王君祺，鮑福廷，崔輝如

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2. 陸軍工程大學(xué) 國防工程學(xué)院, 江蘇 南京 210007)

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)依靠結(jié)構(gòu)簡單、使用操作便捷和可靠性高的特點(diǎn)，被廣泛用作火箭彈、導(dǎo)彈和探空火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)，以及航天器發(fā)射和飛機(jī)起飛的助推裝置[1]。

反應(yīng)速度快、殺傷力強(qiáng)、命中精度高、服役時(shí)間長、控制范圍廣以及安全性高將導(dǎo)彈的設(shè)計(jì)和研發(fā)提到了前所未有的高度。其中，安全性能高是一切指標(biāo)的基礎(chǔ)，也是制約導(dǎo)彈性能提升的關(guān)鍵。導(dǎo)彈長期處于戰(zhàn)備狀態(tài)，受發(fā)射環(huán)境的限制，發(fā)動(dòng)機(jī)需要長期處于豎直存放的狀態(tài)，發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面的力學(xué)性能將面臨嚴(yán)峻的考驗(yàn)[2-6]。黏接界面的脫黏效應(yīng)將直接導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)燃面的變化，使得發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)彈道特性偏離初始的設(shè)計(jì)。

不少研究人員針對發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面上的應(yīng)力情況開展了一系列的研究。韋震等[7]利用內(nèi)聚力單元并結(jié)合雙線性的內(nèi)聚力本構(gòu)關(guān)系，研究了推進(jìn)劑和絕熱層黏接界面的Ⅰ型斷裂力學(xué)行為。類似的方法同樣應(yīng)用在推進(jìn)劑/襯層Ⅰ型[8]以及Ⅱ型界面[9-11]。Zhou等[12]利用內(nèi)聚力單元建立了襯層的有限元模型，研究了發(fā)動(dòng)機(jī)中推進(jìn)劑/絕熱層界面間的應(yīng)力奇異特性。馬曉琳[5]通過二維平面內(nèi)聚力單元構(gòu)建了絕熱層和推進(jìn)劑黏接界面的有限元模型，研究了發(fā)動(dòng)機(jī)受波浪載荷以及點(diǎn)火增壓狀態(tài)等典型工況下黏接界面的力學(xué)響應(yīng)。考慮到結(jié)構(gòu)的軸對稱特性，平面內(nèi)聚力單元處理軸對稱問題是不合適的。

本文從軸對稱內(nèi)聚力單元的參考坐標(biāo)系出發(fā)，依次推導(dǎo)了單元的分離位移、內(nèi)力矢量以及單元?jiǎng)偠染仃嚒２捎眯D(zhuǎn)體分離測試，驗(yàn)證單元的準(zhǔn)確性。開展立貯發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面的結(jié)構(gòu)完整性分析。

1 軸對稱內(nèi)聚力單元

1.1 單元位移變換矩陣推導(dǎo)

如圖1所示，在ROZ平面內(nèi)建立一個(gè)初始厚度忽略不計(jì)的軸對稱內(nèi)聚力單元，與之相連接的實(shí)體單元為四節(jié)點(diǎn)軸對稱單元。

圖1 軸對稱內(nèi)聚力單元Fig.1 Axisymmetric cohesive element

圖2給出了變形后的軸對稱內(nèi)聚力單元。在單元中線方向設(shè)立橫軸，過中線的中點(diǎn)垂直于中線的方向?yàn)榭v軸建立變形后內(nèi)聚力單元參考坐標(biāo)系。

圖2 變形后的軸對稱內(nèi)聚力單元Fig.2 Axisymmetric cohesive element after deformation

單元節(jié)點(diǎn)位移在全局和參考坐標(biāo)系中的關(guān)系滿足

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 單元分離位移場推導(dǎo)

針對零厚度單元的情況，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4以及節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3是分別重合的，如圖3所示。軸對稱內(nèi)聚力單元在變形后的分離位移分別為

(6)

其中，Δ1和Δ2為中線左端點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)4)的徑向分離位移以及法向分離位移，Δ3和Δ4為中線右端點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3)的徑向分離位移以及法向分離位移。

圖3 參考坐標(biāo)系中的分離位移示意Fig.3 Diagram of separation displacement in the reference coordinate

利用矩陣形式可以表示為

(7)

式中，

Δ=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T

(8)

利用一維等參元理論，建立分離位移場與節(jié)點(diǎn)分離位移之間的關(guān)系，即

(9)

建立中線上分離位移場與節(jié)點(diǎn)整體位移間的關(guān)系，即

(10)

1.3 單元內(nèi)力矢量及單元?jiǎng)偠染仃囃茖?dǎo)

依據(jù)虛位移原理，有

(11)

式中：E和S分別代表格林應(yīng)變張量和第二PK應(yīng)力張量；Δ和Tc分別代表分離位移以及內(nèi)聚力，Γc是指單元中線；Text以及u代表外力以及節(jié)點(diǎn)位移矢量，Γ為整個(gè)單元所圍成的區(qū)域。

結(jié)合伽遼金法和等參元理論，推導(dǎo)可得單元的剛度矩陣以及內(nèi)力矢量分別為

(12)

(13)

2 驗(yàn)證算例

2.1 旋轉(zhuǎn)體模型

圖4給出了一個(gè)軸對稱柱狀旋轉(zhuǎn)體的子午面示意圖，旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)外徑分別為2 mm和4 mm，高為4 mm。沿著子午面的中心與水平方向呈45°的位置存在貫穿整個(gè)板的黏接界面。旋轉(zhuǎn)體的底部固支，頂部施加豎直方向的位移載荷。本驗(yàn)證算例中，位移的拉伸速率為0.1 mm/s，在達(dá)到指定位移1 mm時(shí)開始松弛40 s。旋轉(zhuǎn)體的楊氏模量以及泊松比分別為10 MPa和0.33。本算例中，除了利用軸對稱單元對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，還采用不同環(huán)向單元數(shù)量的三維網(wǎng)格進(jìn)行對比分析，其中環(huán)向網(wǎng)格的數(shù)量分別為6、18以及54。

圖4 旋轉(zhuǎn)體子午面Fig.4 Meridian surface of the rotating body

2.2 黏彈性內(nèi)聚力模型

PPR內(nèi)聚力模型是Park等提出的考慮物理斷裂參數(shù)以及連續(xù)斷裂邊界的勢相關(guān)內(nèi)聚力模型[13]，該模型的勢函數(shù)表達(dá)式為

(14)

式中：Γn和Γt為能量常數(shù)；m和n為無量綱參數(shù)；αk和βk為模型的形狀參數(shù)，分別控制法向和切向的內(nèi)聚力和分離位移曲線下降段的凹凸特性；δn和δt為模型的法向和切向的臨界位移；φt和φn分別代表切向和法向內(nèi)聚能，其表達(dá)式為

(15)

σmax和τmax代表法向和切向內(nèi)聚強(qiáng)度。

Cui等[14]提出了基于參數(shù)松弛的黏彈性PPR內(nèi)聚力模型，其具體形式為

(16)

黏接界面初始內(nèi)聚強(qiáng)度σmax和τmax、初始臨界位移δn和δt、初始無量綱參數(shù)m和n分別為0.5 MPa、0.5 MPa，2.5 mm、2.5 mm，0.167 2以及0.167 2。形狀參數(shù)αk和βk均為3.10，黏彈性系數(shù)u=0.3，τ=50 s。

2.3 仿真結(jié)果分析

圖5表示不同模型在加載階段的徑向和軸向的支反力隨時(shí)間的變化趨勢。由圖5可以明顯地看到，三維模型的結(jié)果曲線隨著網(wǎng)格規(guī)模的不斷增加，逐漸收斂于軸對稱模型的分析結(jié)果曲線。仿真結(jié)果表明，構(gòu)建的軸對稱內(nèi)聚力單元是準(zhǔn)確的。

(a) 徑向(a) Radial direction

圖6給出了四種有限元模型總的自由度、單元數(shù)以及計(jì)算耗時(shí)的情況。為了比較方便，這里假設(shè)軸對稱模型的自由度、單元數(shù)以及計(jì)算耗時(shí)都為單位1?？梢悦黠@地看到，隨著環(huán)向網(wǎng)格數(shù)量的增多，三維模型的自由度、單元數(shù)以及計(jì)算耗時(shí)劇烈增加。尤其是當(dāng)環(huán)向的網(wǎng)格數(shù)量增加到54個(gè)的時(shí)候，三維模型的自由度和單元數(shù)是軸對稱模型的300多倍，而三維狀態(tài)下的耗時(shí)甚至達(dá)到了軸對稱模型的600多倍。以上分析結(jié)果表明，采用軸對稱內(nèi)聚力單元計(jì)算模型是經(jīng)濟(jì)高效的仿真手段。

圖6 計(jì)算模型對比Fig.6 Comparison of computational models

3 立貯發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面的力學(xué)性能研究

3.1 發(fā)動(dòng)機(jī)有限元模型

對立貯式發(fā)動(dòng)機(jī)在長時(shí)間貯存狀態(tài)以及受到軸向過載時(shí)的結(jié)構(gòu)完整性進(jìn)行分析是進(jìn)行軸對稱內(nèi)聚力單元開發(fā)的主要任務(wù)之一。圖7所示為某發(fā)動(dòng)機(jī)簡化后的軸對稱幾何以及部分有限元網(wǎng)格模型。發(fā)動(dòng)機(jī)整體長度為630 mm，推進(jìn)劑和絕熱層部分的長度為570 mm，其中，圓管段、翼槽段以及星孔段的長度分別為300 mm、43 mm和227 mm。圓管段和星孔段推進(jìn)劑的厚度分別為73 mm和48.5 mm，絕熱層和殼體的厚度分別為2 mm和3 mm。此外，由于涉及軸對稱計(jì)算，發(fā)動(dòng)機(jī)中軸線和各部位的相對位置如圖7所示。為了簡化網(wǎng)格規(guī)模并保證計(jì)算精度，在遠(yuǎn)離黏接界面處采用稀疏的網(wǎng)格規(guī)模，在黏接界面兩側(cè)對網(wǎng)格進(jìn)行加密。推進(jìn)劑、絕熱層以及殼體內(nèi)聚力單元的材料屬性和文獻(xiàn)[15]一致。

圖7 發(fā)動(dòng)機(jī)軸對稱模型Fig.7 Axisymmetric model of solid rocket motor

圖8所示為發(fā)動(dòng)機(jī)在點(diǎn)火上升階段受到的三種軸向加速度變化曲線，假設(shè)加速時(shí)間為200 s。

圖8 軸向加速度示意Fig.8 Diagram of axial acceleration

3.2 軸向加速度影響分析

發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面應(yīng)力分布如圖9所示，切向內(nèi)聚力在黏接界面上的分布差異較大，加速度因子的增加會(huì)提升界面上切向內(nèi)聚力的整體水平。切向內(nèi)聚力在黏接界面的兩端會(huì)出現(xiàn)突變，這與黏接界面兩端受到直接的約束有關(guān)。此外，在翼槽段的兩側(cè)，翼槽段與圓管段和星孔段過渡的地方可以看到明顯的內(nèi)聚力改變。對于法向內(nèi)聚力而言，由于向上的加速度作用，慣性力在發(fā)動(dòng)機(jī)的尾部集中，因此，在黏接界面的底部，法向內(nèi)聚力達(dá)到了最高水平，并且隨著加速度因子的增加而加劇。在圓管段和星孔段，法向內(nèi)聚力水平較低。尤其在星孔段，部分黏接界面處的法向內(nèi)聚力已經(jīng)接近于零，加速度因子在這些部位的影響較小。在翼槽段，由于黏接界面兩側(cè)變形的不協(xié)調(diào)，法向內(nèi)聚力有輕微的增加，但是相比于黏接界面的底部，這部分的法向內(nèi)聚力仍處于較低水平。與切向內(nèi)聚力類似，加速度因子的增加會(huì)提升界面上法向內(nèi)聚力的整體水平。

(a) 切向(a) Tangential direction

3.3 波浪載荷影響分析

艦載導(dǎo)彈在服役期間需要長時(shí)間受到海上波浪的影響，考慮到艦船空間有限以及為減少導(dǎo)彈的發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間，發(fā)動(dòng)機(jī)往往需要豎直存放在發(fā)射筒內(nèi)。因此，海面上的波浪載荷將直接作用在黏接界面上。

一般而言，波浪載荷對艦船的影響可以分解成三個(gè)方向的振動(dòng)，沿著船艏方向的縱搖、沿著左舷方向的橫搖以及垂直方向的垂搖?？紤]到軸對稱模型特定的使用環(huán)境，這里僅分析對黏接界面影響較為惡劣的垂搖。研究表明，艦船的振動(dòng)曲線和浪級(海況級數(shù))之間有著一定的關(guān)聯(lián)。艦船垂搖隨海況級數(shù)之間的關(guān)系為

az(ti)=Δaz[1+kz(l-2)]sin(2π·fz·ti)

(17)

式中：az(ti)表示ti時(shí)刻的垂搖加速度；Δaz為垂搖的加速度幅值，Δaz=rand(100 mm/s2,1 000 mm/s2)；kz為加速度放大系數(shù)，kz=0.24；l為海況級數(shù)，fz為ti時(shí)刻豎直方向的波浪頻率，fz=rand(0.1 Hz, 1 Hz)。

圖10給出了不同海況級數(shù)下，發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面上最大的切向和法相內(nèi)聚力隨著時(shí)間的變化。

(a) 切向(a) Tangential direction

從分布上看，隨著海況級數(shù)的提高，出現(xiàn)高水平內(nèi)聚力極值的可能性越大。和點(diǎn)火發(fā)射時(shí)的過載作用相比，波浪作用產(chǎn)生的切向內(nèi)聚力表現(xiàn)得十分微弱。但是，這也從另一個(gè)方面說明，波浪作用下，黏接界面在切向上是比較安全的。

圖11給出了不同海況下，切向內(nèi)聚力和法向內(nèi)聚力極值出現(xiàn)部位隨時(shí)間的變化曲線。可以發(fā)現(xiàn)，極值出現(xiàn)的位置無一例外地都分布在黏接界面的兩端。這說明，在波浪載荷引起的垂向加速度的作用下，黏接界面上接近發(fā)動(dòng)機(jī)頭部和尾部的位置是需要著重分析和加固的。另外不難分析，隨著海上執(zhí)勤時(shí)間的延長，黏接界面上的損傷會(huì)逐漸累積，從而引起黏接界面的局部開裂等嚴(yán)重危害。

(a) 切向(a) Tangential direction

4 結(jié)論

本文研究了軸對稱內(nèi)聚力單元在立貯發(fā)動(dòng)機(jī)黏接界面結(jié)構(gòu)完整性分析中的應(yīng)用。通過構(gòu)建參考坐標(biāo)系的形式，建立了單元節(jié)點(diǎn)位移和單元內(nèi)力以及單元矩陣之間的聯(lián)系。利用三維以及軸對稱網(wǎng)格分別開展旋轉(zhuǎn)體的分離試驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果表明，軸對稱內(nèi)聚力單元可以準(zhǔn)確和高效地進(jìn)行軸對稱問題的仿真模擬。開展了立貯發(fā)動(dòng)機(jī)在軸向加速度以及波浪載荷下，黏接界面的力學(xué)響應(yīng)分析。仿真結(jié)果顯示，加速度因子和海況級數(shù)的提高會(huì)提升界面上內(nèi)聚力的整體水平。內(nèi)聚力極值分布在黏接界面的兩端，在設(shè)計(jì)階段需要重點(diǎn)關(guān)注。

致謝

延世大學(xué)Kyoungsoo Park(樸景秀)副教授在軸對稱內(nèi)聚力單元推導(dǎo)方面提供了很大的幫助和指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝意！