摘? 要：聚焦“一題兩解”的邏輯與運(yùn)算，應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，探究數(shù)學(xué)運(yùn)算中的進(jìn)階要素和進(jìn)階策略，理解運(yùn)算對(duì)象，遷移運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)新運(yùn)算程式，為發(fā)展學(xué)生的高階思維提供可靠的“學(xué)習(xí)支架”.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;學(xué)習(xí)進(jìn)階;理解;遷移;創(chuàng)新

在課程改革的大背景下，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為高中數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》首次明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析. 其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算歷來是課程和教學(xué)的核心內(nèi)容，也是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要抓手.

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算和學(xué)習(xí)進(jìn)階

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)、式和量等運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行代換或變換，體現(xiàn)問題解決的過程. 數(shù)學(xué)運(yùn)算并不是一般意義上的數(shù)學(xué)計(jì)算，除了簡單的數(shù)字計(jì)算外，還有各類數(shù)學(xué)式子和方程的變形，以及極限、微積分、邏輯代數(shù)的運(yùn)算等. 數(shù)學(xué)運(yùn)算的邏輯序列包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果.

學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)習(xí)者在較大的時(shí)間跨度內(nèi)學(xué)習(xí)某一主題概念所遵循的連貫的、典型的學(xué)習(xí)路徑的描述，一般呈現(xiàn)為層次性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性的認(rèn)知序列. 學(xué)習(xí)進(jìn)階理論認(rèn)為，學(xué)生對(duì)于某一概念或規(guī)律的認(rèn)知不可能一蹴而就，必須以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為進(jìn)階起點(diǎn)，以預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)為進(jìn)階終點(diǎn)，期間經(jīng)歷許多不同的中間水平，即表征學(xué)生思維層級(jí)和學(xué)習(xí)水平的“階”. 數(shù)學(xué)運(yùn)算具有綜合性、系統(tǒng)性、層次性的特點(diǎn)，使學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展必定會(huì)經(jīng)歷由簡單到復(fù)雜、由低階到高階、由具體到抽象的過程，應(yīng)用學(xué)習(xí)進(jìn)階理論為學(xué)生的運(yùn)算思維向高階演進(jìn)提供可靠的“學(xué)習(xí)支架”，助力數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的自然拔節(jié).

二、“一題兩解”背后的邏輯和運(yùn)算

1. 進(jìn)階分析

（1）進(jìn)階起點(diǎn)分析.

理解運(yùn)算對(duì)象是實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算的前提，否則數(shù)學(xué)運(yùn)算就成為無源之水、無本之木. 題目涉及復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模;涉及共軛復(fù)數(shù)、相等復(fù)數(shù)之間的關(guān)系;涉及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模的有關(guān)性質(zhì);涉及共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系;涉及四元方程組、實(shí)系數(shù)一元二次方程、虛系數(shù)一元二次方程.

掌握運(yùn)算法則是實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ). 對(duì)于復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，比較直接的構(gòu)想是將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和模的幾何意義銜接起來，而利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)[z2=zz]來轉(zhuǎn)化值得重視;對(duì)于復(fù)數(shù)方程的處理，可以直接代入實(shí)部、虛部，依據(jù)復(fù)數(shù)相等的原則得到數(shù)量關(guān)系，也可以對(duì)等式兩邊同時(shí)取共軛復(fù)數(shù)或取模進(jìn)行轉(zhuǎn)化;對(duì)于求解復(fù)數(shù)的積，最常見的做法是分別求出兩個(gè)復(fù)數(shù)再求它們的積，也可以將復(fù)數(shù)的積視為整體直接求解.

經(jīng)過前期的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)具有零散的經(jīng)驗(yàn)，但是也存在一些迷思認(rèn)識(shí). 例如，復(fù)數(shù)的模的平方等于復(fù)數(shù)的平方，復(fù)數(shù)的和與差的模等于復(fù)數(shù)的模的和與差，復(fù)數(shù)范圍內(nèi)用判別式判斷一元二次方程的解的個(gè)數(shù)，題目有多余條件（提供三個(gè)方程只求兩個(gè)未知數(shù)），等等.

（2）進(jìn)階目標(biāo)預(yù)設(shè).

通過求解題目，學(xué)生應(yīng)該樹立自主探究運(yùn)算方向的意識(shí)，厘清問題的本質(zhì)在于解復(fù)數(shù)方程，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法、消元法、整體法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、配方法等運(yùn)算方法，能夠嘗試設(shè)計(jì)有效、恰當(dāng)、簡捷的運(yùn)算程序，并遷移至同類或相似的問題情境中，形成反思運(yùn)算結(jié)果的理性精神，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性和創(chuàng)造性.

2. 進(jìn)階層級(jí)預(yù)設(shè)

根據(jù)上述分析，題目教學(xué)應(yīng)聚焦問題的本質(zhì)，暴露學(xué)生的迷思，引發(fā)學(xué)生的思辨，提煉解決問題的一般思路和創(chuàng)新舉措，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展. 數(shù)學(xué)運(yùn)算在題目中的學(xué)習(xí)進(jìn)階層級(jí)如下表所示.

3. 進(jìn)階途徑與策略

為了完成層級(jí)一的進(jìn)階，可以改變問題的設(shè)問方式，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的執(zhí)著追求;為了實(shí)現(xiàn)層級(jí)二的進(jìn)階，有必要設(shè)置有梯度、有思維深度的算理問題，驅(qū)動(dòng)和引領(lǐng)學(xué)生思辨并體驗(yàn)解決方案的繁與簡，自覺遷移數(shù)學(xué)運(yùn)算的一般觀念，深度剖析簡化運(yùn)算的內(nèi)在邏輯;為了達(dá)成層級(jí)三的進(jìn)階目標(biāo)，數(shù)學(xué)運(yùn)算不能局限于思維活動(dòng)的“上半場”，可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較條件和結(jié)論的形式，通過自主聯(lián)想、合作交流、經(jīng)驗(yàn)迭代等方式，創(chuàng)新思維活動(dòng)的“下半場”，優(yōu)化運(yùn)算程序，拓寬運(yùn)算視界.

4. 教學(xué)實(shí)踐片斷

（1）認(rèn)知沖突，深化理解.

師：基于以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你能說說這是一個(gè)什么類型的問題嗎？

生1：我感覺就是一個(gè)解方程組的問題，只不過是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解，兩個(gè)未知數(shù)[z1，z2]與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的[x，y]一樣.

師：有道理！請(qǐng)大家仔細(xì)看一看條件，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我有個(gè)疑問. 為什么只有兩個(gè)未知數(shù)，卻提供了三個(gè)方程呢？是不是條件多余呢？

一石激起千層浪！學(xué)生紛紛交流討論.

師：誰能解釋其中的原因嗎？

師：考慮得很深刻！其實(shí)問題的本質(zhì)是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解二元方程組，而復(fù)數(shù)實(shí)際上是一個(gè)“二元數(shù)”，通過設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)的代數(shù)式，代入三個(gè)關(guān)系式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)相等的概念，就可以將該復(fù)數(shù)方程組轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)含有四個(gè)關(guān)系式的四元二次方程組.

進(jìn)階評(píng)估：在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)問，直抵問題的本質(zhì). 通過認(rèn)知沖突，營造“憤”“悱”之境;通過聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，祛除迷思干擾，同化原有認(rèn)知，進(jìn)而深刻理解運(yùn)算對(duì)象.

3. 注重素養(yǎng)融合

基于兩種解法的比較分析，我們深感數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)“你中有我，我中有你”. 它們相互融合，既各有側(cè)重，又和諧統(tǒng)一. 生4的解法中對(duì)運(yùn)算復(fù)雜程度的預(yù)估體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算與代數(shù)直觀的密切相關(guān);生5的解法中“兩邊取共軛”和“整體代換”的重要算法思想與邏輯推理不可分割，在運(yùn)算中體會(huì)推理，在推理中簡化運(yùn)算;對(duì)原題的合理改編是應(yīng)用數(shù)據(jù)分析促進(jìn)理性思維的有益嘗試. 綜觀解題活動(dòng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和直觀想象等素養(yǎng)融為一體，相得益彰，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)開辟思維廣場.

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