孔繁晶

摘 ?要：函數(shù)的概念是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)科各個學(xué)段的重要概念，高中學(xué)段的學(xué)習(xí)必然是前期學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展. 根據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和發(fā)展規(guī)律，遵循數(shù)學(xué)概念建立的邏輯性和層次性，逐級搭建適宜學(xué)生的“階”，進(jìn)而實現(xiàn)函數(shù)概念的再認(rèn)識.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的概念;學(xué)習(xí)進(jìn)階;概念的再認(rèn)識

托馬斯指出，函數(shù)的概念是近代數(shù)學(xué)思想之花. 函數(shù)的概念是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線，從數(shù)學(xué)啟蒙到初等數(shù)學(xué)再延伸至高等數(shù)學(xué)，從函數(shù)的一般性質(zhì)到常見函數(shù)研究再延伸至三角、數(shù)列等領(lǐng)域，縱深發(fā)散，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識體系中的重要一環(huán)，也是學(xué)習(xí)物理等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)和研究工具. 函數(shù)概念教學(xué)的優(yōu)化對幫助學(xué)生逐步完善數(shù)學(xué)概念、掌握常用的數(shù)學(xué)研究方法、形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維具有重要的代表性和示范性.

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論源于美國科學(xué)教育領(lǐng)域，適用于學(xué)生在較大的時間跨度內(nèi)對某一學(xué)習(xí)主題的認(rèn)識、理解和實踐，具有從簡單到復(fù)雜，從低水平到高水平的發(fā)展特征. 近年來，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論逐步進(jìn)入數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)領(lǐng)域.

鑒于“函數(shù)的概念”的內(nèi)容特點，教師可以基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階點，有序引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)，最終實現(xiàn)核心概念有層次地生成. 下面筆者以蘇教版教材為例，就此略談一二.

一、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教材與學(xué)情分析

1. 教材分析

函數(shù)的概念貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)科的各個學(xué)段，高中學(xué)段的學(xué)習(xí)必然是前期學(xué)習(xí)的延續(xù)，也必將成為下一學(xué)段學(xué)習(xí)的先導(dǎo). 因此，教師在進(jìn)行教材分析時，不可割裂知識體系的一貫性，單純考慮當(dāng)下學(xué)段，建議要做到“厘清來路，了解去處”，才能在宏觀處構(gòu)建函數(shù)的概念進(jìn)階體系，如表1所示.

由此可見，各學(xué)段教材對于函數(shù)概念的組織與安排是隨著學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的提升而提高的，且螺旋上升. 再重點分析、對比“動態(tài)變量研究階段”和“靜態(tài)對應(yīng)研究階段”，初中與高中階段函數(shù)的概念呈現(xiàn)特點對比如表2所示.

2. 學(xué)情分析

經(jīng)過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠運用運動的觀點認(rèn)識函數(shù)，并且通過對一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的研究建立了較為感性的認(rèn)識. 到了高中階段，學(xué)生又經(jīng)歷了集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步形成了集合觀點，熟悉了集合語言. 但“函數(shù)的概念”一課具有較高的抽象性，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平來看存在著一定的難度. 具體分析如下.

（1）為何要以集合與對應(yīng)的觀點重新定義函數(shù)？（學(xué)習(xí)的動因.）

（2）如何以集合語言描述實例中的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而抽象出函數(shù)概念，探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)？（學(xué)習(xí)的核心.）

（3）如何理解初、高中函數(shù)概念的關(guān)系，是完全不同的定義，還是概念的深化和拓展？（學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián).）

（4）能否運用函數(shù)的概念對以多種形式表達(dá)的對應(yīng)進(jìn)行判斷？（學(xué)習(xí)的應(yīng)用.）

以上結(jié)合教材和學(xué)情提出的關(guān)注點正是進(jìn)階設(shè)計的障礙點，教師只有清楚了學(xué)生所在的“階”，才能為學(xué)生構(gòu)建更合適的“階”.

二、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的過程設(shè)計

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的過程設(shè)計，應(yīng)該找準(zhǔn)進(jìn)階的起點，高度重視進(jìn)階序列的搭建，通過逐級完成和評測，達(dá)到進(jìn)階終點.

1. 復(fù)習(xí)舊知，回顧初中函數(shù)的概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點

問題1：在初中，我們是如何定義函數(shù)的？

師生共同回顧初中函數(shù)的定義：在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù).

問題2：我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？能舉些例子嗎？

【設(shè)計意圖】教師提出問題幫助學(xué)生回顧舊知，突出函數(shù)“變量說”的要點，即兩個變量、y隨x的變化而變化、每個x對應(yīng)唯一的y. 通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)的起點. 在這個過程中也可以看出經(jīng)過初中學(xué)習(xí)，學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)識仍停留在具體函數(shù)，并依賴于解析式刻畫變量關(guān)系，抽象水平較低.

問題3：思考y = 1，x ∈ R是函數(shù)嗎？函數(shù)關(guān)系是不是必須通過解析式來刻畫？

學(xué)生爭論不休，一時無法決斷. 教師亦不下結(jié)論，鼓勵學(xué)生帶著疑問開始本節(jié)課的探究.

【設(shè)計意圖】認(rèn)知沖突是學(xué)習(xí)的源動力. 學(xué)生認(rèn)為，在y = 1，x ∈ R中，y似乎不隨x的變化而變化，按照已知函數(shù)定義無法進(jìn)行準(zhǔn)確判斷. 可見初中函數(shù)概念存在著無法完成的任務(wù)，這就成為我們進(jìn)一步發(fā)展函數(shù)概念的原因和動力.“函數(shù)關(guān)系是不是必須通過解析式來刻畫？”這個問題則指向?qū)瘮?shù)本質(zhì)的思考——兩個變量到底是什么樣的關(guān)系？并為函數(shù)表示方法的學(xué)習(xí)進(jìn)行鋪墊.

2. 問題引導(dǎo)，逐級生成函數(shù)概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的路徑

（1）第一階——實例探究概念.

活動：閱讀三個實例.

實例1：人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù). 從中國統(tǒng)計年鑒中可以查得我國1979—2014年（年末）人口數(shù)據(jù)資料如表3所示，你能根據(jù)該表說出我國人口的變化情況嗎？

實例2：一物體從靜止開始下落，下落的距離y（單位：m）與下落時間x（單位：s）之間近似地滿足關(guān)系式[y=4.9x2，] 若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

實例3：圖1為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖.

【設(shè)計意圖】三個實例來源于生活及相關(guān)學(xué)科，易于引發(fā)學(xué)生的注意與興趣，同時對應(yīng)函數(shù)的三種表示方法，成為可以一以貫之的案例，有利于體系化的學(xué)習(xí).

學(xué)生逐個閱讀后，教師引導(dǎo)學(xué)生以整體眼光繼續(xù)分析.

問題4：上述三個實例中各有幾個變量？你能描述各個實例中變量之間的關(guān)系嗎？變量之間能構(gòu)成函數(shù)嗎？

【設(shè)計意圖】問題串引導(dǎo)學(xué)生對三個實例進(jìn)行整體思考. 預(yù)設(shè)學(xué)生會以最為熟悉的以解析式刻畫兩個變量關(guān)系的實例2入手，實例1和實例3雖然會費一些周折，但可以判斷三例均是函數(shù). 由此拓展了認(rèn)識：除了解析式，函數(shù)的變量關(guān)系也可以用表格、圖象來刻畫，并體會所謂的“對應(yīng)”.

問題5：我們學(xué)習(xí)了集合這種重要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言，能否用集合語言分別描述這三個實例？

學(xué)生沉默.

問題6：能否試著將這個問題進(jìn)行分解？① 用集合語言來描述這兩個變量;② 用集合語言來描述這兩個變量之間的關(guān)系.

【設(shè)計意圖】教師先拋出大問題，學(xué)生無法著手，此時引導(dǎo)學(xué)生以集合語言為基礎(chǔ)分解問題、探究結(jié)論. 如此設(shè)計是為了在注重知識傳授的同時，滲透思想方法的養(yǎng)成.

教師鼓勵學(xué)生先從三個實例中選取一個來研究，然后展示交流.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生建立探究問題的一般路徑：由簡入難，從特殊到一般.

大部分學(xué)生選擇實例1，師生共同探究如下.

首先，分別用集合A，B表示年份和對應(yīng)年份的人口數(shù)：

[A=1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014，]

[B=975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368.]

其次，用集合語言描述集合A中元素與集合B中元素的對應(yīng)關(guān)系，如圖2所示.

集合A中的每個年份在集合B中都有一個人口數(shù)與之對應(yīng).

少部分學(xué)生選擇實例2和實例3，研究流程與實例1類似，但在交流中發(fā)現(xiàn)：在實例3中，集合A（時間組成）中的元素7和23均對應(yīng)集合B（溫度組成）中的0，這與實例1有所差別. 說明對應(yīng)關(guān)系可能是一對一，也可能是多對一.

【設(shè)計意圖】充分相信學(xué)生是開展教學(xué)的基本要素. 適時引導(dǎo)后，學(xué)生運用集合語言分析三個實例，在其“跳一跳，夠得到”的范疇，發(fā)現(xiàn)一對一、多對一的差別，令人驚喜.

（2）第二階——抽象生成概念.

問題7：能用集合語言闡述上述三個實例的共同特點嗎？

預(yù)設(shè)回答：三個實例都涉及兩個集合，且集合A中的每個[x]在集合B中都有一個[y]與之對應(yīng).

問題8：有沒有補充？兩個什么樣的集合？“都有一個”是什么含義？

預(yù)設(shè)回答：是數(shù)構(gòu)成的集合，不能是空集，“都有一個”指的是“有且只有一個”.

師生共同總結(jié)，給出集合視角下的函數(shù)概念：給定兩個非空實數(shù)集合A，B，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系[f，]對于集合A中的每一個實數(shù)[x，] 在集合B中都有唯一的實數(shù)[y]和它對應(yīng)，那么就稱[f：] A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作[y=fx，x∈A.] 其中，[x]叫做自變量，集合A叫做函數(shù)的定義域. 我們將所有輸出值[y]組成的集合[yy=fx，x∈A]稱為函數(shù)的值域.

問題9：能否圈出函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞？

預(yù)設(shè)回答：兩個非空數(shù)集、每一個、唯一、對應(yīng).

回應(yīng)問題3，依據(jù)函數(shù)新定義可以判斷y = 1，x ∈ R的確是函數(shù)，且函數(shù)關(guān)系除了可以用解析式描述外，還可以通過列表、畫圖描述.

【設(shè)計意圖】函數(shù)概念的生成是這節(jié)課的核心，通過一系列的鋪墊引導(dǎo)，學(xué)生從三個實例中歸納共性，抽象概念已經(jīng)水到渠成，圈畫關(guān)鍵詞有利于學(xué)生抓住概念核心，突出函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng).

問題10：① 怎樣理解符號[y=fx ？]②[fx=x2，][x∈0，+∞]與[ft=t2，t∈0，+∞]表示的是同一個函數(shù)嗎？

師生共同探討，明確[fx]是一個整體，是對應(yīng)關(guān)系[f]對[x]的作用，形象理解為將[x]投入加工機(jī)器[f]生成產(chǎn)品[y，] 如圖3所示.

例如，[fx=x2-1，] 可以理解為將x投入加工機(jī)器[f，] 進(jìn)行“先平方，再減1”的運算，最終輸出結(jié)果[y.] 不同的機(jī)器[f]對放入的[x]進(jìn)行不同的加工處理，而對于同一機(jī)器[f，] 放入不同的[x]也會生成不同的[y.] 至此，問題10的第②問迎刃而解，并明確函數(shù)三要素的從屬關(guān)系.

【設(shè)計意圖】函數(shù)概念的生成、符號[fx]的引入凸顯了數(shù)學(xué)的抽象特征，既是重點，也是難點. 為了幫助學(xué)生深刻理解，借用機(jī)器加工的形象比喻，化抽象為形象，揭示函數(shù)的本質(zhì).

（3）第三階——借史深化概念.

師：同學(xué)們，回顧我們構(gòu)建函數(shù)概念的過程實在是漫長且不易. 而縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，函數(shù)概念則歷經(jīng)了300多年的變遷. 下面我們一起來了解一下函數(shù)的前世今生.

變量說：1718年，約翰·貝努利給出函數(shù)定義：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些常數(shù)以任何方式組成的量. 但僅僅局限于代數(shù)式. 1748年，歐拉首次提出用“解析式”定義函數(shù)：變量的函數(shù)是一個解析表達(dá)式，它是這個變量和一些常量以任何方式組成的所謂解析式，它是通過算數(shù)運算、三角運算及指數(shù)運算連接變量和常量的分子. 這里打破了代數(shù)式的局限. 1755年，歐拉再次定義函數(shù)：如果一些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù). 與現(xiàn)代定義很接近，破除了用解析式表達(dá)函數(shù)的局限性，畫在坐標(biāo)系上的曲線也叫做函數(shù).

對應(yīng)說：1823年，柯西給出定義：對于[x]的每一個值，如果[y]有完全確定的值與之對應(yīng)，則[y]叫[x]的函數(shù). 破除了用解析式表達(dá)函數(shù)的局限性，避免了“變化”，提出了“對應(yīng)”. 1837年，狄利克雷進(jìn)一步定義：對于在某一區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應(yīng)，那么y叫x的函數(shù). 這是公認(rèn)的函數(shù)經(jīng)典定義. 黎曼加強定義：若對于x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建立起這種對應(yīng)方式如何，都稱y叫x的函數(shù). 強調(diào)函數(shù)概念的本質(zhì)是“對應(yīng)”.

對應(yīng)說→關(guān)系說：19世紀(jì)末，康托創(chuàng)立集合論，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想. 一系列的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念都建立在集合論之上，函數(shù)的概念也不例外. 20世紀(jì)初，維布倫提出用“集合”和“對應(yīng)”給出函數(shù)定義，通過集合語言描述函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域之間的關(guān)系，且打破了“變量是數(shù)”的極限. 注意：變量可以是數(shù)，也可以是其他對象（點、線、面、體、向量等）.

教師引導(dǎo)學(xué)生簡單談一談閱讀感悟.

師：我們不難看出函數(shù)概念的形成和發(fā)展是不斷被挖掘、豐富、精確的過程. 在這個過程中，無數(shù)數(shù)學(xué)家付出了艱辛的勞動，彰顯了嚴(yán)謹(jǐn)、堅毅的數(shù)學(xué)精神. 追尋他們的足跡，我們對照自己的學(xué)習(xí)，終于明確：① 初、高中函數(shù)定義是遞進(jìn)的、發(fā)展的關(guān)系;② 用集合的視角進(jìn)一步定義函數(shù)是因為集合論是研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的普適語言;③ 至此，函數(shù)概念的發(fā)展仍未停歇，今日學(xué)習(xí)的定義也只是學(xué)習(xí)過程中的一個站點.

【設(shè)計意圖】M.克萊因認(rèn)為，歷史順序是教學(xué)的指南. 學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程與函數(shù)概念的歷史發(fā)展過程基本吻合，而函數(shù)發(fā)展史上的困惑也與學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑基本吻合. 因此，將概念發(fā)展的歷史融入課堂，可以幫助學(xué)生理解函數(shù)概念發(fā)展的必然性，并且在大歷史背景下提升對“集合”“對應(yīng)”的認(rèn)識，以突破本節(jié)課的難點，并滲透數(shù)學(xué)精神.

（4）第四階——練習(xí)鞏固概念.

練習(xí)：試判斷下列對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).

① 某小組此次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)如表4所示.

②[x→y，y2=x，x∈N，y∈R.]

③ 當(dāng)[x]為有理數(shù)時，[x→1;] 當(dāng)[x]為無理數(shù)時，[x→0.]

④ 如圖4.

練習(xí)①強化函數(shù)是兩個數(shù)集之間的對應(yīng). 可以補充追問，如何修改使其成為函數(shù)？學(xué)生指出將缺考記為0即可;練習(xí)②以解析式描述對應(yīng)關(guān)系，考查“任一對應(yīng)唯一”的判斷;練習(xí)③為經(jīng)典的狄利克雷函數(shù)，考查函數(shù)關(guān)鍵屬性的同時，引入分段函數(shù)的認(rèn)識;練習(xí)④中蘊含數(shù)形結(jié)合思想，確定y不是關(guān)于x的函數(shù). 學(xué)生提出換個角度考慮問題，x是關(guān)于y的函數(shù)也未嘗不可.

【設(shè)計意圖】練習(xí)題組擴(kuò)充了教材例題單純以解析式形式刻畫對應(yīng)關(guān)系的辨析，而融入表格、圖象的形式，旨在加強學(xué)生對函數(shù)對應(yīng)本質(zhì)的理解，并為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊. 正例與反例的辨析有利于學(xué)生鞏固對概念的理解，反例尤其有助于學(xué)生加深對函數(shù)概念的關(guān)鍵特征的認(rèn)識. 教師需充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，經(jīng)由熱烈的爭論與交流實現(xiàn)知識的內(nèi)化.

3. 總結(jié)梳理，深化升華函數(shù)概念——學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點

問題11：經(jīng)歷以上研究，你對于函數(shù)的概念有了哪些新的認(rèn)識和想法？

知識內(nèi)容層面：歸納抽象得出用集合語言刻畫的函數(shù)概念，深挖數(shù)學(xué)本質(zhì)，掌握關(guān)鍵屬性，運用符號語言，并了解函數(shù)概念的發(fā)展歷史.

思想方法層面：在生成概念的過程中，感受從具體到抽象、由已知探未知的研究方法，提升學(xué)生的抽象能力、數(shù)學(xué)語言能力等.

數(shù)學(xué)精神層面：通過概念探索和數(shù)學(xué)史回顧，體會數(shù)學(xué)家的堅韌、執(zhí)著，追求數(shù)學(xué)理性精神.

【設(shè)計意圖】教師鼓勵學(xué)生進(jìn)行全方位的梳理和思考，最終達(dá)到學(xué)習(xí)進(jìn)階的終點. 這里需要特別注意，設(shè)置開放性的總結(jié)和思考有助于學(xué)生整體審視學(xué)習(xí)過程，內(nèi)化、升華學(xué)習(xí)成果. 需要留給學(xué)生足夠的時間，不要讓其流于形式.

三、基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的評估與反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計運用了學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，根據(jù)學(xué)生的進(jìn)階起點，以初中函數(shù)的概念順應(yīng)高中函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象、從特性到共性，針對概念的生成設(shè)置層層遞進(jìn)的“階”，幫助學(xué)生逐級構(gòu)建并加深集合視角下函數(shù)概念的再認(rèn)識，同時使得學(xué)生探究問題的能力得到提升，實現(xiàn)從知識到思維的全面進(jìn)階. 整體過程如圖5所示.

在這個過程中，學(xué)生的主體地位得到了充分彰顯，教師的主導(dǎo)作用也得到了有效體現(xiàn). 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的教學(xué)嘗試有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地生根.

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