鄭毓信

數(shù)學思維教學的“兩階段理論”

鄭毓信

（南京大學 哲學系，江蘇 南京 210093）

數(shù)學思維教學應當區(qū)分為兩個不同的階段：（1）幫助學生了解、學習數(shù)學思維從而改進思維；（2）“由數(shù)學地思維”轉向“學會思維”，努力提升學生的思維品質．這可視為一種“螺旋式的上升”，與此為對照也可清楚地看出這樣兩種觀點的片面性，即是“基礎教育去學科化”，以及單純從學科的視角對數(shù)學教育目標做出狹義解讀．

數(shù)學思維教學的兩個階段；數(shù)學地思維；通過數(shù)學學會思維；螺旋式上升

除去數(shù)學基礎知識與基本技能的學習，數(shù)學教育最主要的功能應是促進學生思維的發(fā)展，這就是強調(diào)“數(shù)學思維教學”的主要原因．就中國在后一方面的具體工作而言，則可追溯到20世紀80年代興起的“數(shù)學方法論”研究與相關的教學實踐：這既有過發(fā)展的高潮，包括對于國外相關研究的追蹤，也有過相對低落的時期．進而，新一輪數(shù)學課程改革，特別是對于“核心素養(yǎng)”的積極提倡也可被看成為數(shù)學思維教學的進一步發(fā)展提供了重要背景，特別是，應如何更好地理解數(shù)學思維教學的意義，什么是這方面工作的主要方向？這也正是文章討論的主要論題．

1 回顧與展望

20世紀的80、90年代可以被看成中國數(shù)學思維研究的黃金時代：由于著名數(shù)學家徐利治先生的倡導，不僅取得了若干重要的研究成果，也逐步形成了密切聯(lián)系實際數(shù)學教學的重要特點，包括這樣一個明確的指導思想：應當用思維的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學，從而把數(shù)學課真正“教活”“教懂”“教深”：所謂“教活”，是指教師應當通過自己的教學向學生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，而不是死的數(shù)學知識；所謂“教懂”，是指教師應當幫助學生真正理解相關的教學內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背；所謂“教深”，則是指教師不僅應當通過自己的教學使學生很好地掌握相關知識內(nèi)容，也應幫助他們領會內(nèi)在的思維方法，即是使得相應的思維活動對其而言真正成為“可以理解的，可以學到手的和加以推廣應用的”[1]．

就這方面的具體工作而言，人們還形成了這樣的共識：相關研究不應停留于“一般性思維理論+數(shù)學實例”這樣一個模式，而應從專業(yè)角度做出更深入的分析研究．

就國際上的相關研究而言，則應特別提及著名數(shù)學家波利亞的“數(shù)學啟發(fā)法”研究：盡管這在當時并未對實際教學工作產(chǎn)生很大的影響；但是，隨著“問題解決”成為了數(shù)學教育在20世紀80年代的主要口號，相關工作又重新成為人們關注的焦點．因為，這正是這一改革運動的主要指導思想，即是認為應以努力提升學生解決問題的能力作為數(shù)學教育的主要目標，并應圍繞“問題解決”組織全部的數(shù)學教學活動．還應強調(diào)的是，盡管相關的教學實踐并未取得預期的效果，但卻極大促進了這方面的理論研究，更直接導致了“對于波利亞的超越”，后者即是指，“啟發(fā)法”不應被看成影響人們解決問題能力的唯一要素，或者說，為了提高人們解決問題的能力，應當關注更多的方面或環(huán)節(jié)，特別是“元認知”和“觀念”這樣兩個要素．另外，這也是人們通過總結反思形成的又一共識：與“問題解決”相比，“數(shù)學思維”是更合適的一個口號，應將“幫助學生學會數(shù)學地思維”看成數(shù)學教育的主要目標[2–3]．

從20世紀90年代開始，隨著新一輪數(shù)學課程改革（“課標運動”）在世界范圍內(nèi)的展開，人們的關注點應當說也有所轉移：盡管“問題解決”與“數(shù)學思維”作為改革的有機組成部分仍然得到了明確肯定，但就總體而言人們已將目光轉向了另外一些更加宏觀的問題，特別是，數(shù)學教育如何能夠很好地適應“時代的挑戰(zhàn)”[4]？

再回到中國的數(shù)學教育，盡管有一定的時間差，但總體上也與國際上的情況基本一致：無論是所謂的“數(shù)學教育的三維目標”或“數(shù)學課程總體目標”都對“數(shù)學思維（思考）”和“問題解決（解決問題）”做了明確的肯定，但對此的關注程度也可以說大大地降低了，取而代之的是“數(shù)學教學方法的改革”與所謂的“四基”，特別是“數(shù)學經(jīng)驗”等這樣一些“新”論題，這也就是指，除去簡單的“口號式”提倡，或是由“解決問題”轉向“問題解決”這樣的詞語轉換，數(shù)學思維教學的研究就總體而言可以說陷入了發(fā)展的停滯．

除去數(shù)學教育整體形勢的變化以外，這也是造成“發(fā)展停滯”的又一重要原因，即是缺乏對于已有工作的認真總結與反思，從而也就未能很好地弄清什么是數(shù)學思維教學進一步發(fā)展的主要方向．

還應指明的是，盡管“大形勢”的變化對這方面工作的深入開展有較大影響，但課程改革仍為數(shù)學思維教學的進一步發(fā)展提供了重要契機．只有圍繞數(shù)學教育的基本目標去進行分析思考，才能很好地把握數(shù)學思維教學的主要目標，包括什么又可被看成這方面工作的主要方向．具體地說，應堅持這樣一個立場，即是基礎教育的基本任務應是努力提升學生的“核心素養(yǎng)”，也即“適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力”．

具體地說，對于數(shù)學思維教學應當區(qū)分出兩個不同的階段：（1）幫助學生了解、學習數(shù)學思維，從而改進他們的思維，特別是由日常生活逐步形成的各種思維習慣和思維方式；（2）“由數(shù)學地思維”轉向“學會思維”，特別是努力提升學生的思維品質，并能由理性思維逐步走向理性精神．

以下就對為什么要做出這樣兩個階段的區(qū)分，以及什么又是它們各自的特征與基本性質做出具體說明．

2 數(shù)學思維教學的第一階段

這是數(shù)學思維教學第一階段的主要特征：幫助學生了解、學習數(shù)學思維，并應通過數(shù)學思維教學幫助學生改進他們習慣的日常思維．

以下就是“通過數(shù)學思維教學改進學生思維”的一些具體涵義．（1）由局限于“正向思維”轉而學會“逆向思維”．這也是相關研究的一個明確結論：如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學能力”，人們往往不善于從反面去思考問題；與此相對照，通過學校學習所說的情況就有了很大改進[5]．（2）由模糊的“定性描述”轉向精確的“定量分析”．如由“何者大、何者小”轉向“到底有多大”“大多少”，等等．（3）由“直觀感知”上升到理性分析，即如對于各種平面圖形主要特征的深入研究．這也是馮·希爾夫婦區(qū)分學生幾何思維不同發(fā)展水平的一個主要依據(jù)[6]．（4）由“零碎的認識”過渡到“整體性把握”．就如蘇聯(lián)著名心理學家維果斯基所指出的：“系統(tǒng)化的萌芽首先是通過兒童與科學概念的接觸而進入他的心靈，然后再被遷移到日常概念，從而完全改變了他們的心理結構．”[7]

再者，這也可被看成以下一些論述的主要涵義．（1）“我們必須通過數(shù)學化來教數(shù)學、學數(shù)學．”[8]（2）（中學）數(shù)學教學的主要目的之一就是“培養(yǎng)學生邏輯推理的能力”[9]．另外，從同一角度可以更好地理解人們經(jīng)常提到的關于“初等數(shù)學思維”與“高層次數(shù)學思維”的如下區(qū)分：與前者不同，后者已包括了由“描述”向“定義”、由“確信”向“證明”的重要轉變[10]．

最后，正如相關研究所表明的，這也是日常思維的一個重要特征，即是“快思”占據(jù)了主導地位；但是，盡管后者對于人們的日常生活和工作有很大的重要性，但又常常會導致一些系統(tǒng)性的錯誤，從而就應通過提倡“長時間思考（慢想）”幫助人們糾正日常思維的這一局限性，這也正是數(shù)學思維教學所應發(fā)揮的又一重要作用[11–12]．

那么，究竟又應如何幫助學生了解、學習數(shù)學思維呢？正如前面所提及的，中國數(shù)學教學的相關實踐即可被看成在這方面提供了很好的經(jīng)驗，后者即是指，相對于專門的思維教學而言，應當更加重視通過具體數(shù)學知識的教學幫助學生很好地了解、學習數(shù)學思維，也即應當努力做好用數(shù)學思維的分析帶動具體知識的教學，從而將數(shù)學課真正“講活”“講懂”“講深”，特別是，即能讓學生深切地感受到數(shù)學思維的力量，從而就能在這一方面產(chǎn)生潛移默化，但又十分重要的影響．

顯然，依據(jù)上述分析可以很好地理解這一階段數(shù)學思維教學的基本性質：這主要是一種規(guī)范性的工作．當然，后者又不應被理解成某種單純依靠外部力量得以實現(xiàn)的硬性規(guī)定，恰恰相反，這正是為什么應當特別重視數(shù)學思維向具體知識內(nèi)容教學滲透的主要原因，也即應當通過“教學內(nèi)容的方法論重建”使得相應的數(shù)學思維活動對學生而言真正成為“可以理解的，可以學到手的和加以推廣應用的”．

再者，這也可被看成這一階段數(shù)學思維教學的又一重要特征，即是對于數(shù)學思維，特別是數(shù)學解題策略的突出強調(diào)．當然，這方面工作也有一個逐步推進的過程，即是應當依據(jù)學生的認知發(fā)展水平很好地掌握相應的“度”，也即應當由“深藏不露”逐步過渡到“畫龍點睛”，由“點到為止”逐步過渡到“清楚地表述”．

以下就是針對不同學段做出的大致劃分．

低年級的小學生剛剛開始正規(guī)的學校學習，這時數(shù)學教學的主要任務就是幫助學生較好地掌握最基本的一些數(shù)學知識和基本技能，特別是數(shù)的認識與加減乘除．除此以外，這也是這一階段數(shù)學教學的又一重要任務，就是幫助學生初步了解和適應數(shù)學的思維方式與工作方式，也即數(shù)學家是如何看待世界與處理問題的？這與學生習慣的日常思維又有什么不同？

具體地說，對于低年級小學生而言，數(shù)學學習就像進入了一個新的國家、一個新的文化環(huán)境：“數(shù)學王國”．顯然，在此情況下，新進入者的首要任務就是很好了解并努力適應當?shù)氐娘L俗習慣，包括不同的語言文字、行為方式與道德規(guī)范等，而這事實上也正是小學低年級數(shù)學教學應當實現(xiàn)的一項任務，即是幫助學生很好了解并努力適應（習慣）這樣一種新的思維方式和工作方式：數(shù)學的思維方式與工作方式，這主要是一個規(guī)范化的過程．（這方面的一些實例可見文[13]第二、三章）

其次，小學高年級數(shù)學教學的一個主要任務，則是應使學生喜歡數(shù)學、喜歡思維，這也就是指，教學中應特別重視引導學生對于數(shù)學思維方式與行為方式的欣賞與理解，從而就與先前所說的“了解與適應”有很大的不同．

在此仍可借助“數(shù)學學習就像進入了一個新的國家、一個新的文化環(huán)境”這一比喻來進行說明：這里所說的“欣賞與理解”就是指高年級的數(shù)學教學不應滿足于學生對于數(shù)學的思維方式與工作方式有泛泛的了解，以及這一方面的簡單規(guī)范，乃至使學生始終處于“無可奈何的適應”這樣一種狀態(tài)，而應幫助他們很好地理解相關做法與思維方法的合理性和必要性，從而就能發(fā)自內(nèi)心地欣賞，并能很好地融入其中．例如，應用題教學就是實現(xiàn)這一目標的一個重要途徑．

第三，初中的數(shù)學教學可以被看成由第一階段向第二階段的過渡階段．首先，初中正是實現(xiàn)上面所提到的由“初等數(shù)學思維”上升到“高層次數(shù)學思維”的關鍵階段，這就意味著對于數(shù)學思維的進一步了解和學習，包括如何能通過“解題教學”幫助學生較好掌握各種具體的解題策略．但在做出上述努力的同時，這一階段的教學也應十分重視向更高層次的過渡，應當有意識地由唯一強調(diào)數(shù)學思維，特別是數(shù)學解題策略的學習逐步轉向努力提升學生的思維品質．當然，為了更好地實現(xiàn)后一目標，應首先弄清所說的轉變的合理性和必要性．這也正是下一節(jié)的具體論題．

3 數(shù)學思維教學的第二階段

數(shù)學思維教學第二階段的主要目標已不是幫助學生了解、學習數(shù)學思維，而是“通過數(shù)學學會思維”，并努力提升學生的思維品質．

為什么要提出這樣一個新的主張或目標，或者說，強調(diào)數(shù)學思維教學的“兩階段理論”究竟有怎樣的合理性和必要性？

首先，這可被看成基于學生與社會發(fā)展的需要進行分析的一個直接結論：由于大多數(shù)學生將來都未必會從事與數(shù)學直接相關的各種工作，數(shù)學思維顯然也不是唯一合理的思維形式，或者說，并非適用于所有的工作和場合．因此，與單純強調(diào)“學會數(shù)學地思維”相比，就應更加重視“幫助學生通過數(shù)學學會思維”，特別是努力提高他們的思維品質．

例如，這顯然也可被看成波利亞以下論述的核心所在：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學生——未來用數(shù)學和不用數(shù)學的人，那么他在教解題時應當教三分之一的數(shù)學和三分之二的常識．對學生灌注有益的思維習慣和常識也許不是一件太容易的事，一個數(shù)學教師假如他在這方面取得了成績，那么他就真正為他的學生們（無論他們以后是做什么工作的）做了好事．能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學的學生做好事當然是一件最有意義的事情．”[14]

其次，如果缺乏自覺性的話，數(shù)學思維也有一些嚴重的弊?。?，如果教學中只是強調(diào)了思維的邏輯性，也即局限于“按部就班、言之有理”，但卻忽視了整體分析與直覺的把握，包括如何能“分清主次、突出重點”，并很好掌握相關證明或概念的本質，顯然就容易出現(xiàn)“只見樹木不見森林”“撿了芝麻丟了西瓜”這樣的現(xiàn)象，而這事實上也正是現(xiàn)實中人們往往同時強調(diào)“邏輯與直覺”“分析與綜合”的主要原因，包括中國著名數(shù)學家陳重穆先生的這樣一個主張：數(shù)學教學應當“淡化形式，注重實質”[15]．

一些學者從更一般的角度指明了數(shù)學思維的局限性．例如，按照著名數(shù)學家西瓦爾茨的分析，簡單性（simpleness）、單一性（singleness）和文本性（literal）可以被看成數(shù)學思維固有的局限性[16]．又由于“封閉性”容易導致自高自大，抽象性（拘于文本）則容易脫離實際，因此，從這一角度進行分析，可以更好地理解著名哲學家懷特海所提到的這樣兩種“數(shù)學的惡”：所謂“微不足道的惡”，是指不應將抽象的模式與真實簡單地等同起來：“討論善與惡可能要求對經(jīng)驗的理解具有一定的深度，而一個單薄的模式可能阻撓預想的實現(xiàn)．于是，有一種微不足道的惡——一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫．”另外，所謂“強烈的惡”，則是指：“引起強烈經(jīng)驗的兩個模式可以彼此沖突．于是，就有一種由主動的對抗所產(chǎn)生的、強烈的惡．”[17]

當然，從中小學數(shù)學教學的角度看，上面所提到的數(shù)學思維的局限性還只是一種潛在的危險；相比而言，以下則是一種真正的威脅：由于數(shù)學思維，特別是解題策略的學習與“應試教育”有較大的兼容性，因此，現(xiàn)實中也就容易出現(xiàn)以下現(xiàn)象，即是“數(shù)學思維教學”完全集中于“解題方法”的研究，乃至最終蛻變成“題海戰(zhàn)術”，也即學生主要依靠記憶與模仿進行學習，而唯一的目標就是在各種考試中取得較好的成績；但是，即使在最好的情況下，按照這一模式培養(yǎng)出來的學生也只會考試，不會思維，更缺乏創(chuàng)新能力．更一般地說，這事實上也可被看成過強的規(guī)范性所必然導致的一個后果．

由以下論述可以看出，上述分析并非杞人憂天，而是有很大的現(xiàn)實意義：“人到16歲開始成人，知道自己要有人生目標，優(yōu)秀生開始思考未來，這是一個人成長、成型的關鍵時期．中國學生卻在這兩年天天復習高考”；“美國的優(yōu)秀學生不斷向上攀升，中國學生天天做高考題．中國高中的‘空轉’，在最容易吸收知識，開始思考人生的年齡段，束縛于考試．更令人心焦的是，許多頂尖的中學，對‘空轉’現(xiàn)象不覺得是問題．自我感覺良好．”[18]

還應強調(diào)的是，盡管所說的現(xiàn)象主要反映了“應試教育”的弊端，但由以下事實可以看出，這與數(shù)學教育圈內(nèi)的以下傾向也有密切的關系，即是“解題策略”與“數(shù)學思維”的過度“細化”和“程序化”．例如，由于認為波利亞所給出的解題策略過于一般，從而不便于人們應用，“問題解決”現(xiàn)代研究的主要代表人物舍費爾德教授就曾試圖對此做出更加細致的說明，也即認為相關教學應當很好地實現(xiàn)以下目標：（1）使隱含的過程明朗化；（2）讓學生就這些過程進行討論；（3）提供有指導的實踐；（4）確保學生牢固地掌握相關的程序；（5）既注意定性的理解，也注重具體的程序[19]．但是，盡管他曾投入很大力量從事相關的教學實踐，但最終卻未取得真正的成功．由此也就可以引出這樣一個結論，應跳出專業(yè)的“圈子”并從更廣泛的視角認識數(shù)學思維教學的意義．

當然，后者事實上也可被看成“核心素養(yǎng)說”這一整體性教育思想給予的主要啟示，特別是，作為數(shù)學教育工作者，顯然不應停留于“核心素養(yǎng)”的一般性論述，而應更深入地去思考數(shù)學對于提升個人與社會整體素養(yǎng)究竟有哪些特別重要、甚至是不可取代的作用，也即應當對“數(shù)學核心素養(yǎng)”的具體涵義做出更清楚地界定．

綜上可見，應對數(shù)學思維教學提出更高的要求，也即應當由唯一強調(diào)“幫助學生（初步地）學會數(shù)學地思維”上升到“通過數(shù)學學會思維”，特別是，應將努力提升學生的思維品質作為數(shù)學教學的主要目標．這也就是“數(shù)學思維教學”的第二階段．

作為這一階段的具體目標，還應十分重視學生學習能力的培養(yǎng)，特別是“總結、反思與再認識”的習慣與能力，從而就能真正成為學習的主人，包括由理性思維逐步走向理性精神．

也正是在這樣的意義上，關于“數(shù)學深度教學”的以下論述就可被看成為做好這一方面工作指明了努力的方向：數(shù)學教學必須超越具體知識和技能深入到思維的層面，由具體的數(shù)學方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質的提升，并應幫助學生由在教師（或書本）指導下進行學習逐步轉變?yōu)閷W會學習，包括善于通過同學間的合作與互動進行學習，從而真正成為學習的主人[20]．

顯然，相對于第一階段的數(shù)學思維教學而言，這體現(xiàn)了更高的要求，特別是，與簡單的規(guī)范性不同，第二階段的數(shù)學思維教學應當更加重視學生在學習活動中的自覺性．具體地說，這應被看成高中數(shù)學教學的主要任務；當然，正如前面所指出的，在初中階段也應十分重視相關思想的滲透，特別是應超出單純的數(shù)學思維轉向努力提升學生的思維品質．

最后，正如先前關于波利亞的引言所表明的，數(shù)學思維教學由第一階段向第二階段的過渡在很大程度上可被看成“常識”的回歸，或者更恰當?shù)卣f，是常識在更高層次的“重構”，也代表了一種螺旋式的上升．

4 兩種片面的認識

依據(jù)所說的“螺旋式上升”，可更好地理解對于數(shù)學思維教學做出兩個階段區(qū)分的必要性，包括不同階段應有不同的重點：第一階段應當主要強調(diào)“入”這樣一個關鍵詞，也即如何能夠幫助學生很好地了解和學習數(shù)學思維以改進他們已習慣的日常思維；第二階段則應特別強調(diào)“出”這樣一個關鍵詞，也即應當跳出專業(yè)的圈子從更大范圍發(fā)揮數(shù)學教育的作用，包括很好地落實“努力提升學生的核心素養(yǎng)”這一整體性的教育目標．

還應強調(diào)的是，依據(jù)上述分析也可很好地認識以下兩種主張的片面性，盡管它們在現(xiàn)實中都有轉大的影響．

其一，以“三會”作為數(shù)學教育的主要目標：“現(xiàn)在，我們強調(diào)學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，關注數(shù)學學科在人的素養(yǎng)發(fā)展中起到的作用，也就是說，通過數(shù)學學習，學生應當成長為什么樣的人，這就是數(shù)學教育的終極目標：會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界．”[21]

除去前面已提供的分析，由以下實例即可更清楚地認識這一主張的片面性，即“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”究竟有什么優(yōu)點，還是可能把一個本來不很復雜的事情搞復雜了？

【例】 從《紅樓夢》看教育（《小學數(shù)學教師》，2019年第2期）．

這一文章的主要觀點是：“《紅樓夢》中有兩個重要的主角，林黛玉和薛寶釵，她們的性格分別代表著數(shù)學中兩種不同的問題解決策略——‘從條件想起’和‘從問題想起’．”

具體地說：“林妹妹也許并不懂得數(shù)學中那些解決問題的策略，但其實她的性格特征傾向就是習慣‘從條件想起’……寶姐姐或許也不懂得數(shù)學中那些解決問題的策略，但其實她的性格特征傾向就是善于‘從問題想起’．”“‘從條件想起’的人行為動機是出于內(nèi)心真實的感受，而‘從問題想起’的人的行為動機是出于某種想要達到的目的……‘從條件想起’和‘從問題想起’出發(fā)點不一樣，它們所經(jīng)歷的過程以及對新問題的生成影響也都是不一樣的．‘從條件想起’就像林黛玉堆起的落花冢，無用，但能觸及更多人的心靈；‘從問題想起’就像薛寶釵服用的冷香丸，實用，但只為解決她一個人的病癥．”

顯然，上述做法實在有點“數(shù)學霸凌”的味道，即是將一個豐富多彩的真實世界硬行塞入到了冰冷的數(shù)學樊籠之中，也即用一個缺少人味的量的世界代替了“我們的質和感知的世界，我們在里面生活著、愛著、死著的世界”（柯伊萊語）．

總之，僅從單一學科的視角進行分析和思考問題就很容易導致片面性的認識，后者既包括唯一強調(diào)“幫助學生學會數(shù)學地思維”，也包括“人人都應做到‘三會’”的主張．

其二，應當積極提倡“基礎學科的去學科化”，不同學科的整合：“基礎教育要去學科化，強調(diào)綜合……只從學科的角度出發(fā)，不利于學生素養(yǎng)的發(fā)展．”相關人士還以清華附小的“1+X課程”為例，強調(diào)了相關工作的普遍意義：“基于學生發(fā)展核心素養(yǎng)的‘1+X課程’改革對于當下的基礎教育課程改革具有價值引領的意義．”[22]

盡管應當充分肯定各種“整合性研究”的意義，但這顯然又可被看成先前分析所給予的又一重要啟示：為了促進學生的成長，必須由籠統(tǒng)地提倡“核心素養(yǎng)”或“整體發(fā)展”，逐步過渡到各個學科的專業(yè)學習，只有在這樣的基礎上，才能進一步去談及“對于專業(yè)化的必要超越”，包括如何才能實現(xiàn)“不同學科的必要整合”這樣一個更高層次的目標．

這可被看成歷史給予的一個重要教訓：如果完全脫離專業(yè)的學習去談論“個人品質與氣質”等一般性素養(yǎng)的養(yǎng)成，這在很大程度上就是回到了孔子的教育思想，并將導致教育事業(yè)的嚴重倒退，也即不僅未能很好實現(xiàn)“對于專業(yè)化的必要超越”，而且，如果缺乏自覺性的話，反而會由初步的“專業(yè)化”重新回到“無專業(yè)”這樣一個原始的狀態(tài)，也即只能被看成所說的“高級狀態(tài)”的一種庸俗化．

顯然，依據(jù)上述分析也可更清楚地看出：在此所追求的并非常識的簡單回歸，而是其在更高層次的“重構”，而又正是專業(yè)的學習為所說的“重構”提供了必要基礎．

當然，就努力提升學生的“核心素養(yǎng)”，包括他們的思維品質而言，數(shù)學學習又非唯一可能的途徑，在此即可清楚地看到“大道歸一”的現(xiàn)象．但是，作為問題的另一方面，這顯然也應被看成這方面的又一基本事實，即不同的成長途徑必然會對主體產(chǎn)生實質的影響，從而，作為數(shù)學教育工作者，應當從更高層面認真地去思考數(shù)學教學在這方面究竟有哪些特別重要的作用，包括其可能的局限性？

從上述角度也可更好地理解以下主張，即第二階段的數(shù)學思維教學應當特別重視這樣一些方面：“序”的思想與思維的清晰性，聯(lián)系的觀點與思維的深刻性，變化的思想與思維的靈活性，總結、反思和再認識與思維的自覺性．當然，也應十分重視這些思想在第一階段的滲透．

5 關于第二階段數(shù)學思維教學的若干建議

對于第一階段的數(shù)學思維教學人們可以說已經(jīng)積累起一定經(jīng)驗；與此相對照，第二階段的數(shù)學思維教學則在很大程度上仍可說是空白，從而就需要密切聯(lián)系教學實踐積極地開展研究，特別是，應將此與努力改變“應試教育”，包括一般意義上的“減負增效”很好地聯(lián)系起來．當然，后者不只是指如何能夠幫助學生從“題海戰(zhàn)術”中解放出來，包括在各類考試中取得較好的成績，也是指使大多數(shù)學生在離開中學以后還能留下一些真正有價值的東西．

以下就是這方面的一些具體建議．

第一，明確目標，特別是，相對于各個具體的數(shù)學思想和數(shù)學解題策略，應當更加注重提升學生的思維品質．

應當強調(diào)的是，盡管相關主張從形式上看似乎已與具體解題活動有一定距離，但這恰恰應被看成提升學生解題能力的“正道”．具體地說，由于數(shù)學問題的多樣性和復雜性，更由于解題活動具有非邏輯性的特征，必然表現(xiàn)出一定的或然性和個體性．因此，盡管應當充分肯定“題型分析”的重要性，包括幫助學生很好地掌握相應的“解法”，也應高度重視解題策略（“數(shù)學啟發(fā)法”）與數(shù)學思想方法的學習，從而在遇到困難時就可獲得一定啟示．但是，單靠這些顯然還不足以保證解題活動的成功，包括很好地實現(xiàn)解題活動的“程序化、算法化”，如果因此將主要精力放在題型與解題策略的“細化”與“程序化”之上，則是選錯了方向，并很可能因此更深地陷入到“題?！薄靶g林”之中．與此相對照，應更加重視如何能夠通過解題教學努力提升學生的思維品質與對一般性思維策略的很好掌握，特別是，如何通過類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑，包括通過將事物聯(lián)系起來考察從而獲得更深入的認識，又如何能夠通過適當變化實現(xiàn)“化未知為已知，化繁為簡，化復雜為簡單”，并能逐步學會從不同角度分析問題和解決問題，包括不同方面的必要互補與適當整合，還應通過總結、反思與再認識實現(xiàn)更大的自覺性，也即使得相應的思維過程真正成為“可以理解的，可以學到手和可以推廣應用的”，包括如何又能通過“題后反思”實現(xiàn)必要的優(yōu)化[23–24]．

特殊地，從上述角度也可更好地理解這樣一個主張：解題教學必須從“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”，包括應如何理解后者的具體涵義．（后一方面的若干實例可見文[25]）

第二，堅持教學的開放性，切實發(fā)揮學生的主體作用．

具體地說，教學中不僅應當積極鼓勵學生通過自身的努力去解決問題，也應大力提倡解題方法的多元化，而不只是按照某一現(xiàn)成的模式去從事解題活動．當然，后者不應被理解成簡單的標新立異，或是教師完全放棄了應有的引領作用；恰恰相反，在教學中應高度重視比較和優(yōu)化的工作，從而幫助學生實現(xiàn)必要的優(yōu)化，包括能針對自身的特性從中做出適當?shù)倪x擇．

進而，就總體而言，應特別強調(diào)這樣一個思想：“以正合，以奇勝”，這也就是指，既應善于通過學習不斷實現(xiàn)必要的優(yōu)化，又應努力跳出已有的框架從不同角度進行分析思考，包括發(fā)現(xiàn)與建立新的聯(lián)系，實現(xiàn)更高層次的抽象，等等．

再則，從上述角度可以更好地理解“適當放慢節(jié)奏”的重要性，也即教學中應給學生的積極思考提供足夠的時間和空間，特別是，應幫助他們逐步養(yǎng)成“總結、反思與再認識”的習慣與能力，也即能夠通過長時間的思考很好實現(xiàn)“化多為少，化復雜為簡單”．

相信讀者依據(jù)上述分析也可對以下問題做出自己的判斷，即在以下兩種“教學生態(tài)”中何者更有利于學生的成長？

其一：“學生排除買飯時都在看書，走路時都是一種小跑，為的就是爭分奪秒地學習……”

其二：“在我的心里，一直有個固執(zhí)的想法．總覺得，最好的校園是應該可以令人發(fā)呆的．”[26]

以下是更加詳盡的對照，盡管文中直接論及只是校園：

“師生步履匆匆，除了食堂、寢室和教室、辦公室，其它許許多多的角落和空間，對他們而言仿佛形同虛設，他們只是這里的匆匆過客……這樣的校園沒有情趣，沒有內(nèi)涵；緊張有余，從容不足；‘現(xiàn)代’有余，底蘊不足．”

“校園環(huán)境有你發(fā)呆的空間和機會……可以讓人自由地對著一叢花或者一片葉子深入思考，可以在根底下捧起一本書忘我閱讀，也可以什么都不想，什么都不做，就坐在那里或者站在那里靜靜地發(fā)呆，不必在乎別人怎么看你，也不用擔心有人打擾你．總之，最好的校園一定可以讓師生特別是孩子自覺地放慢腳步，從容思想，自由‘發(fā)呆’．”

但是，“我們的責任不就是將學生送進好學校嗎？能使80%的畢業(yè)生考取211或985重點大學不正是我們苦苦追求的理想辦學境界嗎！”

以下則是完全相反的認識：“剛畢業(yè)那會兒，哪里懂教育，只知道‘考考考，老師的法寶；分分分，學生的命根’，并將此視為教育教學的準則和方向，起早貪黑地陪讀，口若懸河地灌輸，苦口婆心地勸誡，整天把學生逼進題海，只為學生考個好分數(shù)……可當領導、同事的鮮花掌聲涌來，卻沒有幾個學生感恩我的付出．學生的‘冷血’讓我深刻反?。何揖蜑榱粟A得這一‘佳績’嗎？如果給學生的只是分數(shù)，那叫教育嗎？”

“因此，在教育的‘速成’與‘養(yǎng)成’之間我選擇‘養(yǎng)成’，與其大量刷題，不如陪學生讀一本書；在教學的‘外鑠’與‘內(nèi)化’之間我追求‘內(nèi)化’，少強迫，多引導，讓學生在自我教育中成長；在教育的‘有用’與‘無用’之間我更鐘情于‘無用’，班級的審美教育、底線教育、陽光教育等活動開展貫穿每學期．我知道，教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長與發(fā)展．”[27]

第三，辯證思維的自覺指導．

上面所提及的“教與學”“規(guī)范（優(yōu)化）與開放”之間的關系顯然即可被看成這一方面的典型例子．

以下再針對“快與慢”之間的關系做出進一步分析：對此顯然不應僅從時間的維度進行理解，而應更加注重相應的實質性問題，也即應當努力做到“當快則快，當慢則慢”．例如，既不應在形式等方面花費過多的時間，又應積極鼓勵學生舍得花時間去從事思考，特別是更高層面的思考，從而就能“居高臨下”地去解決問題．

例如，如果學生在解題過程中遇到了較大困難，這時就應引導他們跳出面對的問題并從更大范圍去進行分析思考，即如什么是這方面的主要學習內(nèi)容？什么又是要解決的主要問題？主要的難點是什么？什么又可被看成突破難點的主要手段或方法？等等——盡管這些思考似乎已在一定程度上偏離了當前的任務，但又往往會對順利解決問題有很大的幫助．

還應指出的是，辯證思維的應用事實上也可被看成“中國解題研究”最重要的一個特征．對此例如由羅增儒和任樟輝教授所總結的“解題策略”或“思維原則”就可清楚地看出：“模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進退互化、正反相輔、動靜轉換、數(shù)形結合、有效增設、以美啟真”[28]；“以簡馭繁、進退互用、數(shù)形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動靜轉換、分合相輔、引參求變、以美啟真”[29]．

再則，從上述角度可以更好地理解正確處理邏輯與直覺之間關系的重要性，特別是，不僅應當幫助學生很好地學會邏輯思維，也應努力促進他們直覺能力的發(fā)展，而不應片面地強調(diào)其中的任何一個．例如，依據(jù)直覺思維的“跳躍性、形象性和整體性”就可總結出這樣一些具體的教學措施：相對于“按部就班”而言，應當積極鼓勵必要的“壓縮”（凝聚）和跳躍，教學中還應十分重視“畫圖”這一策略的應用，因為，后者即可被看成內(nèi)在思維活動的顯化，從而就十分有益于跳出細節(jié)從整體上去把握對象，包括形象思維與直覺能力的培養(yǎng)．

第四，幫助學生由“理性思維”逐步走向“理性精神”應當成為這方面教學工作的一個更高追求．

顯然，上述工作不僅具有重要的現(xiàn)實意義，也是中國數(shù)學教育工作者所應自覺承擔的一項社會責任，因為，這正是中國傳統(tǒng)文化的一個明顯不足，即理性精神的缺失，而數(shù)學教育確又可以、而且應當在這一方面發(fā)揮重要的作用[30]．

當然，“理性精神”的養(yǎng)成主要又應被看成一個潛移默化的過程，因此，就應特別重視教師的以身作則．因為，無法想象一個既不喜歡思考，平時處事又十分任性的數(shù)學教師能夠通過自己的教學幫助學生逐步學會思維并能真正成為一個高度自覺的理性人．

最后，再次強調(diào)的是，這方面工作確有很多問題需要深入地進行研究，十分希望能有更多同行，特別是廣大一線教師積極投身這一工作．

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[26] 厲佳旭．最好的校園令人發(fā)呆[J]．人民教育，2020（1）：49–52．

[27] 陳立軍．陪學生遇見美好的自己[J]．人民教育，2020（5）：78–80．

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[30] 鄭毓信．數(shù)學教師應有的“文化擔當”[J]．湖南教育，2019（1–3）：22–24．

Two Stages of Mathematics Teaching for Thinking

ZHENG Yu-xin

(Department of Philosophy, Nanjing University, Jiangsu Nanjing 210093, China)

Teaching mathematical thinking should be divided into two stages: (1) helping students learn to think mathematically and in this way to improve their thinking; (2) going from “think mathematically” to “l(fā)earn to think through mathematics”, and thus improve students’ thinking quality. By comparing with this “spiral development”, it can be clearly seen the one-sidedness of the following two views: the de-disciplinarization of basic education, and the narrow interpretation of the objectives of mathematics education from the disciplinary perspective.

two stages of teaching mathematical thinking; think mathematically; learn to think through mathematics; spiral development

G40–03

A

1004–9894（2022）01–0001–06

鄭毓信．數(shù)學思維教學的“兩階段理論”[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（1）：1-6．

2021–10–03

鄭毓信（1944—），男，浙江鎮(zhèn)海人，教授，博士生導師，國際數(shù)學教育大會（ICME-10）國際程序委員會委員，主要從事數(shù)學哲學、數(shù)學教育研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]