?上海市奉賢區(qū)景秀高級(jí)中學(xué) 沈 健

1 問題提出

數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，顯現(xiàn)出一個(gè)突出特點(diǎn)：數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展發(fā)生著越來越緊密的關(guān)聯(lián)．“數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)．?dāng)?shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言．?dāng)?shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．”[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中的這段表述從多個(gè)維度揭示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)與人類生活和社會(huì)發(fā)展的關(guān)系，也多樣化地展現(xiàn)出現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的價(jià)值和功能．

那么，如何圍繞生活命制試題，同時(shí)達(dá)到滲透數(shù)學(xué)文化提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)呢？各地試題又是如何考查的？本文中選取典型試題加以舉例，以期拋磚引玉．

2 實(shí)例剖析

2.1 以音樂為背景

例1(2020秋·濰坊期末)音樂，是人類精神通過無意識(shí)計(jì)算而獲得的愉悅享受.1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asinωx的簡(jiǎn)單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻率都是其中一個(gè)最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由圖1，2，3三個(gè)函數(shù)圖象組成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為f(t)=( ).

圖1

圖2

圖3

A．0.06sin 1 000πt+0.02sin 1 500πt+0.01sin 3 000πt

B．0.06sin 500πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

C．0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt

D．0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 500πt+0.01sin 3 000πt

結(jié)合題意知，函數(shù)f(t)=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.01sin 3 000πt.

故選:C．

點(diǎn)評(píng)：本例以音樂為背景，考查利用圖象求三角函數(shù)解析式的應(yīng)用問題.由圖1求出A，T，ω的值，寫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項(xiàng)得出函數(shù)f(t)的解析式．

本題考查學(xué)生閱讀理解與解決實(shí)際問題的能力以及數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，對(duì)立志學(xué)習(xí)音樂的學(xué)生的數(shù)學(xué)水平的提高大有幫助．

2.2 以美術(shù)為背景

圖4

A．cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

B．y=sinhxcoshx是偶函數(shù)

C．(coshx)′=sinhx

D．若△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)m=0

①

②

故選：ACD．

點(diǎn)評(píng)：本例以達(dá)·芬奇畫作為情境引出著名的“懸鏈線問題”，命題者以自定義函數(shù)的形式，考查新定義函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)、方程等基本思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)以及分析和解決問題的能力，對(duì)立志學(xué)習(xí)美術(shù)的學(xué)生的數(shù)學(xué)水平的提高大有幫助．

2.3 以體育運(yùn)動(dòng)為背景

圖5

A．18 B．24 C．36 D．48

圖6

故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本例從平常生活中某一自行車抽象出平面結(jié)構(gòu)示意圖，選取素材，考查數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，其中P點(diǎn)坐標(biāo)借助于三角函數(shù)值表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解，對(duì)立志學(xué)習(xí)體育的學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力水平提升大有好處．

2.4 以傳統(tǒng)文化為背景

例4(2021·遼寧模擬)中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．如圖7所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，其特點(diǎn)是圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)被平分，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一、和諧共存的特點(diǎn)．若函數(shù)y=f(x)的圖象能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則稱函數(shù)f(x)為這個(gè)圓的“和諧函數(shù)”．則下列命題中正確的有( ).

圖7

A．對(duì)于任意一個(gè)圓，其“和諧函數(shù)”至多有2個(gè)

C．正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“和諧函數(shù)”

D．函數(shù)f(x)=2x+1不是“和諧函數(shù)”

解析：因?yàn)檫^圓心的直線都可以將圓的面積及周長(zhǎng)同時(shí)平分，所以對(duì)于任意一個(gè)圓，其“和諧函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心處，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的和諧函數(shù)，故有無數(shù)個(gè)圓成立，故選項(xiàng)C正確；

將圓的圓心放在函數(shù)f(x)=2x+1的圖象上，則有無數(shù)個(gè)圓成立，故函數(shù)f(x)=2x+1是和諧函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及學(xué)生對(duì)新函數(shù)定義的理解能力．

從數(shù)學(xué)的角度看，太極圖是中心對(duì)稱圖形，數(shù)學(xué)愛好者一定對(duì)此圖形也偏愛頗多．本題就是由此編擬出的一道函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題，靚麗之處是在簡(jiǎn)潔基礎(chǔ)上與數(shù)學(xué)文化有機(jī)結(jié)合．

2.5 以數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系為背景

例5(2021·淮安模擬)某保鮮封閉裝置由儲(chǔ)物區(qū)與充氮區(qū)(內(nèi)層是儲(chǔ)物區(qū)用來放置新鮮易變質(zhì)物品，充氮區(qū)是儲(chǔ)物區(qū)外的全部空間，用來向儲(chǔ)物區(qū)輸送氮?dú)鈴亩鴮?shí)現(xiàn)保鮮功能)．如圖8所示，該裝置外層上部分是半徑為2的半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內(nèi)層是一個(gè)高度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)重合，為了保存更多物品，充氮區(qū)空間最小可以為( ).

圖8

設(shè)小圓錐的半徑為r，則

點(diǎn)評(píng)：本例以某保鮮封閉裝置為背景，考查了圓錐的體積公式和球的體積公式，考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．充分展示了數(shù)學(xué)問題來源于生活并與生活緊密結(jié)合，并且貼近學(xué)生的實(shí)際，這樣做有利于學(xué)生聯(lián)系實(shí)際分析與解決問題，對(duì)于穩(wěn)定學(xué)生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；探索了數(shù)學(xué)試題示意圖的形式，使得數(shù)學(xué)抽象問題形象化．?dāng)?shù)學(xué)與生活息息相關(guān)．生活中有數(shù)學(xué)，生活也離不開數(shù)學(xué)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“要重視從學(xué)生的生活實(shí)踐和已有的知識(shí)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)．”數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科(概念、原理、法則)，是比較抽象的．

3 結(jié)束語(yǔ)

基于新時(shí)代背景，基于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，我們要貫徹黨的教育方針，堅(jiān)持立德樹人，倡導(dǎo)“五育”并舉．