賀俊凱，徐東升，王明遠(yuǎn)，李明峰

(1.南京工業(yè)大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,南京 211800；2.江蘇省地質(zhì)礦產(chǎn)局第二地質(zhì)大隊(duì),江蘇 常州213022)

0 引言

不同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是基于兩種坐標(biāo)系下的公共控制點(diǎn)(以下簡(jiǎn)稱公共點(diǎn))，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)而實(shí)現(xiàn)的.影響坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的因素不僅包括轉(zhuǎn)換模型和控制點(diǎn)坐標(biāo)誤差，還包括公共點(diǎn)的空間分布等因素.關(guān)于轉(zhuǎn)換模型與控制點(diǎn)精度影響的研究已相對(duì)比較成熟，形成了較為完善的理論和方法[1-4].

近年來(lái)，關(guān)于公共點(diǎn)選取的研究取得了一定進(jìn)展.王玉成等[5]、焦立芬[6]等研究發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)增加公共點(diǎn)個(gè)數(shù)能有效地提高轉(zhuǎn)換精度；公共點(diǎn)分布越均勻，所得轉(zhuǎn)換精度越穩(wěn)定.周躍寅等[7]研究了公共點(diǎn)圖形外圍和內(nèi)部點(diǎn)位精度與公共點(diǎn)空間分布的關(guān)系.但控制點(diǎn)分布的均勻性尚缺乏數(shù)學(xué)描述，影響了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的精度和效率.因此，分析公共點(diǎn)空間分布對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型精度的影響，構(gòu)建顧及控制點(diǎn)空間分布的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，對(duì)當(dāng)前廣泛推行的原有坐標(biāo)系向CGCS2000 的轉(zhuǎn)換具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

本文根據(jù)獨(dú)占圓[8]思想提出控制點(diǎn)均勻度(UCP)，利用平均最鄰近距離表征控制點(diǎn)密度，分析控制點(diǎn)空間分布對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型精度的影響，構(gòu)建公共點(diǎn)空間分布約束下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證模型的有效性.

1 控制點(diǎn)空間分布

1.1 控制點(diǎn)均勻度

表征點(diǎn)集空間分布均勻程度的指標(biāo)有多種，主要分為基于密度的方法與基于最鄰近點(diǎn)間距離的方法.已有研究表明，基于密度的方法并不能有效地表征點(diǎn)的離散程度[9].本文將基于獨(dú)占圓思想，提出UCP 概念并建立表達(dá)模型.

在n個(gè)控制點(diǎn)組成的集合中，以某控制點(diǎn)為圓心，以其到最臨近控制點(diǎn)歐氏距離的一半為半徑所畫的圓為該控制點(diǎn)的獨(dú)占圓.平面內(nèi)各獨(dú)占圓皆不重疊，最近的空間關(guān)系是相切.

如圖1 所示，d12是點(diǎn)1、點(diǎn)2 間的歐氏距離；D1為點(diǎn)1 至所有點(diǎn)的距離中最小值，稱為點(diǎn)1 的最鄰近距離；r1為D1的一半，定義為點(diǎn)1 獨(dú)占圓的半徑r1.兩點(diǎn)間歐氏距離dij與最鄰近距離Di的計(jì)算公式如式(1)～(2)所示：

圖1 獨(dú)占圓示意圖

式中：xi、yi為i點(diǎn)的坐標(biāo)；xj、yj為j點(diǎn)的坐標(biāo).

對(duì)各獨(dú)占圓位于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)的面積求和，該面積和可以在一定程度上表示控制點(diǎn)均勻程度；面積和越大，控制點(diǎn)集越均勻.設(shè)區(qū)域內(nèi)面積和為a，其計(jì)算公式為

式中：ai為第i個(gè)獨(dú)占圓在轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)的有效面積；si為其超出區(qū)域的面積；ri為其獨(dú)占圓半徑.

顯然，a相同并不代表其均勻程度一致.結(jié)合圖1可以推斷，在a一定的情況下，各獨(dú)占圓面積越相近，控制點(diǎn)分布越均勻.設(shè)為與面積ai對(duì)應(yīng)的有效獨(dú)占圓半徑，則有

在控制點(diǎn)均勻度表達(dá)中應(yīng)考慮獨(dú)占圓面積大小的離散程度，其程度可以用有效獨(dú)占圓半徑中誤差σr表示

為了使獨(dú)占圓面積和能更加準(zhǔn)確地表示均勻程度，通過離散程度對(duì)面積和a賦以權(quán)重.設(shè)權(quán)為pr，經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知，pr取值范圍為2/3～1 時(shí)，均勻度與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度擬合效果最佳，因此有

式中，A為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換區(qū)域面積.pr越接近1，說明各獨(dú)占圓的面積越相近，均勻度越高.

控制點(diǎn)等間距行列排布時(shí)控制點(diǎn)分布最均勻.為了更好地表述控制點(diǎn)均勻度，顧及獨(dú)占圓間的間隙，控制點(diǎn)均勻度L計(jì)算公式為

L的大小直觀反映了控制點(diǎn)的均勻分布程度.控制點(diǎn)分布越均勻，各獨(dú)占圓的面積越相近，則獨(dú)占圓面積總和a越大，L越趨近于1.即有

1.2 控制點(diǎn)密度

控制點(diǎn)密度描述轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)控制點(diǎn)的疏密程度，即坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)研究區(qū)范圍不變，其密度指標(biāo)是指控制點(diǎn)的個(gè)數(shù).坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)大于轉(zhuǎn)換模型要求的最低個(gè)數(shù)，同時(shí)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算量有關(guān).已有研究表明，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換區(qū)域內(nèi)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)存在最佳值[6].

在控制點(diǎn)均勻度相近的情況下，控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)直接影響控制點(diǎn)間平均最臨近距離，距離越大則控制點(diǎn)集分布越稀疏，反之控制點(diǎn)集分布越密集.因此，控制點(diǎn)間平均最鄰近距離dmin可以同等反映控制點(diǎn)分布的疏密程度，同樣存在最優(yōu)值.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換區(qū)域大小不同，公共點(diǎn)最優(yōu)個(gè)數(shù)也不同.設(shè)該種地形下某等級(jí)控制點(diǎn)的最優(yōu)平均最鄰近距離為，則最佳公共點(diǎn)個(gè)數(shù)t可根據(jù)下式計(jì)算：

2 控制點(diǎn)均勻度與密度約束下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

基于上述分析，構(gòu)建UCP 與密度約束下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，探討地方坐標(biāo)系到CGCS2000 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換流程.常用的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型有布爾莎模型、莫洛金斯基模型、二維四參數(shù)模型等模型.在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，布爾莎模型應(yīng)用最廣泛，其通過對(duì)坐標(biāo)系的平移、縮放與旋轉(zhuǎn)完成不同基準(zhǔn)下的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.因此，本文基于布爾莎模型展開討論，該模型共有7 個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要3 個(gè)公共已知點(diǎn)，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為

式中：X1、Y1、Z1為原坐標(biāo)系下坐標(biāo)；X2、Y2、Z2為待轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系下坐標(biāo)；TX、TY、TZ為平移參數(shù)；εX、εY、εZ為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；k為尺度參數(shù).

顧及高程異常值精度較低對(duì)大地高的影響，結(jié)合王解先等[10]研究得出大地高誤差對(duì)轉(zhuǎn)換得到的平面坐標(biāo)影響很小的結(jié)論，本模型在轉(zhuǎn)換后將坐標(biāo)投影到平面，并評(píng)定轉(zhuǎn)換精度.

控制點(diǎn)密度和均勻度從兩個(gè)角度反映了控制點(diǎn)的空間分布特征，兩者間存在一定聯(lián)系.t較小時(shí)，隨機(jī)選取的不同組公共點(diǎn)間L差異較大；隨著t值增加，L離散程度有所下降.實(shí)際轉(zhuǎn)換中，應(yīng)首先根據(jù)式(9)確定公共點(diǎn)個(gè)數(shù)t，再尋找L能符合條件的公共點(diǎn)組合，因此兩者并不會(huì)相互影響.

模型從平面內(nèi)外符合精度來(lái)評(píng)估坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度.內(nèi)符合精度 σin由公共點(diǎn)平差的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差評(píng)定.外符合精度σout由檢核點(diǎn)轉(zhuǎn)換前后坐標(biāo)殘差的均方根值表示，其計(jì)算方法如式(11)所示：

式中：Δxi、Δyi為檢驗(yàn)點(diǎn)轉(zhuǎn)換前后x、y方向上的坐標(biāo)差；n為檢驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù).

基于上述討論，建立顧及控制點(diǎn)空間分布約束的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，轉(zhuǎn)換流程如圖2 所示.

圖2 均勻度與密度約束下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換流程

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換具體步驟如下：

2)隨機(jī)選取t個(gè)控制點(diǎn)為公共點(diǎn)，計(jì)算均勻度L.設(shè)閾值為L(zhǎng)0，若L＞L0，則使用其計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)；否則繼續(xù)隨機(jī)選取公共點(diǎn).若循環(huán)次數(shù)m高于限定值，則會(huì)選取其中L最大的一組公共點(diǎn).

3)將公共點(diǎn)平面坐標(biāo)經(jīng)高斯反算得到大地坐標(biāo)，再將大地坐標(biāo)(B，L，H)換算為空間直角坐標(biāo).

4)使用布爾莎模型計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)，將檢驗(yàn)點(diǎn)轉(zhuǎn)換至目標(biāo)坐標(biāo)系下.

5)將檢驗(yàn)點(diǎn)轉(zhuǎn)換后空間直角坐標(biāo)投影至平面，并依據(jù)式(11)評(píng)定精度.

3 算例分析

某區(qū)域面積5 079.2 km2，整體地形較為平坦，共有GPS 控制網(wǎng)成果點(diǎn)235 個(gè)，包括D 級(jí)點(diǎn)81 個(gè)與E級(jí)點(diǎn)154 個(gè).以該區(qū)域地方坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至CGCS2000坐標(biāo)為例，分析空間分布對(duì)轉(zhuǎn)換精度的影響，求解該區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型并驗(yàn)證其有效性.

3.1 控制點(diǎn)密度對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響

為便于求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)與分析討論，首先選取3 個(gè)控制點(diǎn)作為公共點(diǎn)，并逐漸增加至15 個(gè).對(duì)于不同的t值，隨機(jī)選取若干組 0.4＜L＜0.5 的D 級(jí)控制點(diǎn)集計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)，使用均勻分布的E 級(jí)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，記錄各組內(nèi)外符合精度的精度平均值.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示.

表1 控制點(diǎn)密度與轉(zhuǎn)換精度關(guān)系

由表1 可以得出以下結(jié)論：

1)隨著t值增加，基本上呈不斷增大趨勢(shì)，內(nèi)符合精度降低；

2)t=3 時(shí)，控制點(diǎn)組合dmin值過大，最大，＞3mm 的公共點(diǎn)集所占比例最高，此時(shí)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度最低；

4)t＞7時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度提升減緩；當(dāng)t=11 時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度最高，即該地形下D 級(jí)公共點(diǎn)值為24 km；當(dāng)t＞13 時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度反而降低.

3.2 公共點(diǎn)均勻性對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響

基于3.1 節(jié)中的結(jié)論，公共點(diǎn)數(shù)t取11.從D 級(jí)點(diǎn)中隨機(jī)選取11 個(gè)作為公共點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)控制點(diǎn)均勻度L和外符合精度 σout.為充分反映規(guī)律，進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行冪函數(shù)擬合.以上述方法計(jì)算得到的L和σout的關(guān)系，如圖3 所示，圖中每個(gè)點(diǎn)表示每組轉(zhuǎn)換的 σout.

圖3 L 對(duì)σout 的影響擬合曲線

由圖3 可知：

1)L較低時(shí)的公共點(diǎn)計(jì)算得到的 σout離散且基本偏大；

2)隨著L的提高，σout逐漸向2 mm 以下集中，且不再出現(xiàn)較大誤差；

3)隨L的提高，σout降幅越來(lái)越??；在L超過0.40 后，擬合曲線趨于平緩，L增加對(duì)精度的影響作用有限.

因此，在實(shí)際應(yīng)用中選取L大于0.40 的組合，可有效保證坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度.

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過研究控制點(diǎn)均勻度與密度對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度的影響，構(gòu)建了顧及控制點(diǎn)空間分布的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，解決了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)選取缺乏標(biāo)準(zhǔn)的問題.具體結(jié)論如下：

1)公共點(diǎn)選取應(yīng)兼顧轉(zhuǎn)換區(qū)域控制點(diǎn)的均勻度與密度，先確定公共點(diǎn)密度，再?zèng)Q定均勻度；顧及控制點(diǎn)空間分布的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可有效提高轉(zhuǎn)換精度；

2)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度隨公共點(diǎn)均勻度增加呈提高趨勢(shì)，L達(dá)到0.4 后可滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度要求；

3)公共點(diǎn)密度對(duì)應(yīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度具有最佳值；以平坦地區(qū)D 級(jí)控制點(diǎn)作為公共點(diǎn)時(shí)，dmin取24 km所得轉(zhuǎn)換精度最高.

本文只考慮了均勻度與密度指標(biāo)，地形起伏較大區(qū)域內(nèi)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度可能與所選公共點(diǎn)的豎直方向分布有關(guān)，后續(xù)研究中應(yīng)考慮控制點(diǎn)高程的影響.