鄧小康，張 其

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430065)

在懸索橋空纜狀態(tài)下，如果主、散索鞍不預(yù)偏，索鞍兩側(cè)將會存在巨大的不平衡力，在索塔底部產(chǎn)生很大的彎矩，影響橋梁結(jié)構(gòu)安全[1-2]。因此主、散索鞍預(yù)偏量的確定對于保證懸索橋的施工安全具有重大意義[3-4]。

對于懸索橋索鞍預(yù)偏量的計算，許多學(xué)者提出了不同的算法，主要有數(shù)值解析法和非線性有限元法。相對于非線性有限元法，數(shù)值解析法能夠考慮更多細節(jié)因素，求解更為精確，計算量較小，收斂速度快。本文主要研究數(shù)值解析法求解索鞍預(yù)偏量，文獻[5]先對每個鞍座的預(yù)偏量假定一個初值，然后計算各索鞍兩側(cè)的主纜線形及主纜內(nèi)力的不平衡分力，再由不平衡力和索鞍滑移剛度的關(guān)系求得預(yù)偏量的調(diào)整值，不斷循環(huán)使索鞍兩側(cè)的主纜內(nèi)力達到平衡。文獻[6]則先給每個索鞍預(yù)偏量賦初值，計算索鞍不平衡力系數(shù)，再給索鞍預(yù)偏量以不同的增量，調(diào)整索鞍不平衡力系數(shù)，使其精度滿足要求。上述兩者都是對預(yù)偏量賦初值，并且通過迭代不斷調(diào)整初值使得索鞍的受力滿足要求最終求得預(yù)偏量。方法所不同的只是對初值迭代調(diào)整的方法存在差異，兩種方法在考慮主、散索鞍的耦合效應(yīng)時需要不斷試算主、散索鞍的平衡條件，由此計算出主、散索鞍的預(yù)偏量，存在運算復(fù)雜，迭代效率較低的問題。文獻[7]以成橋狀態(tài)的不動點間無應(yīng)力長度為計算條件，對空纜狀態(tài)下索鞍受力進行分析，建立了主索鞍及主纜的11個非線性方程組，解方程組得出主索鞍的預(yù)偏量。文獻[8]通過主纜線形基本方程、無應(yīng)力長度不變、高差閉合條件得出空纜線形從而得出主索鞍的預(yù)偏量。文獻[7-8]雖然推導(dǎo)出了主索鞍偏移的非線性方程組，都是針對主索鞍預(yù)偏量的算法，沒有考慮散索鞍和主索鞍偏移之間的耦合關(guān)系。

基于此，本文提出了一種索鞍預(yù)偏量計算的改進算法，算法考慮主索鞍和散索鞍的耦合效應(yīng)，對索鞍和主纜進行分析，利用索鞍兩側(cè)平衡條件和變形相容條件建立方程組[9-10]，采用牛頓-拉斐森迭代算法求解非線性方程組得到主、散索鞍的預(yù)偏量，方法具有計算過程簡便，收斂性好的特點。

1 主纜受力分析[11]

本文在前期研究過程中，推導(dǎo)了懸索橋主纜線形的統(tǒng)一懸鏈線方程和無應(yīng)力索長計算公式。

主纜線形計算模型及索段劃分示意見圖1。圖1中，主纜以最低點o為原點建立坐標系，y軸豎直向上，左邊x軸水平向左，右邊x軸水平向右。假定在無應(yīng)力狀態(tài)下主纜的橫截面面積為A0，沿索長均布的主纜自重荷載為q0；在有應(yīng)力狀態(tài)下，主纜的橫截面面積變?yōu)锳，沿索長方向的主纜自重荷載變?yōu)閝。設(shè)E為主纜所用材料的彈性模量，H為索段上任一點索力的水平分力。

圖1 主纜線形計算模型及索段劃分示意

則其考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度的影響時的主纜線形方程為

(1)

(2)

索段i的無應(yīng)力索長為

(3)

式中：zH(i)為索段i最高點的斜率；zL(i)為最低點的斜率。

2 主、散索鞍平衡條件的選取

索鞍預(yù)偏是為了使空纜狀態(tài)下索鞍兩側(cè)保持一定的平衡關(guān)系。

文獻[12]對索鞍處的理想平衡條件進行了詳細分析，其認為主索鞍的平衡條件有兩側(cè)主纜索力相等、主纜索力水平分力相等、主纜沿鞍座滑移面的分力相等三種。本文選取橋塔上的主索鞍兩側(cè)主纜水平分力相等(由于塔頂水平，對一般主索鞍來說，這樣也能保證沿滑移面的分力相等)這個平衡條件。

國內(nèi)懸索橋散索鞍有擺軸式和滾軸式兩種，其結(jié)構(gòu)形式相似，限于篇幅，本文計算和分析時都采用滾軸式散索鞍(滑動式散索鞍)[13]。參照文獻[1]，選取散索鞍兩側(cè)主纜沿滑移面的分力相等這個平衡條件進行分析。擺軸式散索鞍的計算方法和滾軸式類似，僅是平衡狀態(tài)時采用的是彎矩平衡[14]。

3 考慮主、散索鞍耦合效應(yīng)的預(yù)偏方程組建立

以單圓曲線索鞍為例，主索鞍和散索鞍預(yù)偏量的計算示意圖見圖2(取對稱結(jié)構(gòu)的一半進行分析)。

圖2 索鞍預(yù)偏量計算整體計算示意

計算過程的已知條件可歸納如下：

(1)成橋狀態(tài)下主跨主索鞍不動點至跨中的水平距離L1，該段主纜無應(yīng)力長度S1，主索鞍不動點和圓心連線與過圓心鉛垂線的夾角γ1，主索鞍的半徑為R1。

(2)成橋狀態(tài)下邊跨主索鞍不動點至散索鞍不動點水平距離L2、豎直距離h1，該段主纜無應(yīng)力長度S2，散索鞍不動點和圓心連線與過圓心鉛垂線的夾角γ2，散索鞍的半徑為R2。

(3)成橋狀態(tài)下錨跨散索鞍不動點至錨固點的距離L3、豎直距離h2，該段主纜無應(yīng)力長度S3，散索鞍滑移面的角度φ。

全橋未知參數(shù)共有10個，分別為：

空纜狀態(tài)下主索鞍主跨側(cè)切點斜率z1、主索鞍邊跨側(cè)切點斜率z2、散索鞍邊跨側(cè)切點斜率z3、散索鞍錨跨側(cè)切點斜率z4、主纜錨固點斜率z5，空纜狀態(tài)下主纜主跨段水平張力H1、邊跨段水平張力H2、錨跨段水平張力H3，與成橋狀態(tài)相比空纜狀態(tài)主索鞍的偏移量Δx，散索鞍沿滑移面的偏移量Δl。參數(shù)示意見圖2、圖3。

圖3 主索鞍、散索鞍參數(shù)示意

將角度均表示為弧度的形式，對主跨有

R1(sinγ1+sinarctanz1)=L1+Δx

(4)

(5)

同理，對邊跨有

R1(cosγ1-cosarctanz2)+R2(cosarctanz3-

cosγ2)=h1+Δlsinφ

(6)

sinγ1)+R2(sinγ2-sinarctanz3)=

L2+Δlcosφ-Δx

(7)

R2(γ2-arctanz3)=S2

(8)

對錨跨有

R2(cosγ2-cosarctanz4)=h2-Δlsinφ

(9)

sinarctanz4)=L3-Δlcosφ

(10)

(11)

對主索鞍和散索鞍的平衡條件為

H1=H2

(12)

H2(cosφ+z3sinφ)=H3(cosφ+z4sinφ)

(13)

需要注意的是，以上主纜與索鞍之間的幾何關(guān)系可能會隨著索鞍的半徑有所變化。編制程序時，可通過求得的索鞍切點、圓心之間的關(guān)系進行選擇判斷。

式(4)～式(13)共10個方程，組成一個10元非線性方程組，解出方程組即可得滿足節(jié)平衡條件的空纜線形及索鞍偏移量，可采用牛頓-拉斐森迭代法求解該方程組。

4 利用牛頓-拉斐森算法求解索鞍預(yù)偏方程組

4.1 解索鞍預(yù)偏方程的牛頓-拉斐森算法

將式(6)～式(15)改寫為

fi(x1，x2，…，x10)=fi(z1，z2，z3，z4，z5，

H1，H2，H3，Δx，Δl)=0i=1，2，…，10

(14)

用向量X記以xi為分量的矢量，F(xiàn)記以fi為分量的矢量，則在某一X連續(xù)的鄰域內(nèi)，將fi的Talor級數(shù)展開為

fi(X+δX)=

(15)

式中：O(δX2)為高階微量，可忽略。式中的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣為Jacobi矩陣，可知

(16)

則可得迭代公式為

(17)

Xk=Xk-1+δXk

(18)

式中：k為迭代的次數(shù)。

本文編程計算過程如下：

Step1選取初值X0，X0為

(19)

設(shè)定求解的精度ε，同時給k賦值k=1。

Step2計算Di=-fi(Xk-1)，i=1，2，…，10，當max|Di|≤ε并滿足約束條件時，則方程的解為

(20)

則Step2計算結(jié)束。當不滿足精度要求時，進入Step3。

Step3由式(16)計算Jacobi矩陣，并由式(17)計算調(diào)整值，由式(18)計算調(diào)整后的X。重復(fù)上述步驟，直至精度滿足要求為止。

主、散索鞍預(yù)偏量算法流程見圖5。

圖5 主、散索鞍預(yù)偏量算法流程

如此，便求出了空纜狀態(tài)下主索鞍和散索鞍的預(yù)偏量，上述計算過程同時還求出了空纜狀態(tài)下主纜的線形和內(nèi)力。

4.2 Jacobi矩陣的推導(dǎo)

對式(4)～式(13)，令矩陣F中的元素分別為

R1(sinγ1+sinarctanz1)-L1-Δx

(21)

(22)

R2(cosarctanz3-cosγ2)-h1-Δlsinφ

(23)

R1(sinarctanz2-sinγ1)+R2(sinγ2-

sinarctanz3)-L2-Δlcosβ+Δx

(24)

R2(γ2-arctanz3)-S2

(25)

R2(cosγ2-cosarctanz4)-h2+Δlsinφ

(26)

L3+Δlcosφ

(27)

(28)

F9=H1-H2

(29)

F10=H2(cosφ+z3sinφ)-

H3(cosφ+z4sinφ)

(30)

由式(18)可得Jacobi矩陣為

J=[Jij]10×10

(31)

式中：

(32)

(33)

0 0 -sinφ]

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

J9j=[1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0]

(40)

J10j=[0 0H2sinφ-H2sinφ0 0 cosφ+

z3sinφ-(cosφ+z4sinφ) 0 0]

(41)

4.3 初值X0的選取原則

在采用牛頓-拉斐森迭代法求解非線性方程組時，初值的選取非常重要，當初值偏離真實解太遠時，計算過程甚至有可能不收斂。

本文采用如下方法選取計算初值：

按成橋狀態(tài)索鞍的位置求解出成橋狀態(tài)下主纜的線形和內(nèi)力，分別將此時主、散索鞍兩邊切點的斜率和錨固點的斜率作為z1、z2、z3、z4、z5的初值，將此時主纜在各段的水平張力作為H1、H2、H3的初值，主索鞍偏移量Δx的初值可取為1.0 m，散索鞍沿滑移面偏移量Δl的初值可取為0.1 m。再采用同倫延拓法幫助牛頓拉斐森算法產(chǎn)生一個好的初值，以降低初值選取對牛頓-拉斐森迭代法收斂性的影響程度。

因此構(gòu)造H(X,s)函數(shù)為

H(X,s)=Hi(x1，x2，…，x10，s)=

sF(X)+(1-s)F0(X)i=1，2，…，10

(42)

式(42)中s的取值范圍為[0，1]，且F(X)函數(shù)與原函數(shù)F0(X)同倫。

F0(X)=F(X)-F(X0)

(43)

式(43)中X0即選取的初值，將式(43)代入式(42)可得

(44)

此時，H(X，s)函數(shù)與F(X)函數(shù)導(dǎo)數(shù)相同，在牛頓迭代過程中，用構(gòu)造函數(shù)H(X，s)代替F(X)。計算結(jié)果表明，這樣設(shè)置，一般可保證方程組快速收斂。

5 算例

某懸索橋主纜橫截面面積為1.488 m2，主纜鋼材的彈性模量E=2.0×105MPa，2根主纜沿索長均布的自重荷載集度之和為116.03 kN/m。主索鞍、散索鞍的曲線半徑分別為10.57、7.5 m。成橋狀態(tài)下主跨側(cè)主纜在主索鞍不動點與主跨跨中之間的無應(yīng)力長度為870.976 45 m,水平距離為849.972 9 m，主索鞍不動點和主索鞍圓曲線圓心連線與過圓心鉛垂線的夾角為0.024 184 46 rad。成橋狀態(tài)下邊跨側(cè)主纜在主索鞍不動點與散索鞍不動點之間的無應(yīng)力長度為510.043 6 m，水平距離為465 m，高差為220.3 m，散索鞍不動點和散索鞍圓曲線圓心連線與過圓心鉛垂線的夾角為0.140 656 345 rad。成橋狀態(tài)下錨跨側(cè)主纜在散索鞍不動點與錨固點之間的無應(yīng)力長度為32.478 8 m，水平距離為25.279 5 m，豎直距離為21.212 0 m，散索鞍滑移面的傾斜角為31.961 5°。

按成橋狀態(tài)索鞍的位置計算得出主纜的線形和內(nèi)力，得到H1=248 126.1 kN，H2=994 935.83 kN，H3=833 210.26 kN，z1=0.405 118 89，z2=0.443 865 33，z3=0.444 249 17，z4=0.841 218 73，z5=0.836 818 85。

將此時的z1、z2、z3、z4、z5、H1、H2、H3作為初值，Δx的初值取為1 m，Δl的初值取為0.1 m，代入程序中計算得到的結(jié)果與采用文獻[6]的計算結(jié)果對比見表1。

表1 索鞍預(yù)偏量的計算結(jié)果

由表1可知，采用本文方法計算得出的主索鞍和散索鞍預(yù)偏量和采用文獻[6]方法計算的結(jié)果基本一致，但文獻[6]方法在計算過程中需要不斷試算主、散索鞍的平衡條件，計算繁瑣。由表1還可以看出，采用本文方法和文獻[6]方法計算出的索鞍預(yù)偏量均能滿足主、散索鞍的平衡條件。

6 結(jié)論

(1)本文提出一種考慮主、散索鞍耦合效應(yīng)的索鞍預(yù)偏量改進算法。算法基于對主纜和索鞍的力學(xué)及幾何關(guān)系分析，推導(dǎo)出一個十元非線性方程組，采用牛頓-拉斐森法求解方程組，即可同時得到主、散索鞍的預(yù)偏量，力學(xué)概念清晰，求解簡單。

(2)本文還給出了牛頓-拉斐森法求解方程組時初值的選取方法。按成橋狀態(tài)索鞍的位置求出各點斜率以及水平分力，由此作為斜率和水平分力的計算初值，主索鞍偏移量的初值可取為1.0 m，散索鞍沿滑移面偏移量的初值可取為0.1 m。這樣設(shè)置，一般可保證算法快速收斂。

(3)算例表明，本文方法計算出的索鞍預(yù)偏量滿足索鞍平衡條件的要求，計算精度較高。該算法適用于平面纜索懸索橋索鞍預(yù)偏量的計算。