?北京市第二十中學(xué) 張程艷

1 問題背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出，“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)“不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能，更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和實(shí)踐，是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體”[1].在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的重要輔助手段，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了豐富的資源.借助信息技術(shù)可以“更形象直觀地顯示概念的本質(zhì)屬性和特征”，“揭示數(shù)學(xué)變化規(guī)律，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，猜想命題結(jié)論”，“探尋解決問題的途徑”等等[2].可以說，信息技術(shù)的引入改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生可以更主動(dòng)、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).因此，教師要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在落實(shí)“四基”“四能”的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

在眾多數(shù)學(xué)軟件中，GeoGebra作為集代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)表和概率統(tǒng)計(jì)等功能于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，以其開源免費(fèi)、功能強(qiáng)大、易于上手等優(yōu)越性成為眾多教師輔助教學(xué)的有力工具[3].應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，可以使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題“可視化”，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，使學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐，親身體驗(yàn)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.本研究以解析幾何中的定點(diǎn)問題作為切入點(diǎn)，學(xué)生通過操作GeoGebra軟件，在理解基本知識(shí)、掌握基本方法的基礎(chǔ)上，充分經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，積累自主探索研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)階發(fā)展.

2 案例分析

2.1教學(xué)內(nèi)容分析

在解析幾何單元中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容之一，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等都有較高要求，突出數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.其中，解析幾何中的定點(diǎn)問題使學(xué)生在化“動(dòng)”為“定”的過程中，體會(huì)“變”與“不變”的關(guān)聯(lián)、“幾何”與“代數(shù)”的完美融合，使學(xué)生在掌握基本解題策略的同時(shí)，挖掘問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律，發(fā)展從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題及解決問題的能力.

2.2 學(xué)情分析

從學(xué)生的知識(shí)層面來看，在解析幾何定點(diǎn)問題的第一課時(shí)中，學(xué)生通過對(duì)引例的分析，已經(jīng)基本掌握了定點(diǎn)問題的解決策略.本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上設(shè)置數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，深入研究引例背后所蘊(yùn)含的一般性規(guī)律.從學(xué)生的發(fā)展需求來看，學(xué)生更希望跳出解題的層面，探究問題的本質(zhì)，在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，自主提出問題，提升自身的實(shí)踐創(chuàng)新能力.從學(xué)生的認(rèn)知障礙來看，學(xué)生即使知道可以通過改變某一變量去研究定點(diǎn)位置的變化，也很難單純通過紙筆運(yùn)算發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化背后呈現(xiàn)的規(guī)律.

因此，基于以上教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的分析，本節(jié)課借助GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，大大降低探索過程的難度，使抽象的數(shù)學(xué)問題更加形象直觀，讓學(xué)生充分經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、探究、交流、反思的過程.

2.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)借助GeoGebra軟件自主探究定點(diǎn)問題，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，嘗試根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出新的數(shù)學(xué)問題，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.

(2)在實(shí)驗(yàn)操作的過程中，體會(huì)從特殊到一般研究問題的方法，積累進(jìn)行科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)；在自主探究、同伴互助的過程中，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力，提高實(shí)踐創(chuàng)新能力，提升團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).

2.4 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助GeoGebra揭示解析幾何定點(diǎn)問題背后蘊(yùn)含的一般性規(guī)律.

難點(diǎn)：能夠根據(jù)規(guī)律提出新的數(shù)學(xué)問題.

2.5 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)栴}初探，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn).

師：上節(jié)課同學(xué)們已經(jīng)嚴(yán)格證明了直線MN過定點(diǎn)D(1,0)，請(qǐng)大家思考，引例中哪些要素的改變會(huì)對(duì)定點(diǎn)D的位置產(chǎn)生影響呢？

學(xué)生思考片刻，提出猜想，認(rèn)為改變動(dòng)點(diǎn)P所在的直線，或者改變橢圓的特征量a和b，或者改變點(diǎn)A,B在橢圓上的位置都會(huì)對(duì)點(diǎn)D的位置產(chǎn)生影響.

師：請(qǐng)同學(xué)們成立實(shí)驗(yàn)小組，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，借助GeoGebra軟件，嘗試探索規(guī)律，并填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究之前先分析成因，大膽猜想，明確實(shí)驗(yàn)方案，為后續(xù)進(jìn)行自主探究做好合理規(guī)劃，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺.

環(huán)節(jié)二：實(shí)驗(yàn)探究，發(fā)現(xiàn)問題.

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生成立實(shí)驗(yàn)小組，分工協(xié)作，通過操作GeoGebra嘗試發(fā)現(xiàn)問題背后蘊(yùn)含的一般性規(guī)律，并作成果匯報(bào).

(1)動(dòng)點(diǎn)P所在的直線影響直線MN所過的定點(diǎn).

通過在水平方向上拖動(dòng)點(diǎn)P所在的直線(如圖1，圖2)，使直線與橢圓相離、相切、相交，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的位置隨著直線方程的改變而改變,但只要點(diǎn)P所在的直線方程確定，直線MN就恒過某一個(gè)定點(diǎn).學(xué)生進(jìn)一步探究點(diǎn)P所在直線方程x=t與定點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)關(guān)系，得出如下的數(shù)學(xué)結(jié)論：

圖1

圖2

(2)橢圓的特征量影響直線所過定點(diǎn).

①通過拖動(dòng)滑動(dòng)條改變短軸的長(zhǎng)度(如圖3，圖4)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線MN始終過定點(diǎn)D(1,0)，從而得到結(jié)論：橢圓的特征量b不影響直線MN所過的定點(diǎn).

圖3

圖4

②通過拖動(dòng)滑動(dòng)條改變長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度(如圖5，圖6)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線MN所過定點(diǎn)隨著特征量a的改變而改變，但只要將特征量a確定下來，直線MN就會(huì)經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn).學(xué)生進(jìn)一步探究特征量a與定點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過記錄數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)關(guān)系，得到如下結(jié)論：

圖5

圖6

綜合上述兩組實(shí)驗(yàn)，學(xué)生最終能夠提煉出下述數(shù)學(xué)結(jié)論：

(3)點(diǎn)A,B在橢圓上的位置影響直線所過定點(diǎn).

學(xué)生通過改變點(diǎn)A,B在橢圓上的位置，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A,B位置的改變會(huì)影響直線MN所過定點(diǎn)，然而暫時(shí)沒能得到類似上述“完美”的結(jié)論.不過這個(gè)探索過程對(duì)學(xué)生來說非常寶貴，學(xué)生在“試誤”的過程中，不斷修正自己的想法，有利于鍛煉數(shù)學(xué)思維，有利于形成積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度，可以初步感受自主學(xué)習(xí)和開展研究的一般方法，為形成終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣奠定基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)學(xué)生借助GeoGebra進(jìn)行“可視化”實(shí)驗(yàn)探究，讓靜態(tài)數(shù)學(xué)“活”起來，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.學(xué)生通過操作軟件觀察問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律，大膽猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)行合情推理，經(jīng)歷由特殊到一般發(fā)現(xiàn)問題的過程.整個(gè)探究活動(dòng)以自主思考和同伴互助的形式展開，既有獨(dú)立學(xué)習(xí)的過程，又有群體學(xué)習(xí)的過程，既培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí).本環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性、實(shí)踐性，學(xué)生在具體的情境中思考、探索，積累科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)三：發(fā)散思維，提出問題.

思考：根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，你能嘗試從其他角度提出新的解析幾何問題嗎？

在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生根據(jù)探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，小組合作探討，設(shè)計(jì)出了很多精彩的問題，現(xiàn)舉例如下：

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)探究得到結(jié)論“xDxP=a2”，自然地由定點(diǎn)問題生成定值問題.本環(huán)節(jié)旨在給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)，站在命題人的角度設(shè)計(jì)新的問題，培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.在提出問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié)，拓展提升.

小結(jié)：請(qǐng)談?wù)勗诒敬翁骄炕顒?dòng)中你的收獲有哪些？還有哪些困惑？

思考：(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鲈O(shè)計(jì)的問題中自主選擇1～2個(gè)進(jìn)行嚴(yán)格代數(shù)推理；

(2)如果將引例中點(diǎn)P所在的直線x=4換成y=4或者更一般的直線y=kx+b，借助GeoGebra，你能得到類似上述的結(jié)論嗎？請(qǐng)自主設(shè)計(jì)方案，完成實(shí)驗(yàn)探究；

(3)對(duì)于雙曲線、拋物線，你能得到類似的定點(diǎn)定值嗎？借助GeoGebra，自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，完成實(shí)驗(yàn)探究.

設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)本節(jié)課的實(shí)驗(yàn)過程，幫助學(xué)生積累研究數(shù)學(xué)問題的基本思路和方法，為后續(xù)自主探究奠定基礎(chǔ).

3 結(jié)束語

(1)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加生動(dòng)形象，使復(fù)雜問題“可視化”.例如，在函數(shù)專題利用GeoGebra探究三次函數(shù)的切線問題等；在立體幾何專題利用GeoGebra探究正方體的截面圖等；在解析幾何利用GeoGebra探究圓錐曲線中運(yùn)動(dòng)變化問題等；在概率統(tǒng)計(jì)專題利用GeoGebra進(jìn)行數(shù)據(jù)分析等.

(2)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，有助于活躍課堂氛圍，提高學(xué)生參與課堂的積極性，構(gòu)建以學(xué)生為主體的深度學(xué)習(xí)環(huán)境.學(xué)生可以經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，訓(xùn)練思維的深度和廣度，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和能力.同時(shí)，可以縮短學(xué)生自主探究的時(shí)間，降低探究難度，切實(shí)提高自主學(xué)習(xí)能力和效果.

(3)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，從教師的層面要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生合理使用信息技術(shù)，把握數(shù)學(xué)探究的自主度.如果教師給了學(xué)生探究的機(jī)會(huì)，卻采取高度控制的方式，學(xué)生將只能做一些低級(jí)思維的操作性活動(dòng)；而自主度適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)學(xué)生會(huì)更主動(dòng)地調(diào)動(dòng)頭腦中的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，建立知識(shí)間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)，涵育核心素養(yǎng)[4].