸入端連接處。

(3)配合設(shè)計導(dǎo)致的裝配誤差。為了方便裝配，模塊化機器人模塊接口處通常設(shè)計為小間隙配合。間隙導(dǎo)致連桿輸入坐標系偏離關(guān)節(jié)電子零位坐標系，兩坐標系間存在位置誤差(dx，dy，dz)和姿態(tài)誤差(dθx，dθy，dθz)[9]，如圖7b所示。

(a) 周向定位誤差與關(guān)節(jié)零位誤差 (b) 配合設(shè)計導(dǎo)致的裝配誤差

模塊間誤差由上述誤差疊加而成，導(dǎo)致實際關(guān)節(jié)輸出坐標系(下標JOA)與實際連桿輸入坐標系(下標LIA)不重合。兩坐標系間位姿即兩模塊間實際裝配位姿可用一個齊次變換矩陣ΔT表示，如圖8所示。子裝配體的實際運動學(xué)模型fa為

圖8 模塊間實際裝配位姿

(5)

2 幾何參數(shù)辨識方法

2.1 關(guān)節(jié)模塊參數(shù)辨識

(1)關(guān)節(jié)實際位姿TJA辨識。關(guān)節(jié)實際位姿由其輸入、輸出坐標系間關(guān)系確定。如圖9所示，在關(guān)節(jié)模塊輸入端、輸出端各固定3個精密球。以關(guān)節(jié)模塊輸入端坐標系(下標JIA)定義為例，設(shè)關(guān)節(jié)模塊輸入端3個精密球的球心在測量坐標系中的坐標分別為P1、P2和P3，其形式均為3×1的列向量。以點P1為關(guān)節(jié)模塊輸入坐標系原點，向量P1P3為x軸，三點所在平面的法向量n為z軸。n=P1P3×P1P2，y軸方向通過右手定則確定。則關(guān)節(jié)輸入坐標系相對于測量坐標系的位姿可用一個齊次變換矩陣TJI來表示：

圖9 關(guān)節(jié)位姿辨識

(6)

關(guān)節(jié)輸出坐標系(下標JOA)定義與關(guān)節(jié)輸入坐標系定義類似。關(guān)節(jié)輸出坐標系相對于測量坐標系的位姿可用一個齊次變換矩陣TJO表示。則關(guān)節(jié)實際位姿可以表示為

(7)

(2)關(guān)節(jié)實際旋量辨識。對模塊化機器人單個關(guān)節(jié)模塊進行辨識時，由于關(guān)節(jié)運動軌跡完整且受柔性影響較小[13-14]，故能準確體現(xiàn)關(guān)節(jié)運動學(xué)參數(shù)。采用關(guān)節(jié)運動軌跡法對關(guān)節(jié)旋量進行辨識。辨識需獲取一系列關(guān)節(jié)軌跡測量點。轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)運動軌跡為空間圓，如圖10所示，實際關(guān)節(jié)運動旋量坐標ξa= (ω，-ω×r)T，其中ω為空間圓軸線單位方向向量，r為空間圓圓心。測量點擬合函數(shù)[15-16]為

圖10 關(guān)節(jié)旋量辨識

(8)

其中，R為擬合圓半徑。

(3)實際關(guān)節(jié)角θa辨識。辨識實際關(guān)節(jié)角只需辨識計數(shù)比ka。將上述步驟(2)中的各測點Pi投影到擬合圓所在平面上，記為Oi。連接擬合圓圓心r與各投影點Oi，交擬合圓于點Qi。則ka可由下式計算得到：

(9)

式中，ηi為關(guān)節(jié)在第i個測點時的編碼器的脈沖數(shù)；η1為關(guān)節(jié)在第1個測點時的編碼器的脈沖數(shù)；rQi為擬合圓圓心r指向點Qi的向量；n為測點個數(shù)。

θa可通過式(2)計算得到。則關(guān)節(jié)模塊的實際運動學(xué)模型表示為

(10)

2.2 連桿模塊參數(shù)辨識

與關(guān)節(jié)位姿辨識類似，在連桿輸入端、輸出端分別固定3個精密球，如圖11所示。連桿輸入坐標系與連桿輸出坐標系相對于測量坐標系的位姿可以分別用齊次變換矩陣TLI和TLO表示。則連桿實際位姿可表示為

圖11 連桿位姿辨識

(11)

2.3 模塊間裝配參數(shù)辨識

模塊實際裝配參數(shù)也可通過相鄰模塊連接處輸入、輸出端精密球確定。與2.1節(jié)中關(guān)節(jié)模塊輸入坐標系定義方式類似，定義裝配后關(guān)節(jié)輸出坐標系、連桿輸入坐標系，如圖12所示。記關(guān)節(jié)輸出坐標系與連桿輸入坐標系相對于測量坐標系的位姿變換矩陣分別為TJOB與TLIB，則關(guān)節(jié)輸出端與連桿輸入端裝配關(guān)系可表示為

圖12 模塊間裝配參數(shù)辨識

(12)

將式(10)～式(12)代入式(5)可得辨識后子裝配體的運動學(xué)模型f為

(13)

模塊化機器人運動學(xué)模型的獲得與子裝配體運動學(xué)模型的獲得類似，首先對模塊化機器人各模塊參數(shù)進行辨識，在重構(gòu)后只需測量相鄰模塊間裝配位姿即可獲得模塊化機器人實際運動學(xué)模型。該方法相較于將模塊化機器人重構(gòu)后作為普通串聯(lián)機器人進行標定的方法，無需根據(jù)機器人重構(gòu)后的構(gòu)型設(shè)計復(fù)雜的標定試驗，只需測量相鄰模塊間的精密球即可獲得實際運動學(xué)模型；相較于針對模塊化機器人組成模塊進行參數(shù)標定的方法，在更換某個模塊時只需標定所更換模塊與其相鄰模塊間的裝配參數(shù)，無需對所有模塊重新進行標定，就能夠?qū)崿F(xiàn)位姿誤差的補償。

3 試驗及結(jié)果分析

以筆者所在課題組研制的一套模塊化機器人為試驗平臺，用其中一個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)、一個平行連桿和一個L型連桿分別組成兩種典型構(gòu)型的子裝配體進行試驗驗證。測量設(shè)備采用?？怂箍礕LOBAL S07.10.07橋式測量機，測量精度為±(1.7+4.0L/1000) μm。精密球型號為椿中島SUS440C，精度等級為G28(JIS B1501標準)。

3.1 測量坐標系建立

將關(guān)節(jié)模塊與平行連桿模塊裝配組成平行連桿子裝配體，固定在三坐標測量機工作平臺上。如圖13所示，以關(guān)節(jié)軸線與底座法蘭上平面的交點為原點，底座法蘭上平面法向量為z軸，關(guān)節(jié)軸線與平行連桿輸出端接口軸線與底座法蘭上平面交點的連線為y軸建立測量坐標系。

圖13 平行連桿子裝配體

3.2 模塊參數(shù)辨識

(1)模塊位姿辨識。利用三坐標測量機測量各模塊上精密球球心，按2.1節(jié)、2.2節(jié)分別對關(guān)節(jié)模塊、平行連桿模塊和L型連桿模塊進行位姿辨識，辨識結(jié)果如表1所示。

表1 模塊位姿辨識結(jié)果

(2)辨識關(guān)節(jié)旋量與計數(shù)比。驅(qū)動關(guān)節(jié)帶動平行連桿轉(zhuǎn)動一周，每隔30°測量平行連桿輸出端1號精密球球心，并將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)輸入坐標系中。記錄每個位置關(guān)節(jié)編碼器的脈沖數(shù)。通過式(8)計算實際關(guān)節(jié)運動旋量坐標ξa。按式(9)計算實際計數(shù)比ka。辨識結(jié)果如表2所示。

表2 關(guān)節(jié)旋量與計數(shù)比辨識結(jié)果

3.3 模塊間裝配參數(shù)辨識

分別測量平行連桿子裝配體關(guān)節(jié)輸出端、平行連桿輸入端精密球球心。按2.3節(jié)對模塊間裝配參數(shù)進行辨識。將關(guān)節(jié)與平行連桿拆開，與L型連桿裝配在一起組成L型連桿子裝配體，如圖14所示。關(guān)節(jié)與L型連桿間裝配參數(shù)辨識同上。辨識結(jié)果如表3所示。

圖14 L型連桿子裝配體

表3 模塊間裝配參數(shù)辨識結(jié)果

3.4 驗證試驗

驅(qū)動關(guān)節(jié)帶動平行連桿隨機運動到6個不同位置，記錄關(guān)節(jié)在每個位置時的脈沖數(shù)，乘以ka得到關(guān)節(jié)實際角度值。脈沖數(shù)和實際關(guān)節(jié)角如表4所示。以每次運動后平行連桿輸出端1號精密球的球心作為測試點。將測得坐標值從測量坐標系轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)輸入坐標系中，記為實際坐標值。各測試點的理論坐標值與補償后坐標值分別可以通過式(4)與式(13)計算得到。將6個測試點的理論坐標值和補償后坐標值分別與實際坐標值相減，可得誤差補償前后的位置誤差值。圖15所示為補償前后6個測試點的位置誤差值的模(簡稱位置誤差模)。6個測試點的理論坐標值、實際坐標值、補償后坐標值如表5所示。

表4 平行連桿子裝配體測試點脈沖數(shù)及實際關(guān)節(jié)角

圖15 平行連桿子裝配體位置誤差模

表5 平行連桿子裝配體測試點理論坐標值、補償后坐標值、實際坐標值

與平行連桿子裝配體誤差補償方法類似，對L型連桿子裝配體進行補償試驗。6個測試點的脈沖數(shù)和實際關(guān)節(jié)角如表6所示。圖16所示為補償前后6個測試點的位置誤差模。6個測試點的理論坐標值、實際坐標值、補償后坐標值如表7所示。

表6 L型連桿子裝配體測試點脈沖數(shù)及實際關(guān)節(jié)角

表7 L型連桿子裝配體測試點理論坐標值、補償后坐標值、實際坐標值

3.5 結(jié)果分析

通過圖15與圖16可以看出，兩子裝配體各測試點的定位精度經(jīng)補償后得到明顯提高。補償前平行連桿子裝配體與L型連桿子裝配體的測試點位置誤差模的平均值分別為1.3717 mm、0.6130 mm，補償后平均值分別為0.0497 mm、0.0186 mm。補償前誤差分別為補償后誤差的27.6倍和33.0倍，并且補償后兩子裝配體的位置誤差穩(wěn)定在較低水平，無明顯波峰波谷，可以表明該補償方法是穩(wěn)定有效的。

圖16 L型連桿子裝配體位置誤差模

實際應(yīng)用中采用三坐標測量機測得模塊參數(shù)，在各模塊裝配后或機器人重構(gòu)后，為了適應(yīng)機器人作業(yè)環(huán)境，可采用關(guān)節(jié)臂式測量機測得模塊間裝配位姿。

4 結(jié)論

(1)本文將模塊化機器人各組成模塊誤差及模塊間誤差劃分成模塊誤差和模塊間誤差，給出了一種基于精密球和外部測量的模塊化可重構(gòu)機器人模塊參數(shù)、模塊間裝配位姿辨識方法；針對兩種典型構(gòu)型子裝配體進行參數(shù)辨識和驗證試驗，試驗結(jié)果表明平均定位誤差約為原來的1/30。

(2)本文給出的補償方法不依賴于模塊和接口的精度設(shè)計。通過事先單獨對模塊化機器人各模塊進行參數(shù)識別，在各模塊組裝成機器人后或者模塊化機器人重構(gòu)后，通過外部測量設(shè)備直接測量相鄰模塊間精密球球心即可完成模塊間裝配位姿的識別，從而獲得重構(gòu)后機器人的實際運動學(xué)模型。本研究為模塊化機器人重構(gòu)后精度的快速補償提供了一種新思路。