馬茂年

摘? 要：以人教A版教材“函數(shù)模型的應(yīng)用”中例5和例6的教學(xué)設(shè)計為例，闡述在教學(xué)中通過整體化解讀教材內(nèi)容、整體化分析學(xué)情、整體化設(shè)計教學(xué)流程優(yōu)化教學(xué)過程，通過提出問題、分析問題、解決問題的結(jié)構(gòu)設(shè)計教學(xué)過程，通過開放性問題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，從知識、方法、思想三個方面對課堂進行歸納總結(jié)和提煉升華.

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型;整體設(shè)計;結(jié)構(gòu)設(shè)計

眾所周知，數(shù)學(xué)知識間相互聯(lián)系，具有很強的整體性與連續(xù)性. 教師在進行教學(xué)分析時不能簡單停留在對某節(jié)課教材文本的解讀上，而是要站在知識系統(tǒng)的高度，開展“整體化”教學(xué)分析. 具體而言，就是站在章節(jié)、模塊甚至數(shù)學(xué)課程的高度去認識教學(xué)內(nèi)容，全面整合教材，連貫理解目標，突出學(xué)科知識的系統(tǒng)性和教學(xué)的方向性，從而形成有生命的、有靈魂的整體的知識. 課堂教學(xué)設(shè)計則要求教師系統(tǒng)而全面地關(guān)注和解析教學(xué)的方方面面，包括教學(xué)目標和內(nèi)容設(shè)計、教學(xué)起點設(shè)計、教學(xué)方法和教學(xué)媒體選用設(shè)計、教學(xué)評價設(shè)計、課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計等. 那么，我們應(yīng)該怎樣進行整體化課堂教學(xué)設(shè)計呢？筆者以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊中的“函數(shù)模型的應(yīng)用”中的例5和例6的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中教師應(yīng)該如何著眼于“引”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，如何讓學(xué)生著眼于“探”，自主合作探究知識，廣泛交流，不拘于“標準答案”的局限，感受探究推理過程中的數(shù)學(xué)樂趣，引領(lǐng)學(xué)生智慧地穿越知識的“原野”.

一、整體化解讀教材內(nèi)容

整體化解讀教材內(nèi)容不僅要吃透教材，而且要尋找教學(xué)的重點和難點，尋找并識別適合學(xué)生認知規(guī)律的教材因素. 在此基礎(chǔ)上選擇、組織需要講授的內(nèi)容. 解讀并分析教材內(nèi)容還要注意研究教材的學(xué)科學(xué)習(xí)方法，因為在教學(xué)過程中傳授必要的學(xué)科學(xué)習(xí)方法是非常重要的. 從提出問題到假設(shè)再到提出模型確定研究對象，通過實驗或?qū)嵗箤W(xué)生形成表象，再進行抽象概括，形成概念、規(guī)律、方法等，有其自身特殊的規(guī)律. 通過解讀和分析教材，確定有效的教學(xué)目標. 課堂教學(xué)目標的作用在于心理學(xué)與課堂教學(xué)的整合，即導(dǎo)向—外顯、起動—溝通、凝聚—合作. 一個有效的教學(xué)目標有助于教學(xué)內(nèi)容的組織、教學(xué)材料的選擇、教學(xué)方法的調(diào)適和教學(xué)手段的優(yōu)化，從而減少教學(xué)過程中的盲目性和隨意性.

“函數(shù)模型的應(yīng)用”中的例5和例6是第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”的結(jié)尾課. 該課中學(xué)生將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程，從而在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，認識各種函數(shù)存在增長的差異，理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義，認識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法，感受數(shù)學(xué)建模的思想.

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容如表1所示.

教學(xué)重點是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義. 教學(xué)難點是怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析并解決實際問題. 在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)及基本初等函數(shù). 本節(jié)課的內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型的綜合應(yīng)用. 從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學(xué)習(xí)的幾種基本初等函數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用;從思想方法上看，本節(jié)課是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化，也為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)和運用各種不同的函數(shù)模型解決問題奠定基礎(chǔ). 因此，本節(jié)課的內(nèi)容既是第四章學(xué)到的一些基本初等函數(shù)知識的綜合呈現(xiàn)，又是函數(shù)建模學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著承前啟后的作用.

二、整體化分析學(xué)情

學(xué)生既是學(xué)習(xí)的主體，又是自主發(fā)展的主體. 教師要充分尊重學(xué)生的主體性和差異性，根據(jù)學(xué)生已有的水平來設(shè)計教學(xué). 教師還要全面了解學(xué)生心理發(fā)展的一般特點，并以學(xué)生的心理特點為依據(jù)，選擇相應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)媒體，安排不同的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，營造適合學(xué)生內(nèi)在條件的外部環(huán)境. 教師要通過測驗、談話等方式關(guān)注學(xué)生的知識表征和能力水平，悉心觀察、關(guān)注學(xué)生活動，不斷研究怎樣才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)進入最佳狀態(tài).

本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，他們正處在初、高中銜接階段. 從知識的起點上看，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)及基本初等函數(shù)，對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一定的知識基礎(chǔ);從學(xué)生的能力上看，高一學(xué)生的邏輯思維能力比初中階段有所增強，但其抽象思維能力仍然薄弱，對理解指數(shù)函數(shù)的指數(shù)爆炸存在困難;從學(xué)生的情感上看，高一學(xué)生探究性強，希望探索新事物. 因此，在教學(xué)時，教師要充分利用圖象引導(dǎo)學(xué)生體會各類函數(shù)模型的增長情況，幫助學(xué)生建構(gòu)新知.

三、整體化設(shè)計教學(xué)過程

設(shè)計符合學(xué)生心理活動規(guī)律的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，使課堂教學(xué)適應(yīng)學(xué)生的認識發(fā)展規(guī)律和心理活動規(guī)律，很有必要. 運用認知沖突、表揚、鼓勵等方式，使課堂教學(xué)活動適應(yīng)學(xué)生的心理狀態(tài)的需要，從而達到教學(xué)和學(xué)生心理活動的同步發(fā)展. 課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計應(yīng)該注意針對性和適應(yīng)性，即把握教材的特點并注重學(xué)生的實際能力和水平. 可以針對不同層次、不同學(xué)習(xí)特點的學(xué)生設(shè)計層次分明、教學(xué)策略各異的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu). 設(shè)計課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)要關(guān)注各個環(huán)節(jié)之間聯(lián)系及銜接的自然性，各環(huán)節(jié)之間協(xié)調(diào)有序，從而組成具備整體性功能的有機結(jié)構(gòu). 成功的教學(xué)設(shè)計，是課堂教學(xué)成功的關(guān)鍵. 本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計如圖1所示.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，感受新知

（1）引入情境，提出問題.

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由幾只發(fā)展到幾億只？

澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中的一種增長現(xiàn)象：在理想條件（食物或養(yǎng)料充足、空間條件充裕、氣候適宜、沒有天敵等）下，種群在一定時期內(nèi)呈指數(shù)增長.

問題2：你還能舉出生活中的其他增長的例子嗎？

（2）引出函數(shù)模型.

在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上，引出各種不同類型的函數(shù)增長模型.

（3）揭示課題.

幾類不同增長的函數(shù)模型.

【設(shè)計意圖】運用生活實際創(chuàng)設(shè)問題情境，感知兔子種群的增長情況，產(chǎn)生應(yīng)用函數(shù)的需要，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 實例遞進，建立模型

（1）提出問題.

例1 （原例5）某公司為了鼓勵員工提高業(yè)績，對工作優(yōu)秀的員工進行獎勵，但是員工每個月的獎金不得超過[3 000]元. 現(xiàn)制定以下三個方案.

方案1：每個月獎勵400元.

方案2：第一個月獎勵100元，以后每個月比前一個月多獎勵100元.

方案3：第一個月獎勵40元，以后每天的獎勵比前一個月翻一番.

如果你是公司管理層，你會選擇哪種方案？如果你是公司員工呢？

（2）分析問題.

① 引導(dǎo)審題，抓住比較因素.

問題3：你選擇哪個獎金方案？怎樣比較不同方案獎金的多少？

從解決問題的角度來看：比較三種方案下的每月獎金;比較三種方案在一年內(nèi)的累計獎金.

② 引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.

僅從月獎金的角度引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系歸納、概括相應(yīng)的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.

【設(shè)計意圖】引發(fā)學(xué)生思考，使他們經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程.

累計回報的本質(zhì)是數(shù)列求和問題，由于學(xué)生目前的知識儲備還不夠，僅要求學(xué)生通過列表計算、圖象觀察對函數(shù)模型進行判斷和選擇.

3. 組織探究，解決問題

（1）教師提出問題.

問題4：如果你是公司管理層，你會選擇哪種方案？如果你是公司員工呢？用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)你的理由.

（2）學(xué)生分組操作，比較不同增長.

解決問題的方式：用解析法確定函數(shù);用列表法比較;畫出函數(shù)圖象進行分析.

（3）不同身份，產(chǎn)生分歧.

由學(xué)生回答問題4，教師總結(jié)：公司管理層希望的獎金方案是方案1和方案2，但是由于方案1每月獎金沒有增長，不利于調(diào)動員工工作的積極性，所以公司管理層傾向于選擇方案2;公司員工傾向于選擇方案3.

（4）折中方案，解決問題.

問題5：公司管理層和公司員工會由于利益不同選擇不同方案. 為了權(quán)衡公司和員工的共同利益，有沒有其他方案？

總結(jié)學(xué)生答案，教師引出對數(shù)函數(shù)模型，并畫出對數(shù)函數(shù)圖象綜合對比分析，最終確定對數(shù)函數(shù)模型符合公司管理層和公司員工的共同利益，是最終選擇的方案.

【設(shè)計意圖】學(xué)生能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，促進了學(xué)生的合作探究和動手實踐. 同時，促進學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—完善方案—解決問題”的過程，使學(xué)生感受到對數(shù)函數(shù)的增長與指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增長之間的區(qū)別，提升了學(xué)生解決問題的能力.

4. 成果交流，階段小結(jié)

（1）學(xué)生交流.

讓學(xué)生交流小組探究的成果（表格、圖象、結(jié)論）.

（2）師生互動.

教師通過多媒體動態(tài)演示，讓學(xué)生進一步體會不同函數(shù)模型的增長之間的差異. 在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點. 當自變量變得很大時，指數(shù)函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)要快得多，而對數(shù)函數(shù)在兩者之間，呈平緩增長.

（3）歸納小結(jié).

① 通過小結(jié)，增強學(xué)生對增長差異的認識，如表2所示.

② 通過將實際問題中的數(shù)量關(guān)系抽象、概括成一個函數(shù)問題，借助解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)表達形式，解決了上述問題.

【設(shè)計意圖】分享學(xué)生成果，實現(xiàn)生生互動、師生互動;借助多媒體展示，幫助學(xué)生理解不同增長函數(shù)模型的增長差異，同時初步體驗數(shù)學(xué)建模的基本思想，認識函數(shù)問題的研究方法.

5. 深入探究，理性分析

（1）提出問題.

例2 （原例6）某公司為了實現(xiàn)[1 000]萬元利潤的目標，準備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%. 現(xiàn)有三個獎勵模型：[y=0.25x]，[y=log7x+1]，[y=1.002x]. 哪個模型能符合公司的要求？

（2）引導(dǎo)分析.

問題6：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？

問題7：公司的要求意味著怎樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？

問題8：提供的三個增長型函數(shù)中，哪一個符合限制條件？

（3）解決問題.

① 通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異.

② 結(jié)合限制條件，進行初步選擇.

③ 通過計算，進一步確認，驗證所得結(jié)論.

④ 再次體會對數(shù)增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長.

⑤ 揭示函數(shù)問題的研究方法，即觀察—歸納—猜想—證明.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在觀察和探究的過程中學(xué)會理性分析，并再次體會對數(shù)函數(shù)模型增長的特點.

對于判斷模型[y=log7x+1]是否滿足限制條件[log7x+][1≤0.25x]，考慮到學(xué)生當前的知識儲備和接受水平，采用直觀教學(xué)，通過構(gòu)造新函數(shù)并觀察新函數(shù)的圖象來解決（因為該函數(shù)單調(diào)性的判定必須運用高二學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)知識與方法才能解決）.

6. 拓展延伸，函數(shù)擬合

（1）教師提出問題.

這個獎勵方案實施以后，立刻調(diào)動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上. 但是隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.

問題9：之前的獎勵方案有什么弊端？

問題10：你能否設(shè)計出更合理的獎勵方案模型？

（2）例2的拓展延伸.

為了實現(xiàn)[1 000]萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元后，按銷售利潤進行獎勵，且獎金[y]（單位：萬元）隨著銷售利潤[x]（單位：萬元）的增加而增加，要求如下：10萬 ～ 50萬，獎金不超過2萬;50萬 ～ 200萬，獎金不超過4萬;200萬 ～ 1 000萬，獎金不超過20萬.

選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，思考其定義域，并用圖象表達你的設(shè)計方案. 四人一組，合作完成.

【設(shè)計意圖】設(shè)計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學(xué)生對不同函數(shù)模型增長差異的掌握情況，又鼓勵了學(xué)生學(xué)以致用、用以致優(yōu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

（3）兔子的故事的拓展延伸.

問題11：還記得剛開始上課時介紹的兔子嗎，它展現(xiàn)出的是在理想條件下兔子的增長情況，但是兔子的數(shù)量會一直呈指數(shù)增長嗎？

學(xué)生思考，教師總結(jié)：一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足、空間條件充裕、氣候適宜、沒有天敵等）下，種群在一定時期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線，如圖2所示;在有限制的環(huán)境（空間有限、食物有限、有捕食者存在等）中，種群增長到一定程度后不再增長，增長曲線呈“S”型（種群增長符合Logistic阻滯增長模型），如圖3所示.

7. 歸納總結(jié)，提煉升華

問題12：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？從知識、方法、思想三個方面進行歸納總結(jié).

教師與學(xué)生一起歸納、總結(jié).

知識：對函數(shù)的性質(zhì)有了進一步了解，體會到同是增長型函數(shù)，但是不同函數(shù)模型之間有較大的增長差異：常數(shù)函數(shù)沒有增長;一次函數(shù)直線上升;指數(shù)函數(shù)爆炸增長;對數(shù)函數(shù)平緩增長.

方法：函數(shù)有三種表示方法，即解析法、列表法和圖象法;函數(shù)問題的一般研究方法是“觀察—歸納—猜想—證明”.

思想：兩道例題都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，即把實際問題數(shù)學(xué)化. 面對實際問題，要先讀懂問題，運用所學(xué)知識，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，最終得到實際問題的解.

【設(shè)計意圖】上述教學(xué)設(shè)計的最大優(yōu)點是充分兼顧知識的前后聯(lián)系，整體把握解析幾何教學(xué)的總體設(shè)計思想，在理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異的同時，提煉數(shù)學(xué)思想方法，認識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

正如美國學(xué)者加里·鮑里奇所說，系統(tǒng)的力量在于整體大于部分之和. 當我們沉浸于課堂教學(xué)設(shè)計時，除了要考慮教學(xué)目標的確定、教學(xué)內(nèi)容和方法的設(shè)計等之外，還要考慮如何在有效的教學(xué)時間內(nèi)使得各個教學(xué)環(huán)節(jié)和整個系統(tǒng)有機、和諧地運作. 教師要多問自己：這樣的教學(xué)設(shè)計可行嗎？這樣的教學(xué)設(shè)計究竟有利于教師的教還是學(xué)生的學(xué)？還有更恰當、更合適的教學(xué)設(shè)計嗎？這樣的教學(xué)設(shè)計可能會出現(xiàn)什么問題？若出現(xiàn)問題，該如何處理？

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.