李 冰，吳化璋

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

1 引言

因碼的重量分布與重量計(jì)數(shù)器可作為計(jì)算各種譯碼錯(cuò)誤概率的主要依據(jù)，所以一直以來(lái)是編碼理論的一個(gè)重要研究方向。早在上世紀(jì)，Mac-Williams 和Sloane[1]率先對(duì)域上的碼及碼字的各種計(jì)數(shù)器進(jìn)行了比較系統(tǒng)的闡述。后來(lái)，隨著1994 年Hammons 等[2]研究了一些重要的二元非線(xiàn)性Kerdock，Preparata，Goethal 等相關(guān)碼的?4-線(xiàn)性，以及1997 年萬(wàn)哲先[3]《Quaternary Codes》的問(wèn)世引起人們對(duì)不同環(huán)上碼及其性質(zhì)的新一輪研究熱潮。1999 年，Bonnecaze 等[4]研究了環(huán)F2+uF2上的循環(huán)碼及自對(duì)偶碼。后來(lái)，朱士信[5]和Yildiz 等[6]分別定義并研究了環(huán)F2+uF2和環(huán)?4+u?4上的線(xiàn)性碼及它們的MacWilliams 恒等式。王艷萍等[7]討論了環(huán)R+vR 上的斜常循環(huán)碼。2010 年，Bahattin 和Karadeniz[8]進(jìn)一步討論了環(huán)F2+uF2+vF2+uvF2上的線(xiàn)性碼。隨后，文獻(xiàn)[9]研究了環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp環(huán)上線(xiàn)性碼的MacWilliams 恒等式和一些重量計(jì)數(shù)器。加性碼的研究起源于1973 年，Delsarte[10]首次定義了加性碼，而環(huán)上的加性碼因在環(huán)幾何與強(qiáng)正則圖等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用一直得到人們的關(guān)注。2010 年，Borges 等[11]通過(guò)構(gòu)造從到的Gray 映射，研究了環(huán)?2?4上加性碼和它對(duì)偶碼的相關(guān)性質(zhì)。近年來(lái)，學(xué)者們對(duì)加性碼的重量及結(jié)構(gòu)進(jìn)行著廣泛而深入的研究，如[12-17]。最近，Aydogdu 等[18]討論了環(huán)?2?2[u]上的加性碼，施敏加等[19]后來(lái)又研究了環(huán)?2?2[u,v]上一重量與二重量加性碼，如此等等。

受以上研究及相關(guān)文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文討論環(huán)FqFq[u,v]上加性碼的一些重量計(jì)數(shù)器以及M-ac-Williams 恒等式。首先給出環(huán)FqFq[u,v]上加性碼的定義。接著利用Gray 映射，給出FqFq[u,v]上加性碼的一些重量計(jì)數(shù)器。最后根據(jù)給定的Euclidean 內(nèi)積的定義以及相應(yīng)Hadamard 變換，得到環(huán)FqFq[u,v]上加性碼與其對(duì)偶碼之間的MacWilliams恒等式。

2 Gray 映射

設(shè)Fq是階為q的有限域，表示Fq上長(zhǎng)度為n的所有向量的集合。令

其中u2=0,v2=0,uv=vu.顯然Fq[u,v]是一個(gè)有限非鏈環(huán)，最大理想為＜u,v＞.

定義集合FqFq[u,v]={(a,b)|a∈Fq,b∈Fq[u,c]}，為了使集合Fq[u,v]的一個(gè)非空子集構(gòu)成加性碼，需要定義以下一些運(yùn)算。

首先，對(duì)任意a+ub+vc+duv∈Fq[u,v],定義映射η:Fq[u,v]→Fq

其中a,b,c,d∈Fq.

于是有：

一般來(lái)說(shuō)，C 的像碼Φ(C)不一定是線(xiàn)性的。故不能在圖的右端加上一個(gè)箭頭使之保持聯(lián)通性，即Φ(C)⊥不一定與Φ(C)⊥等價(jià)。但當(dāng)q是2 的方冪時(shí)，則它們一定是相等的(見(jiàn)[9])。為了討論加性碼在上述Gray 映射Φ 下的MacWilliams 恒等式，下面令q是2 的方冪。

定理2令q是2 的方冪，C 是FqFq[u,v]-加性碼，C⊥是C 的對(duì)偶碼，那么Φ(C⊥)=Φ(C)⊥.

證明不失一般性，對(duì)

3 MacWilliams 恒等式

令C 是FqFq[u,v]-加性碼，長(zhǎng)度n=α+β.定義碼C 的前α部分為CX,后β部分為CY.設(shè)γ是碼字中的任一元素，對(duì)?x=(x1,x2,…,xα)∈CX,定義x在γ處的重量 為ωγ(x)= |{i|xi=γ,1 ≤i≤α} |;對(duì)?y=(y1,y2,…,yβ)∈CY,定 義y在γ處的重量為ωγ(y)= |{i|yi=γ,1 ≤i≤β} |.

定義4定義FqFq[u,v]-加性碼的完全重量計(jì)數(shù)器為如下的齊次多項(xiàng)式：

定義5令A(yù)i表示碼C 中Lee 重量是的元素個(gè)數(shù)，那么C的Lee 重量分布{A0,A1,…,Aα+4β}定義C 的Lee 重量計(jì)數(shù)器為：

定義C 的Hamming 重量計(jì)數(shù)器為：

對(duì)?c∈C,令S0,S1分別表示c的前半部分，即Fq部分中Hamming 重量為0,1 的個(gè)數(shù)；令T0，T1，T2，T3，T4分別表示c的后半部分，即Fq[u,v]部分中Lee 重量為0,1,2,3,4 的個(gè)數(shù)。那么，由定理1，有

下面，定義C 的對(duì)稱(chēng)重量計(jì)數(shù)器為：

對(duì)上述定義的重量計(jì)數(shù)器，有如下的結(jié)論。

定理3令C 是環(huán)FqFq[u,v]上長(zhǎng)度n=α+β的加性碼，那么有

證明(1)由對(duì)稱(chēng)重量計(jì)數(shù)器的定義，有

(2)由對(duì)稱(chēng)重量計(jì)數(shù)器的定義，有

定義 6設(shè)?x=a+bu+cv+duv∈Fq[u,v],a,b,c,d∈Fq,定義其在FqFq[u,v]上的特征：

如上定義的特征函數(shù)是非平凡的(見(jiàn)[20])。

為了研究下面的MacWilliams 恒等式，需要引入以下的Hadamard 變換。

顯然這兩個(gè)方面結(jié)果完全一致。

4 總結(jié)

本文研究了環(huán)FqFq[u,v]上加性碼的Lee 重量計(jì)數(shù)器，Hamming 重量計(jì)數(shù)器和對(duì)稱(chēng)重量計(jì)數(shù)器。通過(guò)建立從到的保重量和保距離的Gray 映射，當(dāng)q是2 的方冪時(shí)，獲得了環(huán)FqFq[u,v]上加性碼與其對(duì)偶碼之間關(guān)于Lee 重量的MacWilliams 恒等式。