●黎方平，張丹

一、數(shù)學(xué)抽象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析）描述為“具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)”，“是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力”。因此，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵在于提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是個(gè)體在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中所具有的特征和特點(diǎn)，具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性、連貫性、靈活性、深刻性、批判性與創(chuàng)新性等特征。蘇聯(lián)教育學(xué)家巴班斯基經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，證實(shí)了中學(xué)生的學(xué)習(xí)與他們的思維品質(zhì)密切相關(guān)。中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成和發(fā)展，主要是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自己獨(dú)立思考或與他人交流，逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法，是可以通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)提升的。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，其要求從事物的表面看到本質(zhì)，從片面看到整體，然后提煉出穩(wěn)定的、共同的特征。因此抽象性是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)最重要的特征。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程中。數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1]。

（一）獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程一般會(huì)經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過(guò)程：一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā)抽象出數(shù)學(xué)概念，如日常生活中的“線(xiàn)性”關(guān)系，得到“正比例”函數(shù)的概念；另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對(duì)已有的數(shù)學(xué)概念進(jìn)一步抽象，如從正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)等抽象出“函數(shù)”的概念。

（二）提出數(shù)學(xué)命題和模型

在提出數(shù)學(xué)命題和模型的過(guò)程中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：

（1）將實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題重新表述；

（2）理清命題的邏輯結(jié)構(gòu)：條件和結(jié)論分別是什么？ 條件是否充分？ 結(jié)論是否完整？

（三）形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)的思想方法（方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等）不僅是抽象的產(chǎn)物，其存在形式也是抽象的，數(shù)學(xué)思想方法的形成通常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念、原理、命題的抽象過(guò)程及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中[2]。

（四）認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

在高中階段，關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系的抽象可以表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）在高觀點(diǎn)下對(duì)已學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)梳理，如用函數(shù)思想梳理初中所學(xué)函數(shù)、方程、不等式；

（2）系統(tǒng)描述某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)體系，如向量的知識(shí)體系；

（3）利用核心概念串聯(lián)相關(guān)的知識(shí)，統(tǒng)一處理表面上不同的問(wèn)題[2]，如函數(shù)與數(shù)列。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的途徑

對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？ 下面以“函數(shù)”教學(xué)為例進(jìn)行闡述。

（一）在問(wèn)題情境的分析中積累抽象活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在高中階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)是非常重要的內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)把函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的四條主線(xiàn)之一。函數(shù)的概念是高中生接觸到的第一個(gè)比較困難的概念，和初中的“變量說(shuō)”相比，“集合—對(duì)應(yīng)說(shuō)”的函數(shù)定義更具有一般性，而函數(shù)概念的抽象過(guò)程對(duì)于學(xué)生而言是有難度的，也是不容易想到的，如何才能在學(xué)生的認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上自然地獲取概念呢？ 一種普遍的觀點(diǎn)是，學(xué)習(xí)者必須能從許多事物、事件或情境中認(rèn)識(shí)或抽象出它們的共同特征，以便進(jìn)行概括。在此基礎(chǔ)上，還要能夠從正反兩個(gè)方面對(duì)概念進(jìn)行辨析。

“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”是高中數(shù)學(xué)新版教科書(shū)的一大特點(diǎn)，教科書(shū)提供了豐富的問(wèn)題情境，教學(xué)中關(guān)鍵是要對(duì)此進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治鲆龑?dǎo)。教師需通過(guò)創(chuàng)設(shè)切合學(xué)生實(shí)際的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過(guò)渡，通過(guò)提問(wèn)的方式定向訓(xùn)練思維的抽象性。在函數(shù)概念的抽象過(guò)程中，可以通過(guò)以下“問(wèn)題串”實(shí)現(xiàn)：

問(wèn)題1 某“復(fù)興號(hào)”高速列車(chē)加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).這段時(shí)間內(nèi)，列車(chē)行進(jìn)的路程s（單位：km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為s=350t。

（1）如果有人說(shuō):“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系s=350t，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km。”你認(rèn)為這個(gè)說(shuō)法正確嗎？

（2）s 和t 之間是的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？ 在什么范圍適用？ s 與t 的取值范圍是什么？

（3）你能用集合語(yǔ)言來(lái)表述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

問(wèn)題2 某公司要求工人每周工作至少1 天，至多不超過(guò)6 天，如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350 元，而且每周付一次工資。

（1）一個(gè)人一周的工資w 是他工作天數(shù)d 的函數(shù)嗎？ 用d 怎樣表示w？

（2）問(wèn)題2 與問(wèn)題1 是同一個(gè)函數(shù)嗎？

問(wèn)題3 給出北京市某天的空氣質(zhì)量指數(shù)I 的變化圖。

（1）這天12：00 時(shí)空氣指數(shù)I 的值是多少？

（2）你認(rèn)為這里的I 是t 的函數(shù)嗎？ 你能用集合語(yǔ)言來(lái)表述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

問(wèn)題4 給出某地近10年恩格爾系數(shù)值的列表，你認(rèn)為按此表給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r 是年份y 的函數(shù)嗎？如果是，你會(huì)用怎樣的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)這個(gè)函數(shù)？

在分析案例、解決問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生抓住案例的本質(zhì)特征，歸納4 個(gè)案例的共性并進(jìn)行抽象概括：都包含兩個(gè)非空數(shù)集（A，B），都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（式、圖、表），都有相同的特征：對(duì)于數(shù)集A 中的任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B 中都有唯一確定的數(shù)y 與之對(duì)應(yīng)。在此基礎(chǔ)上給出高中階段函數(shù)的定義，并結(jié)合4 個(gè)案例，理解定義中的符號(hào)f（x）的含義。

通過(guò)定向的提問(wèn)和追問(wèn)，將不可視的思維過(guò)程具體化，為從具體到抽象搭建了橋梁，積累了抽象活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）在概念建立的過(guò)程中培養(yǎng)抽象性思考的思維方式

在概念課的教學(xué)中，學(xué)生通過(guò)模仿學(xué)習(xí)，在以反映概念本質(zhì)特征的情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。概念的形成過(guò)程是發(fā)展學(xué)生思維抽象性的重要途徑。

概念教學(xué)一般經(jīng)歷如下過(guò)程：

（1）引入概念——從解決實(shí)際問(wèn)題的需要或體系的發(fā)展過(guò)程引入概念；

（2）概括屬性——提供豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，得到本質(zhì)屬性；

（3）明確概念——通過(guò)下定義給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字、符號(hào)、圖形）；

（4）辨析概念——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（正反例）；

（5）應(yīng)用概念——在具體問(wèn)題中應(yīng)用概念、形成操作方法；

（6）納入概念系統(tǒng)——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系[3]。

其中階段（2）（3）和（6）涉及概念的生成、內(nèi)涵與外延，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的重要環(huán)節(jié)。

仍然以函數(shù)概念的教學(xué)為例，前面對(duì)情境的分析和歸納，完成了前三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，但還不一定能很好地理解函數(shù)的概念。教學(xué)中還需要完成概念的辨析和應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生將所獲得的函數(shù)概念納入概念系統(tǒng)。

除了函數(shù)的概念，高中數(shù)學(xué)的以下概念課都值得認(rèn)真研究：集合的概念、任意角與弧度制、平面向量的實(shí)際背景及基本概念、數(shù)列的概念、平面的公理化體系、隨機(jī)事件、計(jì)數(shù)原理等。對(duì)于這些概念，一般都要從具體情境出發(fā)，經(jīng)歷分析、比較共同特征，進(jìn)而概括其本質(zhì)屬性得到概念。經(jīng)歷概念的形成過(guò)程有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（三）在知識(shí)體系的建構(gòu)中培養(yǎng)一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣

在函數(shù)概念教學(xué)過(guò)程中首先會(huì)遇到的問(wèn)題是，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)的概念，即變量關(guān)系，高中階段又要通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系重新定義，這是為什么呢？有必要重新定義嗎？如果在教學(xué)過(guò)程中不涉及這類(lèi)本質(zhì)性的問(wèn)題，學(xué)生就會(huì)留下這樣的認(rèn)識(shí)：函數(shù)有兩個(gè)定義，這兩個(gè)定義是有區(qū)別的，都應(yīng)該記憶。因此教學(xué)過(guò)程中闡述重新定義的必要性就顯得尤為重要，它可以促進(jìn)學(xué)生從“知其所以然”進(jìn)步到“何由以知其所以然”。

課堂教學(xué)開(kāi)始時(shí)，可以提出如下問(wèn)題，以引發(fā)認(rèn)知沖突，引出學(xué)習(xí)的必要性：

（1）正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的關(guān)系l=4x 與正比例函數(shù)y=4x 相同嗎？

在教學(xué)的小結(jié)環(huán)節(jié)，可以通過(guò)以下問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)一步思考：

（1）在這節(jié)課中我們是如何獲取函數(shù)概念的？

（2）與初中相比，函數(shù)的定義有什么不同，為什么需要重新定義？

（3）為什么定義中要求是“實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集”的對(duì)應(yīng)？

（4）在獲取了函數(shù)的概念之后，接下來(lái)我們應(yīng)該研究什么內(nèi)容？

在概念課的設(shè)計(jì)中，應(yīng)該讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，感知高中數(shù)學(xué)的顯著變化，體會(huì)：為什么要提出新的定義？為什么要這樣來(lái)定義？改變定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)行不行，為什么？ 通過(guò)這些問(wèn)題啟發(fā)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

獲取了函數(shù)的概念之后，接下來(lái)我們要研究的是函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的一般研究路徑是：實(shí)際背景—函數(shù)概念—函數(shù)的圖象和性質(zhì)（性質(zhì)和圖象）—應(yīng)用。教學(xué)中要注意同一主線(xiàn)內(nèi)容的邏輯聯(lián)系，以函數(shù)的概念為指導(dǎo)，把研究路徑運(yùn)用到研究基本初等函數(shù)中，比如在三角函數(shù)中，既注意借鑒指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)三角函數(shù)的研究路徑，又注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角函數(shù)的特殊性，充分利用周期性簡(jiǎn)化研究過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)研究方法的多樣性。

在教學(xué)中通過(guò)問(wèn)題促使學(xué)生思考概念的本質(zhì)，思考知識(shí)的上下位關(guān)系，培養(yǎng)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題”的能力，養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系的過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（四）在小結(jié)復(fù)習(xí)的整合中提升抽象思維能力

在小結(jié)復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)注意采取措施改變學(xué)生知識(shí)碎片化、淺表化的現(xiàn)狀，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象使學(xué)生潛移默化地學(xué)會(huì)在孤立中看到聯(lián)系，在分散中看到整體，從表面看到本質(zhì)。比如，在函數(shù)主線(xiàn)中，隨著知識(shí)的縱向發(fā)展，與函數(shù)概念密切相關(guān)的有以下概念：

圖1 函數(shù)概念與其他概念的聯(lián)系

函數(shù)是描述客觀世界變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，相關(guān)概念的生成過(guò)程需要呈現(xiàn)豐富的現(xiàn)實(shí)背景：指數(shù)函數(shù)刻畫(huà)的是呈現(xiàn)“指數(shù)增長(zhǎng)” 的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，三角函數(shù)則是刻畫(huà)周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，在定義一類(lèi)函數(shù)時(shí)，都應(yīng)該明確如下四個(gè)要點(diǎn)：

（1）這類(lèi)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？它刻畫(huà)了哪類(lèi)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？

（2）決定這類(lèi)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？

（3）要素之間的相互關(guān)系如何？

（4）可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)？

數(shù)列的本質(zhì)是定義在正整數(shù)集（子集）上的一類(lèi)特殊的離散型函數(shù)，概率則可以看作是定義在樣本空間（有限樣本點(diǎn)）全體子集上的“集函數(shù)”?；谶@樣的認(rèn)知，就可以沿用與函數(shù)相同的研究路徑對(duì)其展開(kāi)研究：現(xiàn)象—概念—性質(zhì)—應(yīng)用。

以一般觀念指導(dǎo)下的問(wèn)題為導(dǎo)向，可以更好獲取和理解在函數(shù)結(jié)構(gòu)體系下的相關(guān)概念。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生對(duì)于函數(shù)是“用抽象的符號(hào)表示數(shù)集之間對(duì)應(yīng)關(guān)系”的理解會(huì)更加深刻，進(jìn)而真正把握函數(shù)概念的本質(zhì)。

（五）在科學(xué)合理的評(píng)價(jià)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維水平

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我和增強(qiáng)自信。在函數(shù)概念的教學(xué)過(guò)程中，教師可以從以下幾個(gè)方面關(guān)注學(xué)生的抽象思維水平：

（1）是否能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡(jiǎn)單的概念（命題）。

（2）是否能用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則。

例如：請(qǐng)列舉生活中的函數(shù)。

（3）是否能夠理解并準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述所學(xué)對(duì)象，并能進(jìn)行文字、圖形、符號(hào)之間的轉(zhuǎn)化。

例如：請(qǐng)說(shuō)明符號(hào)f（x），f（x-1）的含義。

（4）是否能夠提煉出解決一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。

例如：我們是如何得到函數(shù)概念的？體現(xiàn)了怎樣的思想方法？

根據(jù)學(xué)生的回答，利用生生、師生互評(píng)互議，進(jìn)一步促使學(xué)生反思。教師有意識(shí)地通過(guò)可操作、可評(píng)價(jià)的手段和方式，促進(jìn)學(xué)生自我提升抽象思維水平。

另外，如何通過(guò)試題檢測(cè)學(xué)生思維的抽象水平？題目應(yīng)該如何命制？是否難度越大的題目，對(duì)抽象素養(yǎng)的要求就更高呢？ 這一系列的問(wèn)題值得進(jìn)一步探討。

抽象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的思維，抽象使得數(shù)學(xué)成為“高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)”的系統(tǒng)[1]。抽象思維貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程，抽象思維有助于獲取新概念、準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系。教學(xué)中，教師要充分利用概念教學(xué)這一載體，有意發(fā)展學(xué)生的抽象思維，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。