王海青，曹廣福

問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則與思想及其實(shí)施步驟

王海青1，曹廣福2

（1．惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 惠州 516007；2．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

問題是促動(dòng)學(xué)科發(fā)展的原始動(dòng)力，數(shù)學(xué)也不例外．問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)研究依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)“要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題”的要求，進(jìn)行相應(yīng)的理論思考和實(shí)踐探索．問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題并賦予問題有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生在問題情境空間中探究生成數(shù)學(xué)知識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法并學(xué)會(huì)思考．基于問題驅(qū)動(dòng)理論與數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)剖析問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和基本思想，構(gòu)建針對具體課時(shí)的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)實(shí)施步驟，為教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織提供參考．

問題驅(qū)動(dòng)；問題情境；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

1 問題驅(qū)動(dòng)與數(shù)學(xué)教學(xué)

由于數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和教材編寫的需要，數(shù)學(xué)教科書基本上是以概念的描述、定理的證明、法則的論證等構(gòu)成形式化的邏輯演繹體系，而知識(shí)產(chǎn)生的原始問題與豐富背景都幾乎消失殆盡．這使學(xué)習(xí)者在一堆符號(hào)化的邏輯推理中很難體會(huì)到所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美及其重要價(jià)值．但“數(shù)學(xué)并不是按照教科書中的方式發(fā)展的”[1]．問題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原始動(dòng)力，數(shù)學(xué)也不例外．M. Kline就曾指出：“每一個(gè)數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的．”[2–3]因此，合乎情理和邏輯的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)圍繞問題展開．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[4]強(qiáng)調(diào)“教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題……教學(xué)情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境”，并指出“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”．教師需通過問題與情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過程，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)并學(xué)會(huì)思考．要求設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題為學(xué)生提供具有挑戰(zhàn)性的實(shí)踐創(chuàng)新平臺(tái)，問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)研究也正是基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行相應(yīng)的理論和實(shí)踐探討．問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是指要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)的問題并賦予有效的情境，教師引領(lǐng)學(xué)生圍繞問題情境探究發(fā)現(xiàn)，在解決問題的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程，習(xí)得具體的知識(shí)獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法[5]．

以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，能再現(xiàn)數(shù)學(xué)豐富多樣的“火熱”思考過程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)并教學(xué)生學(xué)會(huì)思考；以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，有助于學(xué)生在問題情境中從事探索活動(dòng)，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中生成“形式化”的數(shù)學(xué)概念與原理并習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾提出“以問題驅(qū)動(dòng)的新概念數(shù)學(xué)”[6]，李大潛院士也大力提倡“問題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”[7]，還有許多文獻(xiàn)從不同的角度探討了問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)[8–11]．2018和2019年出版的著作《問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》[5，12–13]的理論與實(shí)踐卷、概率與統(tǒng)計(jì)卷、復(fù)數(shù)與三角卷系統(tǒng)地探討了問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)理論及其在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用．

2 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則

問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“由問題到理論”，是對荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”思想的具體化．弗賴登塔爾認(rèn)為任何數(shù)學(xué)都是“數(shù)學(xué)化”的結(jié)果，學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)“數(shù)學(xué)化”的過程[14]．從現(xiàn)實(shí)情境發(fā)現(xiàn)問題并抽象出數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)問題的符號(hào)化過程稱為“橫向數(shù)學(xué)化”．從不同角度和層次分析、表征與解決數(shù)學(xué)模型或問題的形式化過程稱為“縱向數(shù)學(xué)化”．但弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育觀主要從學(xué)生認(rèn)知層面強(qiáng)調(diào)教學(xué)組織過程，根據(jù)學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”將一系列的教學(xué)材料通過“再創(chuàng)造”將之“數(shù)學(xué)化”地組織起來，即“如何教”．問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)除了關(guān)注“如何教”，也重視“教什么”與“為什么教”．它從教育哲學(xué)層面深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部去剖析知識(shí)的背景與價(jià)值，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)能反映本質(zhì)，符合學(xué)生實(shí)際的問題與情境驅(qū)動(dòng)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的“數(shù)學(xué)化”過程．

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展在解決現(xiàn)實(shí)問題、科學(xué)問題和內(nèi)部矛盾的過程中逐步完善．所以，數(shù)學(xué)概念或原理的形成可以是源于現(xiàn)實(shí)生活、自然與工程等科學(xué)或者是數(shù)學(xué)本身的問題．只要是“具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的”[6]問題都是好問題、真問題．真問題又常劃分為“本原性問題”和“派生性問題”兩類[9]：前者指促使事物產(chǎn)生的最初根源，后者是指某個(gè)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生之后根據(jù)自身邏輯發(fā)展產(chǎn)生的問題．問題有助于數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，但“問題不等于問題情境”[15]，只有當(dāng)學(xué)生面對問題有解決它的心向和欲望——即具備有意義學(xué)習(xí)的條件時(shí)，問題才能構(gòu)成問題情境，才能真正做到以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)．從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，有效的問題情境材料應(yīng)“具有一定的生活意義、數(shù)學(xué)價(jià)值或科學(xué)價(jià)值”[9]．要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}及其情境，需追溯數(shù)學(xué)史回答以下3個(gè)問題：這個(gè)內(nèi)容當(dāng)初是怎么產(chǎn)生與發(fā)展的？人們?yōu)槭裁匆パ芯克?？它有什么價(jià)值？通過歷史挖掘承載在具體數(shù)學(xué)知識(shí)之上的問題背景、思想方法以及數(shù)學(xué)家的研究精神．由此可見，基于問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施至少需遵循以下3個(gè)原則．

2.1 問題驅(qū)動(dòng)原則

正如哈爾莫斯所言，問題是數(shù)學(xué)的心臟．問題也是數(shù)學(xué)課堂的核心，教學(xué)應(yīng)依據(jù)歷史與學(xué)生實(shí)際對教材重組“再創(chuàng)造”，提出合適的真實(shí)問題，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境驅(qū)動(dòng)概念與原理的教學(xué)．教師為學(xué)生提供探索活動(dòng)的適當(dāng)問題空間，引導(dǎo)他們在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)并習(xí)得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想、學(xué)會(huì)思考，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)解決具體問題、鞏固新知、體驗(yàn)“用數(shù)學(xué)”的過程．圍繞恰當(dāng)問題情境展開教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的能力．

2.2 密切聯(lián)系現(xiàn)實(shí)原則

這里的“現(xiàn)實(shí)”有兩層含義：一是指學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，二是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景．問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題并賦予有效的情境，教師進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織時(shí)必須考慮學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，使提出的問題在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使依據(jù)數(shù)學(xué)產(chǎn)生背景所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境是學(xué)生所能理解的現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境或數(shù)學(xué)情境．?dāng)?shù)學(xué)在解決各種各樣的問題中形成相應(yīng)的概念和原理，教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}及其情境反映這個(gè)過程并讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性、深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性與趣味性．學(xué)生在問題情境中經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界向數(shù)學(xué)世界和符號(hào)世界過渡的完整“數(shù)學(xué)化”過程，在獲得基本知識(shí)與技能、基本思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”[4]，促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

2.3 知識(shí)生成原則

學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要支架．新知應(yīng)在舊知的基礎(chǔ)上引發(fā)，學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過程中建立起知識(shí)間的實(shí)質(zhì)和意義聯(lián)系，進(jìn)而形成良好的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)的理解并實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移．這也要求教師深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部剖析教材內(nèi)容，確定教學(xué)的困難或存在的問題，明確單元的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)以及各知識(shí)點(diǎn)在單元內(nèi)部、單元之間、數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部和外部之間的聯(lián)系，理清知識(shí)脈絡(luò)與所體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想，以尋找教學(xué)的合適生長點(diǎn)．

3 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想

有效實(shí)施問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的前提是教師能依據(jù)歷史和學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教材，整體把握教學(xué)內(nèi)容，確定核心問題，設(shè)置恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)問題情境，在此基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的完整過程．?dāng)?shù)學(xué)具有“原始形態(tài)”“學(xué)術(shù)形態(tài)”“教育形態(tài)”3種存在形式[16]．教師應(yīng)具備將知識(shí)在數(shù)學(xué)史中的“原始形態(tài)”和教科書中的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為再現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的“教育形態(tài)”的能力．如果說，研究數(shù)學(xué)史和教科書是為了揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與教學(xué)價(jià)值，以厘清“教什么”與“為什么教”．那么將數(shù)學(xué)的“原始形態(tài)”和“學(xué)術(shù)形態(tài)”有效轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生接受的“教育形態(tài)”，就是為了解決“如何教”的問題．因此，問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的組織與實(shí)施需把握以下4個(gè)基本思想．

3.1 基于對教學(xué)單元的整體把握 深入理解具體課時(shí)內(nèi)容

課時(shí)內(nèi)容是單元的一個(gè)部分，單元?jiǎng)t是數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)中最小的整體．要掌握局部的課時(shí)內(nèi)容，就需理解其在單元中的地位與作用．進(jìn)一步地，還需了解單元與數(shù)學(xué)學(xué)科整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，甚至是與其它學(xué)科的聯(lián)系．這樣才能設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}與情境更好地組織具體課時(shí)的教學(xué)．要整體把握數(shù)學(xué)單元，就是要依據(jù)課程與單元專題的總體目標(biāo)、教材的體系、數(shù)學(xué)史和學(xué)生的實(shí)際去深入剖析教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值與地位．換句話說，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)是為了服務(wù)局部的課時(shí)內(nèi)容，為了更好地揭示知識(shí)背后的思想及相互間的聯(lián)系．而充滿各種聯(lián)系的局部內(nèi)容構(gòu)成了具有生命力的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

3.2 基于歷史與學(xué)生現(xiàn)實(shí)“再創(chuàng)造”教材內(nèi)容 呈現(xiàn)知識(shí)的教育形態(tài)

數(shù)學(xué)專著的內(nèi)容基本以學(xué)術(shù)形態(tài)呈現(xiàn)一堆數(shù)學(xué)化的形式結(jié)果，看不到知識(shí)的起源與發(fā)展，感受不到數(shù)學(xué)家曲折而豐富的思考過程．教科書雖然不同于數(shù)學(xué)專著，但為了便于組織也基本按照“定義→定理或公式法則的證明→應(yīng)用”的順序組織教材．?dāng)?shù)學(xué)史則是以原始形態(tài)表現(xiàn)數(shù)學(xué)，反映知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和思想方法的形成過程，但也包含了各種細(xì)節(jié)以及數(shù)學(xué)家所走過的彎路．弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要經(jīng)歷歷史上的重要步驟卻并非要重復(fù)歷史，而是要依據(jù)歷史結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和原始形態(tài)轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教育形態(tài)．所以，教師需整體把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識(shí)和學(xué)生實(shí)際重構(gòu)教材，圍繞問題在課堂教學(xué)組織中有的放矢地再現(xiàn)數(shù)學(xué)家“火熱的思考”過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.3 基于問題驅(qū)動(dòng)教學(xué) 揭示概念與原理的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念特別是基礎(chǔ)的核心概念是數(shù)學(xué)這座大廈的基石，相應(yīng)的理論和定理構(gòu)成了大廈的框架，各個(gè)定理、命題之間的相互關(guān)系及其蘊(yùn)含的思想方法則充實(shí)了框架結(jié)構(gòu)，形成了有血有肉的整體．以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是生成概念和獲得原理的最佳途徑，學(xué)生在合適的問題空間中進(jìn)行探索活動(dòng)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的形成過程．雖然在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不可能每節(jié)課都圍繞著一個(gè)核心問題展開教學(xué)．但對于在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中起著基礎(chǔ)作用的重要概念和定理，最適合也最需要以問題驅(qū)動(dòng)的方式展開教學(xué)來揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．通過問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念與原理背后所隱藏的思想方法，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值、作用與魅力．

一般而言，對于新課——如概念、定理、性質(zhì)或公式的講授，應(yīng)盡可能地選擇恰當(dāng)問題設(shè)置真實(shí)有效的情境展開教學(xué)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)親歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程．而在圍繞一節(jié)課的核心問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的過程中，為了幫助學(xué)生更好地開展探究活動(dòng)，教師仍需要給合學(xué)生的實(shí)際設(shè)置一系列有啟發(fā)性的、有前后邏輯關(guān)系的問題鏈．如果把核心問題比作“大問題”，那么問題鏈就是為了大問題的解決而設(shè)置的一個(gè)個(gè)小臺(tái)階，讓不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生都有機(jī)會(huì)到達(dá)目標(biāo)——解決大問題并揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)．為鞏固新知，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵與外延、原理的適用范圍與限制條件等，同樣也要設(shè)置一系列反映概念本質(zhì)屬性、原理實(shí)質(zhì)的變式問題進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)．可見，問題總是教學(xué)的中心，但“問題鏈”與本原性問題、派生性問題在教學(xué)中的意義及作用不盡相同．

3.4 基于“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容 構(gòu)建相互聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)

將數(shù)學(xué)內(nèi)容問題化，將問題情境化，并以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是為了更好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”．讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程的實(shí)質(zhì)也是要求教師用“數(shù)學(xué)化”的方法組織教學(xué)內(nèi)容的過程．弗賴登塔爾指出要教充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)，才有利于學(xué)生理解、記憶與運(yùn)用知識(shí)，才能形成數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)．學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化的過程將數(shù)學(xué)與外部現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來，經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化的過程則是在數(shù)學(xué)的內(nèi)部建立起彼此間豐富的聯(lián)系．通過“數(shù)學(xué)化”，幫助學(xué)生將一個(gè)個(gè)概念、原理、公式、法則有機(jī)組織在一起形成完善的知識(shí)體系獲得對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，實(shí)現(xiàn)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部及其與其它學(xué)科之間的密切聯(lián)系．

4 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本步驟

數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)可以是數(shù)學(xué)問題也可以是科學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題，在解決問題的過程中抽象出數(shù)學(xué)的概念與原理，進(jìn)而運(yùn)用結(jié)論解決其它的數(shù)學(xué)問題、科學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題．?dāng)?shù)學(xué)研究的過程也反映了數(shù)學(xué)教育的基本過程，如圖1[5]，從“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”與從“現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)教育的兩條基本主線．“數(shù)學(xué)化”的出發(fā)點(diǎn)指研究的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)問題，“生活化”的出發(fā)點(diǎn)指研究的起點(diǎn)為科學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題．不管是從數(shù)學(xué)本身出發(fā)還是從現(xiàn)實(shí)開始，研究所獲得的結(jié)論既可用以解決數(shù)學(xué)問題也可處理實(shí)際問題．

圖1 數(shù)學(xué)教育的基本過程

數(shù)學(xué)教學(xué)是對數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，是要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)過程．如果數(shù)學(xué)來源于生活問題或科學(xué)問題，教學(xué)情境就盡可能與學(xué)生生活實(shí)際密切聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活價(jià)值或科學(xué)價(jià)值．強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系也是“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[17-18]的教學(xué)體現(xiàn)．如果知識(shí)產(chǎn)生于數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展需要，問題就應(yīng)融于適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境，反映知識(shí)的數(shù)學(xué)價(jià)值．這或許與徐利治先生所說的“數(shù)學(xué)教育不必強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，可以完全從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)教育”[19]有一定的相通之處．

圖1給出了數(shù)學(xué)教育的基本路線與框架．對于具體課時(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為便于教師的把握與操作，可根據(jù)數(shù)學(xué)教育的基本過程，構(gòu)建出更具操作性的問題驅(qū)動(dòng)課時(shí)教學(xué)的基本步驟，如圖2．課時(shí)教學(xué)組織過程經(jīng)歷Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個(gè)步驟．

教學(xué)的起點(diǎn)可以是蘊(yùn)含數(shù)學(xué)問題的科學(xué)情境、現(xiàn)實(shí)情境，也可以就是反映知識(shí)本質(zhì)的數(shù)學(xué)情境，不管是哪種起點(diǎn)形式都要經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)組織過程．而且教學(xué)的終點(diǎn)都指向應(yīng)用，用獲得的數(shù)學(xué)概念或原理解決數(shù)學(xué)問題或者實(shí)際問題．問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)過程，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、分析問題與解決問題的過程，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的形成過程．學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中激發(fā)了探究精神，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模能力和思辨能力，提升了問題意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

圖2 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課時(shí)教學(xué)的基本步驟

5 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾種形式

根據(jù)問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)課時(shí)教學(xué)的基本步驟，由于不同的問題情境，教學(xué)過程的展開也略有不同．

5.1 若促使數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景是來自現(xiàn)實(shí)或科學(xué)的本原性問題

此時(shí)教學(xué)過程基本按照圖2經(jīng)歷從Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ的4個(gè)步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境抽象出數(shù)學(xué)模型或問題到解決問題獲得新知，再到應(yīng)用新知的過程，學(xué)生同時(shí)經(jīng)歷了“橫向數(shù)學(xué)化”與“縱向數(shù)學(xué)化”．比如“平面向量”單元“向量”概念的教學(xué)．向量本身就有極強(qiáng)的物理背景，自然可以通過分析學(xué)生所熟悉的既有大小又有方向的力（如重力、浮力、彈力等）后歸納抽象出向量的概念，從物理世界過渡到數(shù)學(xué)的符號(hào)世界，經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化．然后再深入探討向量的幾何表示方法、相等向量與共線向量的定義，在數(shù)學(xué)內(nèi)部盡可能建立與向量的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)縱向數(shù)學(xué)化．再在解決問題中鞏固和運(yùn)用向量的概念．

5.2 若促使數(shù)學(xué)知識(shí)的形成源于數(shù)學(xué)自身邏輯的本原性問題

于是人們不得不考慮負(fù)數(shù)平方根的性質(zhì)及其與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，由此引入新數(shù)——虛數(shù)單位i和復(fù)數(shù)的概念．教學(xué)完全可以結(jié)合這樣的數(shù)學(xué)背景創(chuàng)設(shè)情境激起學(xué)生的認(rèn)知沖突自然進(jìn)入“縱向數(shù)學(xué)化”，然后從不同的角度理解和用不同的方式表征新知識(shí)，進(jìn)而形成完善的概念并應(yīng)用概念．

5.3 若數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部形式邏輯推導(dǎo)的派生性問題

圖3 平方差公式的幾何解釋

[1] 鄧納姆．微積分的歷程——從牛頓到勒貝格[M]．李伯民，王軍，張懷勇，譯．北京：人民郵電出版社，2010：14．

[2] KLINE M. Calculus: An intuitive and physical approach [M]. New York: Dover Publications, Inc, 1998: 2.

[3] 高雪芬，汪曉勤．M·克萊因的HPM思想——以《微積分》為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：24-27．

[4] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：81-82，91-92．

[5] 曹廣福，張蜀青．問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·理論與實(shí)踐卷[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2018：7-8．

[6] 張奠宙，張蔭南．新概念：用問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（3）：8-10．

[7] 李大潛．從數(shù)學(xué)建模到問題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2014，3（3）：1-9．

[8] 裴新寧．在“實(shí)習(xí)場”中“做科學(xué)”——問題驅(qū)動(dòng)的科學(xué)探究學(xué)習(xí)環(huán)境設(shè)計(jì)[J]．全球教育展望，2001，30（1）：48-53．

[9] 曹廣福，張蜀青．論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評價(jià)的核心要素——以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（4）：17-20．

[10] 沈威，曹廣福．高中三角函數(shù)教育形態(tài)的重構(gòu)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）：14-21．

[11] 盧建川．基于問題驅(qū)動(dòng)的高中復(fù)數(shù)教學(xué)研究與教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)[D]．廣州：廣州大學(xué)，2016：25-95．

[12] 曹廣福，張蜀青，羅荔齡．問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·概率與統(tǒng)計(jì)卷[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2018：1-201．

[13] 曹廣福，盧建川，沈威．問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·復(fù)數(shù)與三角卷[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2019：1-160．

[14] 弗賴登塔爾．?dāng)?shù)學(xué)教育再探[M]．上海：上海教育出版社，1999：33-34．

[15] 鄭毓信．“問題意識(shí)”與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：1-5，92．

[16] 李祎．高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（6）：31-35．

[17] 陳重穆，宋乃慶．淡化形式，注重實(shí)質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2（2）：4-9．

[18] 陳重穆，宋乃慶．再談“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（2）：15-18．

[19] 徐利治．談?wù)勎仪嗌倌陮W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些經(jīng)歷和感想[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007，46（12）：1-5．

[20] 王海青．?dāng)?shù)學(xué)史視角下“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（4）：15-19．

The Fundamental Principles and Thoughts of Problem-Driven Mathematics Teaching and Its Implementation Steps

WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2

(1. School of Mathematics & Statistics, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China;2. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Problems is the original driving force for the development of disciplines, and mathematics is no exception. The problem-driven mathematics teaching research is based on the requirements of the curriculum standard “to create appropriate teaching situations and put forward appropriate mathematical problems”, and carry out corresponding theoretical thinking and practical exploration. The key to problem-driven mathematics teaching is to create real problems and explore them in effective situations. Teachers lead students to explore and generate mathematical knowledge in problem situations, acquire mathematical thinking methods and learn to think. Based on the problem-driven theory and the characteristics of mathematics, the basic principles and thoughts are analyzed, and the implementation steps of problem-driven mathematics teaching for specific classes are constructed to provide reference for teaching design and organization.

problem-driven; problem situations; mathematics teaching; mathematical thoughts

G632

A

1004–9894（2022）01–0024–04

王海青，曹廣福．問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則與思想及其實(shí)施步驟[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：24-27．

2021–10–26

廣東省學(xué)校德育科研課題——基于“立德樹人”的高校課程育人途徑探索——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例（2019GXSZ055）；廣東省教育研究院2019年教育研究課題——“U-G-S”協(xié)同機(jī)制下數(shù)學(xué)教師職前培養(yǎng)與職后培訓(xùn)一體化建設(shè)研究；惠州學(xué)院自主創(chuàng)新能力提升計(jì)劃課題——整體主義視野下數(shù)學(xué)教師教學(xué)素養(yǎng)的提升研究（hzu201912）；惠州學(xué)院高等教育教學(xué)研究與改革課題——問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂研究（JG2018011）

王海青（1978—），女，廣東河源人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]