胡 瑞,黃立冬,李榮庭,徐權(quán)峰
(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)
自古以來,傳染病一直阻礙著人類社會的發(fā)展,所以基于傳染病的研究一直被學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注.為了更加深入了解傳染病,避免其對社會和經(jīng)濟(jì)的危害,學(xué)者們通過建立微分方程模型對傳染病進(jìn)行定性分析和定量研究.20世紀(jì)初,Kermack和Mekendrick提出了最經(jīng)典的傳染病模型SIR(susceptible-infection-removed)倉室模型[1-2].此后傳染病動力學(xué)的建模和研究開始快速發(fā)展[3-11].但是,在現(xiàn)實生活中,由于環(huán)境多變,確定性的傳染病模型很難做到對實際情況的具體描述.1951年,KiyoshiIt引入了It微積分對隨機(jī)現(xiàn)象的研究和分析.經(jīng)過學(xué)者們不斷的深入研究,隨機(jī)微分方程取得了很大的進(jìn)展.因此隨機(jī)微分方程也被引入到疾病動力學(xué)領(lǐng)域中.近年來,國內(nèi)外學(xué)者在基于隨機(jī)擾動的傳染病模型的研究中取得了很多成果[12-17].
胡晶晶[18]建立了幾類隨機(jī)SIQS傳染病模型,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)、使用It公式以及強(qiáng)大數(shù)定理等證明傳染病模型存在全局唯一正解.通過得出的疾病滅絕充分條件,結(jié)果表明大的噪聲可以抑制疾病的爆發(fā).徐敏等[19]考慮傳染病傳播過程中的隨機(jī)干擾,運(yùn)用隨機(jī)人口建模中參數(shù)擾動的標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù),建立了一類具有隨機(jī)擾動的傳染病SEIR模型.李雪等[20]建立了一類隨機(jī)SEIQR傳染病模型,通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)并利用It公式,證明了該傳染病模型的全局唯一正解的存在性,通過確定性SEIQR模型進(jìn)而研究隨機(jī)模型的漸近行為.
而在現(xiàn)實生活中,部分傳染病在潛伏期同樣具有傳染性.如2019年末爆發(fā)的COVID-19.由于其潛伏期具有傳染性,短時間內(nèi)病毒席卷全球,造成很大的損失.綜上所述,在現(xiàn)有傳染病模型中加入隨機(jī)擾動對疾病傳播的影響,建立一類潛伏期和染病期均具有傳染性的隨機(jī)SEIQR模型更加具有實際意義.
本文研究的是一類隨機(jī)SEIQR模型,在此之前首先建立一類確定性SEIQR模型,模型將人口分為易感者(S),潛伏者(E),隔離者(Q),感染者(I)以及恢復(fù)者(R)5個部分,并建立以下模型
(1)
其中,A表示易感者的常數(shù)輸入率,d表示自然死亡率,δ1,δ2,δ3分別表示潛伏者,染病者和隔離者的康復(fù)率,β1表示潛伏者與易感者之間的有效接觸率,β2表示染病者與易感者之間的有效接觸率,ε表示潛伏者轉(zhuǎn)為染病者的比率,α表示染病者的因病死亡率,γ表示隔離者的因病死亡率,μ1表示潛伏者被隔離的比率,μ2表示染病者被隔離的比率,從生物數(shù)學(xué)角度考慮,規(guī)定本文所有參數(shù)都是非負(fù)的.該模型對應(yīng)的流程圖如下:
圖1 確定性SEIQR模型流程圖
本模型的基本再生數(shù)為
當(dāng)R0≤1時,系統(tǒng)(1)無病平衡點P0為(A/d,0,0,0,0);當(dāng)R0>1時,有唯一地方病平衡點P*=(S*,E*,I*,Q*,R*),均全局漸近穩(wěn)定[21].
設(shè)Bi(t)(i=1,2,3,4,5)為獨(dú)立的一維布朗運(yùn)動,σi(i=1,2,3,4,5)為噪聲強(qiáng)度,建立一類潛伏期與染病期均具有傳染性的隨機(jī)SEIQR傳染病模型,對應(yīng)的微分方程組為
(2)
取充分大的正數(shù)k0≥0,使得初值y(0)的每一個分量都屬于區(qū)間[1/k0,k0],對?k≥k0,k∈N+整數(shù),定義停時
這里inf?=∞(?表示空集).
若τ∞=∞a.s.成立,則有τk=∞a.s..采用反證法,證明如下:
如若不然,存在常數(shù)T>0和δ∈(0,1)使得P{τ∞≤T}>δ.因此,存在整數(shù)k1>k0,?k≥k1,都有P{τk≤T}≥δ.
構(gòu)造lyapunov函數(shù),得
V(y)=(S+1-lnS)+(E+1-lnE)+(I+1-lnI)+(Q+1-lnQ)+(R+1-lnR).
dV=LVdt+(S-1)σ1dB1(t)+(E-1)σ2dB2(t)+(I-1)σ3dB3(t)+
(Q-1)σ4dB4(t)+(R-1)σ5dB5(t),
其中,
得
取
則有
dV≤Kdt+(S-1)σ1dB1(t)+(E-1)σ2dB2(t)+(I-1)σ3dB3(t)+
(Q-1)σ4dB4(t)+(R-1)σ5dB5(t).
對于上式,從0到τk∧T積分,并取期望有
EV(S(τk∧T),E(τk∧T),I(τk∧T),Q(τk∧T),R(τk∧T))≤V(y(0))+KT.
得
其中1Ωk表示Ωk的示性函數(shù).
令k→∞,有∞>V(y(0))+KT=∞,矛盾.于是必有τ∞=∞a.s.即解是正的且全局唯一存在.
當(dāng)確定性SEIQR傳染病模型的R0≤1時,模型(1)存在無病平衡點P0=(A/d,0,0,0,0)且全局穩(wěn)定.接下來,討論模型(2)的解在P0點附近的漸近性質(zhì).
若滿足條件
其中
證明構(gòu)造lyapunov函數(shù)
顯然,V1,V2,V3,V4,V5,V6是正定的,由It公式計算得
當(dāng)R0≤1,使得:
又2ab≤a2+b2,有
構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
顯然V正定,由It公式計算可得
其中
從0到t取積分并取期望,有
若滿足
則有
證明完畢.
由定理2可知,當(dāng)確定性傳染病模型(1)的R0≤1時,模型(2)的解會在確定性SEIQR模型無病平衡點P0附近擾動,且波動大小與σ1有關(guān),當(dāng)環(huán)境噪聲強(qiáng)度越小時,模型(2)的解越趨近于模型(1)無病平衡點P0.
當(dāng)確定性傳染病模型(1)的R0>1時,存在唯一的地方病平衡點P*=(S*,E*,I*,Q*,R*)且全局漸近穩(wěn)定,接下來,討論模型(2)的解在P*點附近的漸近性質(zhì).
若滿足條件:
其中
證明構(gòu)造lyapunov函數(shù)
顯然V1,V2,V3,V4,V5正定,由It公式,計算得
dV1=LV1dt+(S-S*+E-E*)(σ1SdB1(t)-σ2EdB2(t)),
其中
(3)
當(dāng)R0>1時,確定性SEIQR模型(1)有唯一地方病平衡點P*=(S*,E*,I*,Q*,R*).令確定性SEIQR模型左邊等于零,得
A=β1S*E*+β2S*I*+dS*,
β1S*E*+β2S*I*=(d+ε+δ1+μ1)E*,
εE*=(d+α+δ2+μ2)I*,
μ1E*+μ2I*=(d+γ+δ3)Q*,
dR*=δ1E*+δ2I*+δ3Q*.
將上述等式帶入(3)中,得
同理得出
得出不等式
通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
V=V1+V2+V3+V4.
dV=LVdt+(S-S*+E-E*)Sσ1dB1(t)+Eσ2dB2(t)+(I-I*)Iσ3dB3(t)+
(Q-Q*)Qσ4dB4(t)+(R-R*)Rσ5dB5(t).
(4)
令
有
LV≤m1(S-S*)2+m2(E-E*)2+m3(I-I*)2+m4(Q-Q*)2+m5(R-R*)2+K.
對(4)取期望,計算得:
那么,當(dāng)
0 有: 由定理3可知,當(dāng)模型(1)的R0>1時,模型(2)的解在確定性SEIQR模型唯一的地方病平衡點P*擾動,且波動范圍與σ1,σ2,σ3,σ4,σ5有關(guān),當(dāng)環(huán)境噪聲強(qiáng)度越小時,模型(2)的解越接近地方病平衡點P*,并在P*附近波動.