朱亞麗

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453002)

0 引言

1986年，SHULMAN提出了學(xué)科教學(xué)知識(Pedagogical Content Knowledge，PCK)[1]。隨后，BALL D L等研究者將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，提出“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”(Mathematical Knowledge for Teaching，MKT)，并將內(nèi)容與學(xué)生知識(Knowledge of Content and Students, KCS)作為PCK的一個下位概念提出[2]。KCS是數(shù)學(xué)教師關(guān)于學(xué)生如何學(xué)習(xí)具體內(nèi)容的知識，是內(nèi)容知識與學(xué)生知識的有機結(jié)合[3]。教師在教學(xué)過程中不僅要了解學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)和接受能力，還要了解學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平。

問題提出是提問者基于特定的問題情境形成并表達(dá)問題的認(rèn)知過程[4]。問題提出的背后是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的反映；問題提出不僅可以評估學(xué)生的思維，還是一種有效的教學(xué)策略。教師獲得的關(guān)于學(xué)生知道什么以及如何思考問題的信息越多，他們?yōu)閷W(xué)生創(chuàng)造的學(xué)習(xí)機會就越多[5]。通過問題提出可以很好地發(fā)展教師的KCS，學(xué)生提出問題的過程是學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，通過對問題情境的理解建構(gòu)良好數(shù)學(xué)問題的過程。

從問題提出的視角看，KCS是指教師和學(xué)生在面對同一問題情境時，教師能否準(zhǔn)確地預(yù)測學(xué)生所提問題，對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)、接受能力和數(shù)學(xué)思維準(zhǔn)確把握的能力。

1 理論框架

以學(xué)生的實際表現(xiàn)為基準(zhǔn)，從教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)、接受能力、數(shù)學(xué)思維的了解程度等三方面探討職前教師和在職教師在KCS方面的差異。表1展示了比較框架及各指標(biāo)的比較方式。

表1 職前教師和在職教師KCS比較框架及各指標(biāo)的計算方式Tab.1 Comparison framework of KCS between pre-service and in-service teachers and calculation method of each indicator

首先，對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的了解，是教師預(yù)測學(xué)生提出的問題和學(xué)生自己提出問題之間的相似性和匹配性。其次，對學(xué)生接受能力的了解，包括教師預(yù)測學(xué)生提出的問題類型與學(xué)生自己提出的問題類型難易度和復(fù)雜性的認(rèn)知程度。數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性不是一個單一的概念，而是復(fù)雜的綜合體[6]。因此又將復(fù)雜性分為語義復(fù)雜性和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性。語義復(fù)雜性的編碼參考周若虹等人關(guān)于問題復(fù)雜程度的分類標(biāo)準(zhǔn)[7],分為重述、組合、比較、改變和更換5種語義類型。除其他問題之外，所有問題都可以根據(jù)語義復(fù)雜性或解決問題所需的關(guān)系數(shù)量進(jìn)行分類，且問題的語義種類的范圍在1到5之間。結(jié)構(gòu)復(fù)雜性包含兩個指標(biāo)：開始未明和結(jié)果未明。開始未明是表述問題時，未知量并不在問題的結(jié)尾，如“在第幾次鈴聲響起時有175個客人進(jìn)入會場”。結(jié)尾未明是將未知量放在問題的結(jié)尾陳述，如“第(10)幅圖形有多少個黑點”。再次，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的了解，從數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性三方面綜合評價職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的了解程度[8]。問題類型分為擴展性問題、非擴展性問題和其他問題，擴展性問題是指那些超越任務(wù)情境中所給定的初始圖形或數(shù)量而提出的數(shù)學(xué)問題；非擴展性問題則局限于給定的任務(wù)情境，并沒有跳出先前給定的圖形或數(shù)量；無效問題指的是非數(shù)學(xué)問題、無解問題、表述不清的問題以及與題目毫不相干的無意義問題。獨創(chuàng)性是指學(xué)生提出的某類問題在總問題中的占比不超過10%。

2 研究設(shè)計與方法

2.1 研究工具

測試卷分為三類：學(xué)生、職前教師、在職教師。測試題是由圓點情境和門鈴情境等兩個開放的問題情境組成的測試卷。兩個情境均選自蔡金法等人有關(guān)數(shù)學(xué)問題提出的研究，具有良好的信效度。在測試卷中，要求學(xué)生根據(jù)給定的情境信息提出三個難度層次不同的數(shù)學(xué)問題：簡單問題、中等難度問題、較難問題；在不知道學(xué)生提問結(jié)果的前提下，要求職前教師和在職教師根據(jù)自己對學(xué)生的了解，基于給定的任務(wù)情境預(yù)測學(xué)生在不同難度層次上會提出哪些數(shù)學(xué)問題。

2.2 研究被試

被試包含學(xué)生、職前教師和在職教師三個層次。學(xué)生被試和在職教師是河南省新鄉(xiāng)市372名六至八年級學(xué)生及對應(yīng)班級的數(shù)學(xué)教師，涉及該市三所公辦學(xué)校；被試所在的學(xué)校不論是教育質(zhì)量，還是教育資源都處于當(dāng)?shù)刂械绕纤健Ｂ毲敖處煴辉囀呛幽鲜∧硯煼对盒５拇笕龑W(xué)生，其中52名是該校教育學(xué)院初等教育專業(yè)的師范生，122名是數(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的師范生。三個層次最終收回的有效測試樣本分布情況如表2所示。

表2 研究被試分布情況/人

2.3 數(shù)據(jù)編碼

數(shù)據(jù)編碼主要從問題類型和問題復(fù)雜性兩方面分析被試提出的問題。先將被試所提的問題分為擴展性問題、非擴展性問題、其他問題；再根據(jù)問題的性質(zhì)對每個擴展性或非擴展性問題進(jìn)一步分類，見表3?；谏鲜鼍幋a體系，對所有被試提出的問題進(jìn)行單獨的編碼分析，并將編碼結(jié)果錄入Excel軟件。為了確保數(shù)據(jù)編碼的可靠性，從各年級中隨機抽取20%學(xué)生樣本，30%職前教師樣本，由兩名評分者對他們所提的問題進(jìn)行獨立編碼，由三名研究者對所有在職教師預(yù)測的問題進(jìn)行獨立編碼。在學(xué)生和職前教師中，評分者之間的一致性均達(dá)到90%；對在職教師的編碼一致性均在95%以上。

表3 圓點情境問題類型編碼表Tab.3 Dot situation problem type coding table

3 研究結(jié)果分析

3.1 職前教師測試結(jié)果分析與討論

1)在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)上，職前教師認(rèn)為具體的數(shù)值計算和代數(shù)式的應(yīng)用占據(jù)主導(dǎo)地位。

無論是圓點情境還是門鈴情境，職前教師預(yù)測最多的問題是單個圖形的點數(shù)(類型4)、多個圖形的點數(shù)(類型5)和代數(shù)式表示規(guī)律(類型10)，見圖1、圖2。表明職前教師認(rèn)為具體的數(shù)值計算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中占有很重要的地位，并且在三個年級中，職前教師預(yù)測的問題沒有表現(xiàn)出明顯的差異。此外，很少有職前教師預(yù)測反向提問(類型5～7)和創(chuàng)設(shè)新情境類(類型11添加條件)的問題，這說明職前教師認(rèn)為學(xué)生在逆向思維和創(chuàng)造性思維上的表現(xiàn)相對較弱。

圖1 圓點情境預(yù)測的問題類型分布Fig.1 Problem type distribution of dot

圖2 門鈴情境預(yù)測的問題類型分布Fig.2 Problem type distribution dot of doorbell

總之，雖然職前教師對學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)也有一定的了解，但在職教師對學(xué)生的了解更接近于學(xué)生的實際情況；在職前教師中，與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的掌握稍遜色一些，七年級、八年級之間沒有顯著差異；在三個年級中，在職教師對學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)的了解程度從高低的排序為：八年級>六年級>七年級。

2)在學(xué)生接受能力的了解方面，職前教師傾向于在簡單問題中預(yù)測非擴展性問題和具體數(shù)值計算類問題，在較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題和包含多種語義類型的問題。

首先，職前教師傾向于在簡單問題中預(yù)測非擴展性問題和具體數(shù)值計算類問題，在較難問題中提出規(guī)律性問題。

從圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，無論在哪種難度層次上非擴展性問題都不是職前教師的首要選擇，且該類問題所占的比重隨著問題難度的增加呈急劇下滑的趨勢，尤其是在較難問題中沒有職前教師預(yù)測非擴展性問題?？傮w而言，職前教師預(yù)測的問題絕大部分屬于擴展性問題，非擴展性問題的占比隨問題難度的遞增呈現(xiàn)極速下滑的趨勢。

圖3 圓點情境各問題類型的難易度分布Fig.3 Difficulty distribution of dot problem types

圖4 門鈴情境各問題類型的難易度分布Fig.4 Difficulty distribution of doorbell problem types

在圓點問題中，類型9在三個難易中占比較大，同時在門鈴問題中，類型5較多，說明了職前教師偏向于將揭示情境的本質(zhì)規(guī)律作為問題難度的評判標(biāo)準(zhǔn)。不管面對的學(xué)生處于哪個年級，職前教師都是在簡單問題中預(yù)測具體的數(shù)值類問題，即計算某幅圖形或某次鈴響情況，在中等難度或較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題。

其次，職前教師傾向于在較難問題中預(yù)測包含多種語義類型的問題。

表4和表5分別是職前教師在圓點情境、門鈴情境中預(yù)測的包含多種語義的問題分別在不同難度層次的占比分布(P1、P2、P3分別表示簡單問題、中等難度問題、較難問題)。觀察表4、表5可知，不管是在哪種難度層次上，職前教師傾向于預(yù)測只含有一種語義類型的問題。盡管如此，涉及一種語義類型的問題的比重在逐漸降低，包含兩種語義類型的問題的數(shù)量隨難度的增加而增加。也就是說，職前教師認(rèn)為學(xué)生會根據(jù)問題語義的多少判斷問題的難易度。職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上的表現(xiàn)并不理想，很少有職前教師預(yù)測“起始未明”型問題。事實上，職前教師在表述問題時通常是將未知量放在問題的結(jié)尾陳述，即使是基于逆向思維提出的問題，他們也會將未知量放在問題的最后。

表4 圓點情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%

表5 門鈴情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%Tab.5 Proportion of doorbell situation questions with multiple semantics in different difficulty levels/%

3)職前教師認(rèn)為，高年級學(xué)生思維深刻性的表現(xiàn)明顯好于低年級學(xué)生，低年級學(xué)生在思維靈活性和思維獨創(chuàng)性上的表現(xiàn)略優(yōu)于高年級學(xué)生。

從表中數(shù)據(jù)綜合分析，隨著年級的升高，更多的學(xué)生能夠提出規(guī)律性問題，這表明高年級學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)思維的深刻性。絕大部分職前教師預(yù)測了規(guī)律性問題，這表明職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性較好。

此外，絕大部分職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生至少能從兩種不同的角度出發(fā)提出不同類型的問題，一種是簡單地模仿原有情境提問；另一種是通過提煉情境信息提問。低年級學(xué)生提出問題的類型多集中于三種類型，而高年級的學(xué)生則集中于兩種類型，與其對應(yīng)的職前教師的預(yù)測結(jié)果是一致的。

最后，不難看出，職前教師認(rèn)為低年級學(xué)生思維的獨創(chuàng)性相對較好，高年級學(xué)生思維的獨創(chuàng)性有待提高。

3.2 在職教師測試結(jié)果分析與討論

1)在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)上，在職教師認(rèn)為具體的數(shù)值計算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)中占據(jù)絕對優(yōu)勢。

觀察圖5和圖6可知，無論是圓點情境還是門鈴情境，在職教師預(yù)測最多的問題無非以下兩種：某幅圖形或某次鈴響情況以及給定模式的變化規(guī)律，表明在職教師認(rèn)為具體的數(shù)值計算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中占有極其重要的地位，并且在三個年級中，在職教師預(yù)測的表現(xiàn)沒有顯著性差異。

圖5 圓點情境預(yù)測的問題類型分布 Fig.5 Problem type distribution of dot

圖6 門鈴情境預(yù)測的問題類型分布Fig.6 Problem type distribution dot of doorbell

2)在學(xué)生接受能力的了解方面，在職教師傾向于在簡單問題中預(yù)測具體數(shù)值計算類問題，在較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題和包含多種語義類型的問題。

首先，在職教師傾向于在簡單問題中預(yù)測具體數(shù)值計算類問題，在較難問題中提出規(guī)律性問題。觀察圖7和圖8可知，無論在哪個難度層次上，在職教師預(yù)測的問題絕大部分屬于擴展性問題。也就是說，在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在提問的過程中不會過多地關(guān)注現(xiàn)有情境內(nèi)部之間的關(guān)系?？傮w而言，在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在提出問題的過程中，往往關(guān)注的是后續(xù)情境的發(fā)展趨勢；他們通常是從給定情境出發(fā)思考問題，挖掘情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而提出擴展性問題。

圖7 圓點情境各問題類型的難易度分布 Fig.7 Difficulty distribution of dot problem types

圖8 門鈴情境各問題類型的難易度分布Fig.8 Difficulty distribution of doorbel problem types

其次，在職教師傾向于在較難問題中預(yù)測包含多種語義類型的問題。表6和表7分別是在職教師在圓點情境、門鈴情境中預(yù)測的包含多種語義的問題分別在不同難度層次的占比分布如圖9、圖10所示(P1、P2、P3分別表示簡單問題、中等難度問題、較難問題)。

圖9 圓點情境規(guī)律性問題的人數(shù)比較Fig.9 Comparison of the number of people with dot

圖10 門鈴情境規(guī)律性問題的人數(shù)比較 Fig.10 Comparison of the number of people with doorbell

表6 圓點情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%

表7 門鈴情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%Tab.7 Proportion of doorbell situation questions with multiple semantics in different difficulty levels/%

可知在簡單問題中，各年級在職教師預(yù)測的問題均只包含一種語義類型，在中等難度問題上，在職教師會預(yù)測包含兩種或三種語義類型的問題。在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上的表現(xiàn)不太理想。兩種情境中在職教師均未預(yù)測“起始未明”型問題，所有的問題都是采用“結(jié)果未明”的結(jié)構(gòu)進(jìn)行表述的。

3)在思維的深刻性上，在職教師均預(yù)測所教年級的學(xué)生表現(xiàn)良好；在思維的靈活性和獨創(chuàng)性上，在職教師認(rèn)為低年級學(xué)生的表現(xiàn)較好，而高年級學(xué)生有待提高。

首先，在職教師預(yù)測他們所教年級的學(xué)生具備良好的思維深刻性。從在職教師預(yù)測的規(guī)律性問題的人數(shù)來看，高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維的深刻性較好，善于揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號語言表示規(guī)律。低年級在職教師認(rèn)為所教年級學(xué)生不會過多地關(guān)注事物發(fā)展的普遍規(guī)律，而是從現(xiàn)有的信息中挖掘其內(nèi)在關(guān)系，思維的深刻程度相對較低。其次，低年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維較靈活，而高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維靈活性有待提高。

從在職教師預(yù)測的問題類型的數(shù)量進(jìn)行深入分析，六年級在職教師認(rèn)為所教年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的應(yīng)變能力較強，學(xué)生能夠擺脫已有模式的束縛，思維的靈活程度相對較高。七年級、八年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生會受思維定式的影響，直接將其視為規(guī)律類問題，且在提問的過程中，不會關(guān)注事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，思維的靈活程度相對較低。

圖11 圓點情境預(yù)測問題的類型比較Fig.11 Comparison of the types dots

圖12 門鈴情境預(yù)測問題的類型比較 Fig.12 Comparison of the types of doorbell

最后，低年級在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生思維的獨創(chuàng)性相對較好，高年級在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生思維的獨創(chuàng)性相對較差。

可知，高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生會受思維定式的影響，在創(chuàng)造性思維方面的表現(xiàn)不理想。而低年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生能擺脫思維定式，突破原有的思維方式產(chǎn)生新觀點，提出一些新穎的、獨特的問題，思維相對活躍，具備良好的創(chuàng)新意識。

4 結(jié)論與建議

4.1 在職教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的了解程度明顯優(yōu)于職前教師

首先，從問題類型上看，在職教師的預(yù)測表現(xiàn)更接近于學(xué)生的實際水平。但是職前教師和在職教師均低估了學(xué)生的想象力和創(chuàng)新意識，高估了學(xué)生的抽象概括能力。其次，從匹配率上看在職教師預(yù)測的平均匹配率明顯高于職前教師。這表明在職教師對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的了解相對接近學(xué)生的實際情況，但還需進(jìn)一步的發(fā)展。

針對以上問題，建議在職前教師的培養(yǎng)上，應(yīng)將師范生的條件性知識和本體性知識相互融合。師范生的教育可借助PBL(problem-based learning)教學(xué)模式，引導(dǎo)師范生基于真實情境開展探索學(xué)習(xí)，并在完成項目中建構(gòu)知識體系、深化理解[8]。高校與中小學(xué)合作構(gòu)建“逐級遞進(jìn)、全程貫通”的實踐教學(xué)體系。通過教師的指導(dǎo)，在實踐崗位上基于真實的情境獲得對課堂教學(xué)、跨學(xué)科教學(xué)的體驗與反思，最終促進(jìn)師范生獲得對教師專業(yè)發(fā)展的完整知識體系[10]。

4.2 對于學(xué)生的接受能力，職前教師比在職教師有著更好的了解

首先，職前教師和在職教師均是過高地估計了學(xué)生對問題難易度的把握，但職前教師對問題難易度的預(yù)測更接近于學(xué)生對問題難易度的認(rèn)識。其次，從問題的語義類型上職前教師的預(yù)測更接近于學(xué)生的實際水平?；谥暗姆治龅弥趦煞N情境中，學(xué)生提出的問題大都是“結(jié)果未明”型，很少提出“起始未明”型，而兩類教師在預(yù)測問題中幾乎都不涉及“起始未明”型。

在問題的復(fù)雜性上，職前教師對學(xué)生接受能力的了解更接近于學(xué)生的實際情況；職前教師和在職教師對學(xué)生接受能力的了解均無明顯差異，三個年級的在職教師均低估了學(xué)生對多種語義類型的理解。

通過上述研究結(jié)論，對在職教師提出以下建議。首先，建立屬于自己的“問題提出教學(xué)案例庫”。教師在教學(xué)過程中將學(xué)生提出的問題做好整理與記錄，進(jìn)行有關(guān)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生關(guān)系的分析，有助于教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維，提升自身的KCS水平。其次，關(guān)注教育前沿領(lǐng)域研究、專業(yè)教學(xué)期刊等讀物，有助于在職教師了解各階段學(xué)生的認(rèn)知水平，進(jìn)而了解學(xué)生的接受能力，發(fā)展其KCS水平。

4.3 職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的掌握情況略優(yōu)于在職教師

1)職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性了解情況均不理想，但職前教師的表現(xiàn)略勝一籌。職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的了解程度從高到低排序均為七年級>八年級>六年級。

2)職前教師更了解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性的了解程度較弱，七年級、八年級之間沒有明顯的差異；八年級在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性的了解程度較差，六年級、七年級之間的差異不顯著。

3)職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維獨創(chuàng)性的了解明顯好于在職教師。與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨創(chuàng)性的了解程度相對較好，七年級、八年級之間的差異并不明顯；八年級在職教師對學(xué)生思維創(chuàng)造性的了解最差，而六年級、七年級之間沒有顯著性差異。

綜上，建議嘗試運用問題提出進(jìn)行課堂教學(xué)。問題提出是理解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有力工具，運用問題提出進(jìn)行課堂教學(xué)，有助于在職教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)在職教師KCS的不斷發(fā)展。同時建立“學(xué)生問題提出資源庫”，及時記錄課前未預(yù)測到的問題，逐步積累和增進(jìn)自己對學(xué)生的認(rèn)識。