摘? 要：涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學教學設(shè)計原理”是一個完整的邏輯體系，其基本原理是“教學生學會思考”原理. 結(jié)合該原理，對中學數(shù)學教學中一些常見的案例進行分析探討.

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學;教學原理;實踐路徑

一、引言

數(shù)學是一門非常特殊的學科，數(shù)學研究的對象是形式化但具有抽象性的思想材料，人們能看見的只是它的形式化符號，但符號本身并不是數(shù)學材料，隱藏在符號背后的思想才是真正的數(shù)學，而這種思想本身就是抽象性的. 基于思想材料的抽象性，對其主要進行“思想實驗”和“思想活動”. 數(shù)學的這種特點，使得數(shù)學教學本身具有區(qū)別于其他學科教學的特殊性，也使得數(shù)學教學存在著獨特的教學設(shè)計原理.

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學教學設(shè)計原理”是一個完整的邏輯體系，其核心是“教學生學會思考”原理. 基于此原理，對其他幾個原理進行分析挖掘，提出幾點疑問：如何教學生學會思考？問題從哪里來？提出怎樣的問題？問題提出后如何解決？教師如何引導？最終如何達到引發(fā)學生思考的教學目的？

下面基于“數(shù)學教學設(shè)計原理”，結(jié)合中學數(shù)學教學中一些常見的案例進行分析探討.

二、“數(shù)學教學設(shè)計原理”的探討

“數(shù)學教學設(shè)計原理”是一個完整的邏輯體系，主要包括：“用研究問題一般方法”原理、“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題”原理、“用問題結(jié)構(gòu)推進教學”原理、“從無到有探究”原理、“用啟發(fā)性提示語引導探究”原理、“反思性教學”原理、“歸納先導—演繹推進”原理. 整體結(jié)構(gòu)如下圖所示.

1. 如何開展數(shù)學教學探究——“用研究問題一般方法”原理

我們先來思考一個問題：教學是教學生學什么？是學知識還是學思考？數(shù)學教學的本質(zhì)是教學生學會思考，但是學知識是學思考的必經(jīng)之路. 因此，在實際教學中，教師要教學生通過學知識來學思考. 那么，教師教學生學什么？從本質(zhì)上來說，教師要教學生學提出問題、建構(gòu)概念、尋找方法，以及研究問題的一般方法. 這些就是教學生學會思考. 荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為數(shù)學學習是一種“再創(chuàng)造”的過程. 這說明學生學習數(shù)學本身就是一種研究活動. 數(shù)學教學的過程是學生在教師的引導下對新知識從“不知”到“知”的活動，本質(zhì)上是對數(shù)學問題的一種研究活動，故研究數(shù)學教學必然要運用研究問題的一般方法. 在教學中，教師應(yīng)該盡可能使用研究問題的一般方法使學生的數(shù)學學習處于一種研究狀態(tài). 那么，什么是研究問題的一般方法呢？數(shù)學問題是特殊的認知對象，研究數(shù)學問題的一般方法可以概括為六個階段的思維模型，即提出問題、構(gòu)建概念、尋找方法、提出假設(shè)、驗證猜想和語言表述. 可以發(fā)現(xiàn)，所謂研究問題的一般方法其實是一個探究活動的過程. 在數(shù)學教學中，應(yīng)該盡可能運用研究問題的一般方法進行教學.

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課中，通過觀察某地氣溫變化這樣的情境提取數(shù)學信息. 容易發(fā)現(xiàn)氣溫變化的函數(shù)圖象在某個范圍內(nèi)是“上升”或是“下降”的，這表明了函數(shù)在變化中所存在的一種普遍性質(zhì)，對其質(zhì)疑、聯(lián)想進而發(fā)現(xiàn)并提出問題：如何用數(shù)學文字語言來刻畫這種性質(zhì)？（提出問題） 在這個問題的基礎(chǔ)上，建構(gòu)與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的數(shù)學概念、法則、結(jié)論和工具，為解決后續(xù)問題做好前期準備：數(shù)學上把函數(shù)的這種“上升”或是“下降”的性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性，即“單調(diào)增”和“單調(diào)減”.（建構(gòu)概念）仔細思考可以發(fā)現(xiàn)，這樣的文字（定性）描述是不夠精確的，因此考慮用數(shù)學符號語言（定量）描述. 繼續(xù)思考，得到新的問題：如何用數(shù)學符號語言更加精確地描述這種性質(zhì).（尋找方法）在已有的概念、法則、結(jié)論的基礎(chǔ)上尋找合適的方法解決問題：初步嘗試圖形化符號[“↑”]和[“↓”]，發(fā)現(xiàn)仍然會產(chǎn)生歧義. 于是轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)以往經(jīng)驗，數(shù)量最不容易產(chǎn)生歧義，從而將圖形化符號數(shù)字化，提出關(guān)于上述問題的一個解答：對[?x1，x2∈a，b]，且[x1<x2]，如果有[fx1<][fx2]，那么就稱[fx]在[a，b]上是單調(diào)遞增（提出假設(shè)）. 結(jié)合已有的數(shù)學概念、法則等，經(jīng)過一系列分析過程，通過舉例（如通過一些已經(jīng)學過的函數(shù)去驗證或反駁該解答是否符合要求），最終產(chǎn)生正確結(jié)論（驗證猜想）. 驗證所提供的解答之后，得到正確的定義，再用數(shù)學語言將解決問題的過程和結(jié)論準確地表達出來，即得到上述單調(diào)遞增的定義，單調(diào)遞減的定義可以類似得到（語言表述）.

2. 問題從哪里來——“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題”原理

在“用研究問題一般方法”原理中，我們知道需要先提出問題. 那么，問題從哪里來？我們不妨先思考一下：問題是為了什么？問題服務(wù)于什么？愛因斯坦說過，提出一個問題比解決一個問題更重要. 問題是數(shù)學的心臟，也是一切研究的源泉. 沒有問題就沒有創(chuàng)造，沒有問題人類也就失去了活力，人類的發(fā)展就會停滯不前. 由此可見，提出問題是為了培養(yǎng)一種創(chuàng)造意識和創(chuàng)新精神. 創(chuàng)造始于問題，創(chuàng)造意識和創(chuàng)新精神皆起源于問題意識. 教學中能否促進學生樹立問題意識，對學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)至關(guān)重要. 著名數(shù)學教育家蘇霍姆林斯基認為，在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者. 因此，在教學中，教師應(yīng)該多給學生提供自主探索的機會，讓學生體驗知識“再創(chuàng)造”的過程. 教學藝術(shù)遵循的最高準則是學生自己提出問題、“創(chuàng)造”知識. 但是由于數(shù)學學科的特殊性，其研究對象是形式化但具有抽象性的思想材料，完全由學生自己提出問題不具有現(xiàn)實性. 因此，教師應(yīng)該根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗和認知水平去創(chuàng)設(shè)具有探索性、啟發(fā)性的問題情境，給予學生概念建構(gòu)的機會. 需要注意的是，情境創(chuàng)設(shè)中所蘊含的問題要指向本節(jié)課的核心內(nèi)容和數(shù)學對象的本質(zhì)，從而便于學生理解并提出問題.

函數(shù)單調(diào)性的概念建構(gòu)源自學生對圖象進行觀察思考、產(chǎn)生疑問、提出問題，繼而進行一系列研究活動. 那么，如何保證大多數(shù)學生都能夠通過觀察思考產(chǎn)生疑問？這里就用到了知識之間的承前啟后關(guān)系. 例如，在“三角函數(shù)誘導公式”這節(jié)課中，通過創(chuàng)設(shè)“以舊引新”的情境對學生設(shè)問：學習了任意角三角函數(shù)的定義，接下來你們想研究什么？或者你們會提出什么樣的要解決的問題？通過設(shè)問引導學生思考，引出本節(jié)課的目標問題——怎樣求任意角的三角函數(shù)，如怎樣求出度數(shù)為[3 735°]的角的三角函數(shù)值. 這樣的引入是十分“自然”的，因為任意三角函數(shù)的定義與求任意角三角函數(shù)是緊密相連的兩個課題. 通過“以舊引新”的方式創(chuàng)設(shè)問題情境十分自然，利用初中階段學習的舊知識“銳角三角函數(shù)”引出新知識“任意角的三角函數(shù)的定義”，同時在下一個階段，通過舊知識“任意角的三角函數(shù)的定義”引入求“任意角三角函數(shù)值”這樣的新知識. 由此可以發(fā)現(xiàn)，知識的新、舊具有相對性，知識是新知識還是舊知識取決于教學中具體的學習情境. 必須注意的是，引入情境的問題應(yīng)該是最有自然聯(lián)系和自然承接的問題，即先前知識與當前知識要有一定的內(nèi)在聯(lián)系，這樣才能用先前知識作為“承前”材料，進而創(chuàng)設(shè)當前知識的“啟后”情境.

3. 提出怎樣的問題——“用問題結(jié)構(gòu)推進教學”原理

提出怎樣的問題，這就用到了“用問題結(jié)構(gòu)推進教學”原理. 其中，包括每課問題化、問題結(jié)構(gòu)化、解題教學化. 那么，什么是問題結(jié)構(gòu)？如何用它推進？在“用研究問題一般方法”原理中，我們談到了六個階段的思維模型. 在案例中，可以發(fā)現(xiàn)前面幾個階段的最后都產(chǎn)生了一個問題，且由前一個問題的解決產(chǎn)生新的問題，引領(lǐng)著后一個階段的發(fā)生，這些問題環(huán)環(huán)相扣，形成一種思維導向結(jié)構(gòu)，所有問題解決后本節(jié)課的目標問題——單調(diào)性的定義自然得到解決. 由此可見，數(shù)學的發(fā)展離不開問題，數(shù)學研究先要提出一個問題，學生學習數(shù)學本身就是一種研究活動，而這種研究活動同樣要先提出一個問題——目標問題. 因此，數(shù)學教學中的所有問題要形成結(jié)構(gòu)，然后運用這樣的問題結(jié)構(gòu)推進教學，使其能夠促進學生的思維發(fā)展. 也就是說，每節(jié)課都應(yīng)該先提出一個目標問題，并以該目標問題進行邏輯化處理，進一步提出一系列子問題，最終通過子問題的解決實現(xiàn)目標問題的解決.

前面談到要通過適當?shù)那榫骋雭韱l(fā)學生自主提出問題，進而引發(fā)思考. 那么，基于“熟悉的”情境提出問題之后，學生又該如何繼續(xù)完成研究活動呢？也就是說，教師應(yīng)該如何繼續(xù)推進研究進程呢？這里就用到了數(shù)學解題中的程序化思維，即通過將目標問題分解為一系列子問題，再通過對子問題的解決階段性地推進研究進程，最終達到目標問題的解決，即最終完成研究活動. 因此，解題教學能夠給予中學教學一定的啟示. 涂榮豹教授所構(gòu)建的“數(shù)學教學設(shè)計原理”不僅可以用于前面談到的“單調(diào)性”“三角函數(shù)”等概念的教學中，在一些解題教學中也同樣適用. 例如，在“用向量法推導余弦定理”這節(jié)課中，通過“問題結(jié)構(gòu)化、解題教學化”的方式，將余弦定理的概念教學轉(zhuǎn)化為解題教學. 此時，新授課就變成新問題的解題教學課，教師就可以基于本節(jié)課的目標問題（余弦定理是什么）邏輯化處理得到的子問題，結(jié)合適當?shù)膯l(fā)性提示語“按部就班”地解決子問題，最終實現(xiàn)目標問題的解決. 值得注意的是，由于授課方式的轉(zhuǎn)變，本節(jié)課的目標問題也隨之發(fā)生了形式上的改變，即目標問題由“如何用向量法推導余弦定理？”變成了“已知兩邊及其夾角，如何求夾角的對邊？”這樣一個問題. 此時，原來的目標問題就變成了現(xiàn)階段目標問題的解題方法. 在這個過程中，教師通過問題結(jié)構(gòu)化的方式（為什么學習余弦定理？又為什么要用向量來推導？）來幫助學生樹立先理解題意再尋找解題思路（邊角關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系）的意識，在潛移默化中提高學生分析問題和解決問題的能力.

4. 問題提出之后如何解決——“從無到有探究”原理

問題提出之后如何解決，這就用到了“從無到有探究”原理. 什么是探究？數(shù)學學習中原來沒有的，現(xiàn)在把它變成有，這個“從無到有”的過程就是探究. 在“用研究問題一般方法”原理中，我們說到學生學習數(shù)學本身就是一種研究活動，而教師的任務(wù)是引導學生在研究活動中自己尋找解決問題的方法，這個研究活動的過程實質(zhì)上就是探究學習的過程. 集合論創(chuàng)立者、德國著名數(shù)學家康托爾認為數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由. 數(shù)學探究是一個思維活動的過程，而活動的本質(zhì)是要“動”，這里的“動”是指思維要動. 數(shù)學研究的對象是思想材料，對思想材料主要進行“思想實驗”和“思想活動”，而“思想實驗”實質(zhì)上是人在大腦里用各種思維方式、方法對思想材料進行思維加工的心理活動，這種心理活動即為思考. 這里我們要注意的是，沒有經(jīng)過個人的探索和深入思考，一目了然的，不叫探究. 在教學中，教師應(yīng)該根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗、認知水平進行適當?shù)囊龑Ш蛦l(fā)，但是主要還是由學生自己來探究.

例如，在“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題”原理中，談到了“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的目標問題——函數(shù)的單調(diào)性的定義是如何引入的？這個概念本來是沒有的，教學中經(jīng)過教師適當啟發(fā)，引導學生思考函數(shù)的“不變屬性”是什么，再通過觀察幾組函數(shù)圖象初步發(fā)現(xiàn)函數(shù)的“不變屬性”. 這個過程就是從“無”到“有”的過程，探究性也有體現(xiàn)，教師并非直接告訴學生函數(shù)的單調(diào)性是什么，而是引導學生自己探究思考. 這是目標問題的“從無到有”，在一些子問題中亦可如此. 解決“如何精準地描述函數(shù)單調(diào)性的定義？”這樣一個問題，一開始的解決方法是“無”，經(jīng)過探究后，發(fā)現(xiàn)文字語言不夠精準，圖形化符號“[↑]”“[↓]”也會產(chǎn)生歧義，最后選擇用更為精準的數(shù)學符號語言描述，即解決問題的方法“有”了. 這是解決方法的“從無到有”. 子問題的產(chǎn)生也是一種“從無到有”，在產(chǎn)生子問題時，教師建立適當?shù)那榫常瑢W生基于所展現(xiàn)的情境思考并產(chǎn)生疑問，繼而提出問題，這里則體現(xiàn)了問題的“從無到有”. 子問題的進一步解決，最終引出目標問題的“從無到有”.

5. 教師如何引導教學——“用啟發(fā)性提示語引導探究”原理

基于學生已有的知識經(jīng)驗和認知水平，一個數(shù)學探究活動完全由學生獨立探究基本上是不可能的. 數(shù)學知識的學習可以看作一個師生共同合作的探究過程，自然離不開教師的引導. 因此，教師如何引導就是一個新的問題了. 教師既不能任由學生自主探究，也不能讓學生“假探究”，此時可以采取“用啟發(fā)性提示語引導探究”原理. 那么，啟發(fā)性教學是什么？啟發(fā)性提示語又是什么？啟發(fā)性教學是指教師由近及遠、由易到難地設(shè)計啟發(fā)性問題，引導學生主動探究. 啟發(fā)性提示語是一種遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律、富有啟迪學生思維的語言方式. 在教學中，教師通過啟發(fā)性提示語引發(fā)認知沖突，從而引起學生的探究興趣，形成有意義學習的動力，驅(qū)使思維活動得以發(fā)生、發(fā)展，以此進行深層思維. 奧地利著名科學方法論學者鮑波爾認為正是問題激發(fā)我們?nèi)W習，去實踐，去觀察. 可見，教師要經(jīng)常使用啟發(fā)性提示語進行教學，從而促進學生思考. 這里要注意的是，根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，每位學生思維的最近發(fā)展區(qū)和思維水平不同，甚至有較大差異，教師在教學中應(yīng)該設(shè)計不同層級的啟發(fā)性提示語.

由前面的教學案例的探討可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學教學活動是一種特殊的研究活動，而推進研究活動進程所使用的方式是問題的產(chǎn)生與解決. 學生已有的認知水平和數(shù)學材料的特殊性決定了數(shù)學探究的主要方式是引導式探究.“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課的目標問題的引入并不是由學生完全自主探究出來的，而是通過詢問學生“接下來想繼續(xù)研究什么？”引發(fā)學生思考，繼而教師給出提示“在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示其本質(zhì)特征”，最終讓學生提出本節(jié)課的目標問題. 這里應(yīng)該注意，教師若只是詢問學生“接下來想要研究什么”這樣的提示語，是無效的. 學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗和認知水平很難思考“建立一個數(shù)學概念的意義”是什么，教師進一步的提示語不可或缺. 例如，在提出假設(shè)的過程中，并不是所有學生都能快速從圖象的上升趨勢過渡到數(shù)學符號語言的描述. 在教學中，教師可以考慮設(shè)計不同層級的啟發(fā)性提示語，盡量兼顧到不同水平的學生，使每位學生在自己現(xiàn)有的水平上獲得發(fā)展. 這里需要強調(diào)的是，只設(shè)計了不同層級的提示語是不夠的，受時間、地點等一系列客觀因素的影響，在數(shù)學教學中兼顧所有水平層次的學生是不具備現(xiàn)實性的. 如何使用不同層級的啟發(fā)性提示語顯得十分關(guān)鍵. 可以采用“由遠及近，分級提問”的形式，即要求只問不答，或先弱后強. 先問簡單的問題，引發(fā)思考，不需要回答，可以讓學困生和中等生通過思考使現(xiàn)有水平得到發(fā)展. 繼續(xù)提問較難的問題，依次遞進，使得優(yōu)等生在其現(xiàn)有水平上也有所發(fā)展. 最終使每位學生都能在自己現(xiàn)有的水平上獲得發(fā)展.

6. 如何引發(fā)學生思考——“反思性教學”原理

數(shù)學是一門特殊的學科，數(shù)學對象的抽象性、數(shù)學活動的探索性、數(shù)學推理的嚴謹性、數(shù)學語言的特殊性決定了正處于思維發(fā)展階段的中學生不可能一次性地直接把握數(shù)學的本質(zhì)，必須經(jīng)過反復思考、深入研究、自我調(diào)節(jié)，即自我反思性學習. 那么，什么是反思性學習呢？反思性教學又是什么？反思性學習是針對操作性學習而言的，兩者的區(qū)別在于后者以學會知識為目的，關(guān)注的是學習的直接結(jié)果，這是被動的、消極的. 我國著名教育家孔子說過，學而不思則罔，思而不學則殆. 在“用研究問題一般方法”原理中，我們也談到數(shù)學教學的本質(zhì)是教學生學會思考，但學知識是學會思考的必經(jīng)之路. 我們不能停留在“半路”，而應(yīng)該注重反思性教學，才能到達“終點”——教學生學會思考.

學生的反思性學習，要通過教師的反思性教學來實現(xiàn). 一堂課上，教師要引導學生對數(shù)學探究中所涉及的知識、有聯(lián)系的問題、所涉及的思想方法等進行反思，其本質(zhì)就是讓學生對自己的思考過程進行反思. 例如，對“通過幾種函數(shù)圖象的變化趨勢得到函數(shù)單調(diào)性描述”進行反思，自己為什么想到根據(jù)圖象的變化就歸納出了函數(shù)的單調(diào)性，反思得到的函數(shù)是否還有其他性質(zhì)、是否也可以根據(jù)圖象來得出諸如此類的問題. 可以發(fā)現(xiàn)，在反思過程中，學生會自然去回顧之前所經(jīng)歷的思路過程. 在回顧中，甚至可能收獲“意外之喜”——根據(jù)函數(shù)圖象得出函數(shù)的其他性質(zhì)（奇偶性、對稱性、周期性），有助于學生學習函數(shù)的其他性質(zhì).

7. 如何引發(fā)學生思考——“歸納先導—演繹推進”原理

數(shù)學不僅是演繹的科學，也是歸納的科學，是集抽象性、邏輯性、嚴密性、精確性、想象力、創(chuàng)造力于一身的科學. 鑒于數(shù)學知識的特殊性，數(shù)學教學中應(yīng)該先運用歸納先導的方法讓學生自主探究以發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想，然后再通過演繹跟進的方法進行推理證明. 在“用研究問題一般方法”原理中，我們知道，數(shù)學教學本質(zhì)上是師生進行研究活動的過程，對于大多數(shù)數(shù)學知識教學來說，先猜想再證明或者先探索再論證是符合數(shù)學活動規(guī)律的. 法國哲學家、教育家盧梭認為問題的目的不是告訴他一個真理，而在于教他怎么去發(fā)現(xiàn)真理. 數(shù)學教學的基礎(chǔ)是教材——將數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的知識以一種邏輯加工的數(shù)學形式，通過必要的訂正、改進、修飾和組合等，以盡可能完美的形式公之于眾，呈現(xiàn)為“概念—定理—例題—習題”組成的純數(shù)學系統(tǒng). 而數(shù)學家在發(fā)現(xiàn)知識過程中的基本概念和思想方法的產(chǎn)生、形成、發(fā)展直至完善所應(yīng)有的痕跡已然丟失. 這給人一種假象，數(shù)學似乎只是一種毫無瑕疵的規(guī)則系統(tǒng)，而忽視了數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的過程，從而淹沒了數(shù)學發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、應(yīng)用的真實思維過程. 把數(shù)學教學組成一個完全演繹的過程，舍棄數(shù)學發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的探索過程是不符合學生的認知規(guī)律的.

在“用研究問題一般方法”原理中，我們談到研究問題的一般方法可以概括為六個階段，第一個階段就是提出猜想. 例如，在前面多次提到的“函數(shù)的單調(diào)性”這節(jié)課中，第一步就是讓學生觀察某地氣溫變化之類的情境并提取數(shù)學信息，進行質(zhì)疑聯(lián)想，進而發(fā)現(xiàn)并提出猜想，這個提出猜想的過程就是基于對多組函數(shù)圖象進行觀察、歸納得出其共同屬性（即“變”中的“不變”），然后通過嚴謹?shù)臄?shù)學符號語言對其進行嚴謹?shù)难堇[證明的過程. 又如，在提出假設(shè)的過程中，先基于已有的數(shù)學概念、法則對函數(shù)單調(diào)性的定義進行猜想，然后通過一系列分析進行檢驗（如通過一些已經(jīng)學習過的函數(shù)去驗證或反駁猜想，最終產(chǎn)生正確結(jié)論），從而驗證猜想. 這里的一系列分析過程即為演繹過程.

三、結(jié)束語

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學教學設(shè)計原理”是一個完整的邏輯體系. 可以發(fā)現(xiàn)，每個原理之間并不是完全獨立的，而是一個有機的整體. 這與數(shù)學學科本身有著密切的關(guān)系. 數(shù)學研究“量”與“形”，這么說難以感受數(shù)學的重要性，也很難聯(lián)想到數(shù)學是現(xiàn)實的核心. 大家可以思考一下，有什么東西沒有“量”與“形”的屬性呢？換句話說，“量”與“形”是物質(zhì)與事物的基本屬性，不管是什么東西，它的這兩個屬性是擺脫不掉的. 數(shù)學研究的就是這些基本屬性，這決定了數(shù)學的價值，也使我們明白數(shù)學是基礎(chǔ)而重要的，因而說數(shù)學是現(xiàn)實的核心也就不足為奇了. 這也決定了數(shù)學教學與其他學科的教學有著本質(zhì)的不同：數(shù)學研究的對象是形式化但具有抽象性的思想材料，對思想材料主要是進行“思想實驗”和“思想活動”，而“思想實驗”實質(zhì)上是人在大腦里用各種思維方式、方法對思想材料進行思維加工的心理活動. 可見，數(shù)學教學活動就是學生在教師的引導下進行的思維活動. 因此，數(shù)學教學的本質(zhì)就是“教學生學會思考”.

在數(shù)學教學中，教師引導學生提出問題，并提供機會讓學生進行批評、反思，從而建構(gòu)數(shù)學概念. 同時，教師通過引導學生掌握數(shù)學研究的方法在數(shù)學教學中滲透數(shù)學思想，從而有效達到數(shù)學學科核心素養(yǎng)的構(gòu)建.

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數(shù)學教學設(shè)計原理的構(gòu)建[M]. 北京：科學出版社，2018.

[2]段志貴. 教學生學會思考是數(shù)學教學的根本：訪南京師范大學涂榮豹教授[J]. 中學數(shù)學教學參考（上旬），2019（1 / 2）：8-11.

[3]傅贏芳，喻平. 從數(shù)學本質(zhì)出發(fā)設(shè)計課堂教學：基于數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視域[J]. 教育理論與實踐，2019，39（20）：41-43.

[4]涂榮豹. 談提高對數(shù)學教學的認識：兼評兩節(jié)數(shù)學課[J]. 中學數(shù)學教學參考，2006（Z1）：4-8.

[5]周威. 解題教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)的“問題提出”視角：以圓錐曲線專題的解題教學為例[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2020（7 / 8）：34-37.

[6]李鋒雷，胡恩良. 教學生學會思考，回溯數(shù)學教學根本[J]. 中學數(shù)學月刊，2020（9）：11-12，18.

[7]殷偉康. 數(shù)學教學中啟發(fā)性提示語的運用與思考[J]. 中學數(shù)學月刊，2013（3）：12-15.

[8]董榮森.“啟發(fā)性提示語”的追溯、發(fā)展及其應(yīng)用[J]. 數(shù)學通報，2012，51（3）：13-15.

[9]韓龍淑，涂榮豹. 數(shù)學啟發(fā)式教學中的偏差現(xiàn)象及應(yīng)對策略[J]. 中國教育學刊，2006（10）：66-68.

[10]李鵬. 從數(shù)學教學反思到反思性數(shù)學教學[J]. 教育學術(shù)月刊，2012（10）：102-104，107.

[11]涂榮豹. 試論反思性數(shù)學學習[J]. 數(shù)學教育學報，2000（4）：17-21.