馬世龍,巫蘭光,李宏超

(河南測(cè)繪職業(yè)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

1 引言

在水利工程河道建設(shè)中，河道測(cè)量作為貫穿施工全過(guò)程的非常重要的基礎(chǔ)性工作，河道測(cè)量的精度直接決定了整個(gè)水利工程的質(zhì)量、成本與進(jìn)度。在進(jìn)行河道測(cè)量時(shí)，由于河道線較長(zhǎng)，需要跨域多個(gè)省市，經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)不同地區(qū)或不同系統(tǒng)之間進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的問(wèn)題。對(duì)于傳統(tǒng)平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，通常做法是選取2～3個(gè)在兩套坐標(biāo)系中均有坐標(biāo)值的公共點(diǎn)，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)值視為無(wú)誤差的真值，先利用公共點(diǎn)坐標(biāo)反算出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后再通過(guò)參數(shù)轉(zhuǎn)換模型來(lái)求解目標(biāo)坐標(biāo)系下坐標(biāo)值[1]。但是，傳統(tǒng)的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法未考慮到公共點(diǎn)坐標(biāo)在獲取過(guò)程中觀測(cè)誤差對(duì)其產(chǎn)生的影響，在轉(zhuǎn)換精度上存在較大的缺陷，不適合應(yīng)用在精密工程測(cè)量中[2～4]，如高鐵軌道測(cè)量、壩體形變測(cè)量等。近幾年，隨著對(duì)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換研究的不斷深入，國(guó)內(nèi)外一些專(zhuān)家學(xué)者將最小二乘法引入到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，并取得了一定的成果，如楊元興等[5]利用最小二乘法原理，詳細(xì)推導(dǎo)了平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的計(jì)算步驟，為其在轉(zhuǎn)換模型精度上的改進(jìn)提供參考；黃坤陽(yáng)等[6]將改進(jìn)最小二乘算法應(yīng)用到天文定位時(shí)轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，通過(guò)不同方法對(duì)比驗(yàn)證了改進(jìn)的最小二乘法解算出的參數(shù)值精度更高；項(xiàng)偉等[7]引入阻尼最小二乘法解決了因轉(zhuǎn)換角過(guò)大導(dǎo)致的參數(shù)計(jì)算誤差大的問(wèn)題。雖然最小二乘法在一定程度上提高了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度，但該方法在參數(shù)解算中僅考慮了公共點(diǎn)單向誤差，在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性[8，9]。河道測(cè)量作業(yè)環(huán)境復(fù)雜，容易受到人為、儀器以及外界環(huán)境等方面的綜合影響，導(dǎo)致施測(cè)過(guò)程中公共點(diǎn)坐標(biāo)在原坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系中同時(shí)存在誤差，因此，使用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)求解難以滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換高精度的要求。綜合以上問(wèn)題，本文在充分考慮公共點(diǎn)誤差對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響的前提下，將整體最小二乘法應(yīng)用到平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解中，以獲取更高精度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成果。

2 平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

二維四參數(shù)模型常被用于平面直角坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換，模型轉(zhuǎn)換方程如下[10]：

(1)

式(1)中，(XT、YT)為公共點(diǎn)在目標(biāo)坐標(biāo)系中坐標(biāo)值，(XG、YG)為公共點(diǎn)在原坐標(biāo)系中坐標(biāo)值，(Δx、Δy)為兩坐標(biāo)系平移參數(shù)，α為兩坐標(biāo)系坐標(biāo)軸之間的旋轉(zhuǎn)參數(shù)，λ為縮放尺度參數(shù)。公式中共有4個(gè)未知轉(zhuǎn)換參數(shù)，分別為(Δx、Δy、Δz、α)，如果要求解這些未知轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要已知2個(gè)或2個(gè)以上公共點(diǎn)在2套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。對(duì)式(1)進(jìn)行變換，可以寫(xiě)成式(2)形式：

式(2)中，a=λcosα，b=λsinα。

假設(shè)觀測(cè)值向量存在誤差，則誤差方程用向量形式進(jìn)行表示，結(jié)果如式(3)：

(3)

采用經(jīng)典最小二乘法對(duì)誤差方程進(jìn)行求解，要求VTPV=min[11]，其中P為觀測(cè)值權(quán)陣。

3 整體最小二乘法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

3.1 整體最小二乘法誤差方程

利用經(jīng)典最小二乘法在計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)，僅考慮觀測(cè)向量的誤差，忽略了系數(shù)矩陣本身存在的誤差，但在實(shí)際測(cè)量工作中，由于人為誤差、模型誤差和儀器誤差等因素的影響，系數(shù)矩陣同樣也是含誤差的觀測(cè)量[12]，因此，采用最小二乘法解算出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)精度并不高。鑒于經(jīng)典最小二乘法存在的問(wèn)題，本節(jié)將討論如何用整體最小二乘法解算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，整體最小二乘法同時(shí)考慮了系數(shù)矩陣和觀測(cè)值含有的誤差。將式(3)加入系數(shù)矩陣誤差b，可得整體最小二乘法誤差方程的計(jì)算公式為：

(4)

式(4)中，b為系數(shù)誤差矩陣，其它符號(hào)含義同式(3)。

3.2 整體最小二乘法誤差方程求解

對(duì)于式(4)的解算，目前常用方法有奇異值分解法(SVD分解法)[13]、拉格朗日函數(shù)法[14]、正交三角分解法(QR分解法)[15,16]、分裂迭代法等[17]，但上述方法計(jì)算過(guò)程均較為復(fù)雜，不僅計(jì)算工作量大，而且要求具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[18]。本文對(duì)整體最小二乘法解法將依據(jù)文獻(xiàn)[19]，參考整體最小二乘法在線性回歸建模和解法的案例，分析整體最小二乘法在平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中參數(shù)的求解過(guò)程。假設(shè)已知公共點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系中均存在誤差，在原坐標(biāo)系中坐標(biāo)誤差改正值為(VXG、VYG)，在目標(biāo)坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的誤差改正值為(VXT、VYT)，則相應(yīng)的條件方程式(2)可寫(xiě)成以下形式:

(5)

(6)

V=[VXTVYTVXGVYTG]T，

按照最小二乘法VTPV=min的原則構(gòu)造條件極值函數(shù)，可得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)改正數(shù)的解為：

當(dāng)公共點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值均為同精度獨(dú)立觀測(cè)時(shí)，那么權(quán)陣P可視為單位陣，則式(7)簡(jiǎn)化為：

(8)

兩坐標(biāo)系中公共點(diǎn)坐標(biāo)值的改正數(shù)向量為：

(9)

經(jīng)式(9)改正后的公共點(diǎn)坐標(biāo)值，按式(1)重新計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，即為整體最小二乘法所得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的解。如果一次改正后仍不滿足精度要求，可重復(fù)以上計(jì)算步驟，直至滿足精度后結(jié)束。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 方案設(shè)計(jì)

為檢驗(yàn)整體最小二乘法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換上的精度，本文與經(jīng)典最小二乘法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化精度進(jìn)行對(duì)比。公共點(diǎn)選擇某河道控制網(wǎng)中8個(gè)同時(shí)具有國(guó)家2000坐標(biāo)和西安80坐標(biāo)的控制點(diǎn)，其中D1-D6前6個(gè)控制點(diǎn)沿河道分布情況如圖1所示，控制點(diǎn)坐標(biāo)經(jīng)加密處理后的坐標(biāo)值見(jiàn)表1。本文驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案如下：

圖1 控制點(diǎn)沿河道分布

(1)將D1-D6前6個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)用于經(jīng)典最小二乘法和整體最小二乘法對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解，使用最小二乘法對(duì)參數(shù)求解時(shí)，將國(guó)家2000坐標(biāo)系視為無(wú)誤差的觀測(cè)值。D7、D8后2個(gè)點(diǎn)用于檢驗(yàn)這兩種方法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

(2)整體最小二乘法轉(zhuǎn)換參數(shù)求解時(shí)，先把經(jīng)典最小二乘法解算出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)作為整體最小二乘法轉(zhuǎn)換參數(shù)的初值，再由式(8)計(jì)算整體最小二乘法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的改正數(shù)，然后根據(jù)式(9)對(duì)控制點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系中的坐標(biāo)初始值進(jìn)行改正，并用改正后坐標(biāo)值重新計(jì)算新的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)值，本方案對(duì)坐標(biāo)值改正一次即可。

(3)分別用以上2種方法解算出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)值，將D7、D8兩點(diǎn)坐標(biāo)值從原80西安坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至目標(biāo)2000國(guó)家坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)換出的坐標(biāo)值與表1中給出的理論坐標(biāo)值進(jìn)行精度對(duì)比，并計(jì)算出最大點(diǎn)位誤差。

表1 公共點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系中坐標(biāo)值

4.2 轉(zhuǎn)換參數(shù)解算及精度分析

根據(jù)該河道已有觀測(cè)資料可知，D1-D6控制點(diǎn)位于同一個(gè)GPS控制網(wǎng)中，控制點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值均使用TOPCON HiperII G型號(hào)儀器進(jìn)行了同精度獨(dú)立觀測(cè)，并采用Trimble Business Center軟件進(jìn)行了基線解算和平差計(jì)算。因此，各控制點(diǎn)坐標(biāo)值在精度上的權(quán)重相等，權(quán)陣可視為單位陣。為方便坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)換求解，本文利用MATLAB軟件對(duì)參數(shù)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了編程[20]，則由前6個(gè)公共點(diǎn)分別用最小二乘法和整體最小二乘法解算出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果如表2所示。

根據(jù)表(2)解算出的兩組坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)值，按式(1)4參數(shù)模型依次將D7、D8兩點(diǎn)坐標(biāo)從84西安坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至2000國(guó)家坐標(biāo)系(以下簡(jiǎn)稱“轉(zhuǎn)換值”)，表3和表4分別為這2種方法的轉(zhuǎn)換成果。與表1中D7、D8兩點(diǎn)的理論坐標(biāo)值相比，使用經(jīng)典最小二乘法解算出的轉(zhuǎn)換值和理論坐標(biāo)值的最大較差為0.015 m，最大點(diǎn)位誤差為0.017 m，而使用整體最小二乘法解算出的轉(zhuǎn)換值和理論坐標(biāo)值的最大較差僅為0.003 m，最大點(diǎn)位誤差為0.003 m，結(jié)果驗(yàn)證了使用整體最小二乘法計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換出的坐標(biāo)值更接近理論坐標(biāo)值，點(diǎn)位誤差相對(duì)更小，表明該方法與經(jīng)典最小二乘法相比，具有更高的精度。綜上可得，如果公共點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系中坐標(biāo)值均存在觀測(cè)誤差情況下，使用整體最小二乘法計(jì)算出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，更接近真值，具有更強(qiáng)的抗誤差干擾能力，可適用于對(duì)測(cè)量精度要求更高的河道測(cè)量工作中。

表3 用經(jīng)典最小二乘法計(jì)算檢核點(diǎn)坐標(biāo)

表4 用整體最小二乘法計(jì)算檢核點(diǎn)坐標(biāo)

5 結(jié)語(yǔ)

本文將整體最小二乘法應(yīng)用到平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問(wèn)題研究上，并結(jié)合工程實(shí)例，與經(jīng)典最小二乘法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度進(jìn)行了對(duì)比。通過(guò)分析表明，整體最小二乘法能夠更好地解決平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)坐標(biāo)在原坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系均含有誤差的弊端，完成平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的精確解算，從而實(shí)現(xiàn)高精度的平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。在實(shí)際河道測(cè)量中，由于控制點(diǎn)離水面較近，臨河區(qū)域內(nèi)地質(zhì)較軟，埋設(shè)控制點(diǎn)標(biāo)石極易發(fā)生沉降或位移，導(dǎo)致控制點(diǎn)的坐標(biāo)值中不僅含有偶然誤差，也可能因位移量過(guò)大產(chǎn)生粗差，本文未充分考慮粗差對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的影響，有待于進(jìn)一步的研究和完善。