時統(tǒng)業(yè)
(海軍指揮學(xué)院,江蘇 南京 211800)
設(shè)f是[a,b]上的凸函數(shù),則
(1)
式(1)稱為Hermite-Hadamard不等式[1-4]。
定義1設(shè)f是定義在[a,b]上的函數(shù),如果存在常數(shù)M,使得對于任意x1,x2∈[a,b],有|f(x1)-f(x2)|≤M|x1-x2|,則稱f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)。
f(pa+(1-p)b)≤C(p)≤pf(a)+(1-p)f(b),
(2)
其中f是[a,b]上的凸函數(shù),p∈(0,1),
文獻(xiàn)[8]引入了包括C(p)在內(nèi)的3個加細(xì)式(2)的函數(shù),在f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時,給出了有關(guān)C(p)的不等式。
文獻(xiàn)[9]考慮了定義在[0,1]上的函數(shù)
文獻(xiàn)[11]引進(jìn)了另一個與Hermite-Hadamard不等式相關(guān)的函數(shù),
其中p,q∈(0,1),p+q=1,且ξ=pa+qb。
(3)
由式(3)生成兩個差值
定理1設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),0≤t1 (4) 其中 先考慮0 再考慮t1=0,t2∈(0,1]情形。 綜上所述,對任意0≤t1 (5) (6) 先考慮0 再考慮t1=0,t2∈(0,1]的情形。 綜上所述,對任意0≤t1 (7) (8) 將式(6)和式(8)分別乘以p和q,然后將所得不等式相加,則式(4)從右邊數(shù)起第二個不等式得證。利用函數(shù)x2的凸性,式(4)右邊第一個不等式得證。 推論1設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),0≤t1 推論2設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則有 定理2設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1]有 (9) 其中 (10) 推論3設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1]有 其中 定理3設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1]有 (11) 其中 (12) 當(dāng)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時,(-f)也是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),對(-f)使用已證明的結(jié)果則得 故式(11)得證。 定理4設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1]有 (13) 其中 證明當(dāng)ε∈[0,q(b-a)]時,有 當(dāng)ε∈[-q(b-a),0]時,有 綜上所述,對任意ε∈[-q(b-a),q(b-a)]時,有 (14) 當(dāng)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù)時,(-f)也是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),對(-f)使用已證明的結(jié)果得 故式(13)得證。 定理5設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1]有 (15) 其中 q[t(f(ξ)-f(b))+f(tb+(1-t)ξ)-f(ξ)]}。 證明當(dāng)ε∈[0,q(b-a)]時,有 (16) 推論4設(shè)f是定義在[a,b]上的M-Lipschitz函數(shù),則對于任意t∈(0,1],有 (17)