□ 郜舒竹

長期以來，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容表現(xiàn)出的特點(diǎn)是“高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓耘c準(zhǔn)確性、廣泛的應(yīng)用性”，這使得數(shù)學(xué)成為枯燥、難學(xué)與難教的同義語。針對此，人們對數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的認(rèn)識逐漸出現(xiàn)了“生活化”的傾向。教科書與課堂教學(xué)中充滿了與物質(zhì)生活息息相關(guān)的內(nèi)容，“為了生活”而學(xué)的說法愈發(fā)盛行。熟悉的生活情境對于學(xué)生的認(rèn)知是必要的，但并非是充分的。在“素養(yǎng)導(dǎo)向、育人為本”理念的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)還需要讓學(xué)生體驗(yàn)并感悟精神生活的“人文性（Humanity）”。而對“美（Beauty）”的鑒賞與創(chuàng)造，是人文性的重要方面。

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，很多的研究及其成果并非為了滿足物質(zhì)生活的需求與應(yīng)用，而是數(shù)學(xué)家對美的鑒賞與創(chuàng)造，是精神世界的追求與獲得，是人心智中情感的力量。如果說數(shù)學(xué)的“邏輯（Logic）”強(qiáng)調(diào)概念、判斷和推理，是對“真（Truth）”的追求，那么對美的鑒賞與創(chuàng)造則指向人“情感（Sensibility）”的愉悅。不僅如此，它還對數(shù)學(xué)研究過程與結(jié)果的選擇、評價(jià)、生成具有導(dǎo)向作用，對喚起進(jìn)一步研究的動機(jī)有促進(jìn)作用。20世紀(jì)英國數(shù)學(xué)大師戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）在《一位數(shù)學(xué)家的辯白》一書中說：“一個(gè)數(shù)學(xué)家，就像一個(gè)畫家或詩人，是‘模式（Pattern）’的制造者。這樣的模式之所以能夠持久，因?yàn)樗怯伞敕ǎ↖dea）’構(gòu)成的模式……數(shù)學(xué)的模式，就像圖畫和詩歌，必須是美的。想法，就像圖畫中的顏色或詩歌中的文字，必須以和諧的方式‘契合（Fitting Together）’?！?/p>

哈代把數(shù)學(xué)的美視為“想法的契合”，這與蘇格蘭哲學(xué)之父弗蘭西斯·哈奇森（Francis Hutcheson，1694—1746）所描繪的美的標(biāo)準(zhǔn)相近，哈奇森認(rèn)為一切的美都蘊(yùn)含著“異中之同（Uniformity amidst Variety）”。繁雜中的一致、運(yùn)動與變化中的不變等，都可以認(rèn)為是“異中之同”，就像衣服穿在人身上如果很合適，那么身體與衣服二者就是和諧的契合，就顯得美，因?yàn)樯眢w與衣服的相關(guān)部分存在著諸多的異中之同。

當(dāng)然，哈代所說的契合的對象是非物質(zhì)的，是心智中已有或生成的想法。那么這樣和諧的契合具體會表現(xiàn)為什么形式？大衛(wèi)·威爾（David Well）對一些數(shù)學(xué)家的調(diào)查結(jié)果顯示，普遍認(rèn)同的數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是簡單（Simplicity）、清晰（Brevity）和意外（Unexpected）。

比如，用加的想法計(jì)算“1+3+5”，得到的結(jié)果是“9”，而用乘的想法知道“9=3× 3”。兩個(gè)想法建立起聯(lián)系，成為一個(gè)模式：1+3+5=3×3。這就是兩個(gè)想法的契合。如果畫出包含9 個(gè)小方格的正方形，方格總數(shù)是3×3（如圖1）。自下而上看，方格總數(shù)是“1+3+5”，與3× 3 在一張圖中完美地契合，給人帶來簡單、清晰和意外的感覺，同時(shí)人們還會產(chǎn)生進(jìn)一步探究連續(xù)奇數(shù)求和的動機(jī)。關(guān)于數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式的認(rèn)識與表述存在著主觀的差異性，比如還有“意外的簡單和必然（Unexpected Simplicity and Inevitability）”，以及“最小的完備和最大的適用（Minimal completeness/Maximal applicability）”等說法。

圖1

總之，對數(shù)學(xué)之美的鑒賞不僅是視覺的感受，更是思維與情感相互作用的過程與結(jié)果，給人帶來的是情感的體驗(yàn)、愉悅和滿足，會進(jìn)一步促進(jìn)思維活動的發(fā)展。學(xué)數(shù)學(xué)不僅是為了掌握生活的技能，更是為了體驗(yàn)精神世界的人文性。將美的元素融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與教學(xué)，讓學(xué)生有機(jī)會鑒賞、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的美，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中“智育”與“美育”的融合，這應(yīng)成為新時(shí)代數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的目標(biāo)之一。