吳增生，鄭燕紅，吳海燕，王澤峰

怎樣促進(jìn)學(xué)生提出和解決高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題——等腰三角形單元教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究

吳增生1，鄭燕紅2，吳海燕3，王澤峰4

（1．浙江省臺(tái)州市仙居縣教育教學(xué)研究中心，浙江 臺(tái)州 318000；2．浙江省臺(tái)州市仙居縣安洲中學(xué)，浙江 臺(tái)州 317300；3．浙江省臺(tái)州市仙居縣橫溪鎮(zhèn)新生中學(xué)，浙江 臺(tái)州 317312；4．浙江省臺(tái)州市天臺(tái)縣赤城中學(xué)，浙江 臺(tái)州 317200）

近幾十年來，對(duì)問題提出教學(xué)的研究卓有成效，問題提出與問題解決的認(rèn)知關(guān)系、與數(shù)學(xué)與學(xué)生的學(xué)業(yè)成就關(guān)系、教學(xué)策略、教學(xué)模式等諸方面理論架構(gòu)日趨成熟．但是教學(xué)實(shí)踐案例研究不夠廣泛和深入，特別是用數(shù)據(jù)說明教學(xué)效果的案例很少．研究以初中“等腰三角形”單元內(nèi)容為例，提出了“用大觀念引領(lǐng)，基于單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，整合已有問題提出教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生提出和解決高價(jià)值的問題”的教學(xué)策略，在典型的城區(qū)學(xué)校和農(nóng)村學(xué)校分別選擇樣本進(jìn)行教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)并用SPSS20.0軟件進(jìn)行分析，并進(jìn)一步進(jìn)行效應(yīng)量（ES）分析．結(jié)果表明，用這種教學(xué)策略能顯著提高促進(jìn)學(xué)生提出并解決高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題．

等腰三角形；問題提出和解決；教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)

1 研究背景

“提出問題”是科學(xué)研究中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)思考的開端．1989年，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，簡(jiǎn)稱NCTM）頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》提出“在數(shù)學(xué)教學(xué)中提供讓學(xué)生提出問題的機(jī)會(huì)”的主張，這標(biāo)志著把“問題的提出”正式作為數(shù)學(xué)教育的問題來研究，引發(fā)了問題提出教學(xué)法研究的蓬勃發(fā)展．研究者從問題提出與問題解決的關(guān)系、問題提出與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平的關(guān)系、問題提出的認(rèn)知策略、問題提出教學(xué)模式及實(shí)踐等方面展開研究，取得了豐富的成果．（1）問題提出與問題解決認(rèn)知關(guān)系的研究．蔡金法等人進(jìn)一步明確界定了問題提出教學(xué)的相關(guān)概念及不同表現(xiàn)形式，明確了問題提出與問題解決相融合的認(rèn)知機(jī)制[1]．Christou、Mousoulides、Pittalis和Pitta-Pantazi（2005）通過考察職前教師用動(dòng)態(tài)幾何軟件工具在平行四邊形研究中提出和解決問題能力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些職前教師在提出問題與解決問題活動(dòng)中的認(rèn)知表現(xiàn)符合蔡金法等人提出的上述理論框架．（2）問題提出與學(xué)生學(xué)業(yè)成就的研究．蔡金法等人研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的問題提出活動(dòng)可以發(fā)展學(xué)生的學(xué)業(yè)成就，反之，學(xué)生的高學(xué)業(yè)成就可以促進(jìn)其提出好的數(shù)學(xué)問題（Cai和Hwang，2002；Cai等，2013），Silver（1997）研究發(fā)現(xiàn)問題提出促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，Kotsopoulos和Cordy（2009）等人以初中生為例，發(fā)現(xiàn)通過問題提出活動(dòng)可以改進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解[1]．（3）問題提出的策略和方法研究．Kilpatrick（1987）提出了一些數(shù)學(xué)問題提出策略：觀念的聯(lián)結(jié)、類比、一般化、反駁、換位思維法和觀念組合法等，通過運(yùn)用這些策略，可以幫助學(xué)生提出更多的好問題[2]；Silver（1994）提出了兩種提出問題的策略：一種是根據(jù)情境來提出問題，另一種是改編現(xiàn)有問題來提出新問題[3]；Moore-Russo和Weiss（2011）基于數(shù)學(xué)家決定后續(xù)研究方向的常用變式思考方式，以幾何內(nèi)容為例，提出在已有問題基礎(chǔ)上提出新問題的5種策略[1]：強(qiáng)化/弱化條件，強(qiáng)化/弱化結(jié)論，一般化，特殊化，反向思考．（4）問題提出教學(xué)的研究．Contreras（2003）提出的PPM（Problem Posed Model）教學(xué)模式認(rèn)為教師可以通過例題來講授提出問題的一般模式，激發(fā)學(xué)生提出問題[4]；Kontorovich等人在后續(xù)研究中（2012）就課堂上學(xué)生特定的集體活動(dòng)情境，提出了解釋數(shù)學(xué)問題提出復(fù)雜性的綜合性理論框架：任務(wù)的組織、學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、問題提出的啟發(fā)式與圖式、小組工作的行為與互動(dòng)模式及個(gè)體對(duì)適切性的考慮[5]．由Ellerton（2013）提出[6]、并經(jīng)Xie（2017）[7]等進(jìn)一步完善的主動(dòng)學(xué)習(xí)框架（active learning framework），有助于在真實(shí)、復(fù)雜的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境中確定問題提出的位置和師生的角色及其變化．此外，經(jīng)過Hildebrand（1999）[8]、Contreras（2007）[9]、GonzaLes（1998）[10]、Yeap（2009）[11]、Schloemer（1994）[12]等研究者的努力，在問題提出的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方案、師生角色定位、學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)等諸方面取得豐富的成果．English（1997）在小學(xué)五年級(jí)5個(gè)班級(jí)中進(jìn)行問題提出訓(xùn)練實(shí)證研究，從五年級(jí)的150名學(xué)生中選出11位數(shù)感能力強(qiáng)而解決新穎問題弱的學(xué)生、4位數(shù)感能力弱而解決新穎問題強(qiáng)的學(xué)生以及12位兩者都強(qiáng)的學(xué)生（共27人）參與為期一年的提出問題系統(tǒng)訓(xùn)練活動(dòng)，通過前后訪談測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)進(jìn)行問題提出訓(xùn)練的學(xué)生在“創(chuàng)造新問題，發(fā)展新內(nèi)容和拓展問題結(jié)構(gòu)”3個(gè)指標(biāo)上取得了較好的發(fā)展[13]．

Cifarelli和Cai（2005）提出的問題提出與問題解決認(rèn)知循環(huán)理論，揭示了數(shù)學(xué)問題提出和問題解決的關(guān)系，在一般意義上為問題提出與問題解決融合教學(xué)提供了宏觀的認(rèn)知活動(dòng)框架．Silver給出了兩種提出問題的策略，明確了數(shù)學(xué)問題提出的基本分類和基本來源，為問題提出教學(xué)提供了可參照的方向．Moore-Russo和Weiss（2011）進(jìn)一步細(xì)化了Silver的問題提出策略，提出了更具有操作性的問題提出方法，便于在教學(xué)中整合問題提出與解決活動(dòng)，達(dá)成課程目標(biāo)；Contreras、Kontorovich、Ellerton、Xie等人的教學(xué)模式研究，給出了可操作的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施的方法，English（1997）的實(shí)證研究，為研究促進(jìn)學(xué)生提出和解決問題能力的教學(xué)干預(yù)研究提供了有益的啟發(fā)．

在國(guó)內(nèi)，數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)研究始于20世紀(jì)90年代，2001—2003年快速發(fā)展，然后趨于平穩(wěn)[14]．隨著課程改革的深入，“四基”“四能”要求出現(xiàn)在2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)及2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，又出現(xiàn)了快速發(fā)展的勢(shì)頭．呂傳漢、汪秉彝（2006）曾構(gòu)建數(shù)學(xué)“情境—問題”的教學(xué)模式，給出了問題提出和解決的系統(tǒng)教學(xué)策略體系，建立了一個(gè)幫助教師設(shè)計(jì)提出問題情境的項(xiàng)目組，基于通常的課程，引領(lǐng)教師開發(fā)出了一系列的教學(xué)案例，在中國(guó)10個(gè)省市超過300所學(xué)校參與了該項(xiàng)目的培訓(xùn)與研究[15]．蔡金法認(rèn)為，問題提出教學(xué)研究中，對(duì)于用問題提出評(píng)估師生的數(shù)學(xué)思維，問題提出教學(xué)的理論框架，目前已經(jīng)基本成型，目前缺的是具體的實(shí)踐來實(shí)現(xiàn)這些理念[16]．2019年，蔡金法帶領(lǐng)浙江蕭山的一批小學(xué)數(shù)學(xué)教師，開發(fā)了一批教學(xué)案例，發(fā)表于《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》增刊上．此外，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》于2002—2003年集中發(fā)表了數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)案例研究的論文．

已有研究表明，開展問題提出教學(xué)，能有效促進(jìn)學(xué)生解決問題能力和創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展（Cai和Hwang，2002；Cai等，2013；Silver，1997）；而且也有了促進(jìn)學(xué)生提出問題的策略框架（如呂傳漢、汪秉彝提出的“情境—問題”策略，Silver提出的兩條策略，Moore-Russo和Weiss基于幾何內(nèi)容的問題提出具體方法，English提出的發(fā)展學(xué)生問題提出和解決能力的訓(xùn)練框架，等等）；通過訓(xùn)練，教師和學(xué)生也有能力提出問題．但是，研究中也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生提出的問題質(zhì)量往往不高，往往會(huì)提出非數(shù)學(xué)、不可解和不相關(guān)的問題[17]．English（1997）提出的訓(xùn)練問題提出和解決能力的策略框架是針對(duì)班級(jí)中的部分同學(xué)進(jìn)行的，不能直接遷移到通常課程的課堂教學(xué)中，在國(guó)內(nèi)已有的實(shí)踐研究中，至今很少發(fā)現(xiàn)基于數(shù)據(jù)分析的融合問題提出和解決教學(xué)實(shí)證研究，導(dǎo)致這些教學(xué)案例在改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)展學(xué)生的問題提出和問題解決能力的效果方面說服力不足．

在許多案例中，教師把學(xué)生提出問題的數(shù)量作為首選目標(biāo)，導(dǎo)致課堂滿堂問（細(xì)節(jié)性而繁多的變式問題），沒有幫助學(xué)生從宏觀上基于單元提出研究主題，沒有把問題提出與問題研究與解決很好地融合起來．如果說，小學(xué)階段可以通過變式提問實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的多元理解，改進(jìn)學(xué)習(xí)，到了初中高中，這種基于細(xì)節(jié)的繁多提問會(huì)干擾學(xué)生的學(xué)習(xí)．

開展問題提出和解決教學(xué)，首先要引導(dǎo)學(xué)生提出和解決高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題．美國(guó)很多學(xué)者對(duì)提出的問題進(jìn)行了不同的分類，雖然涉及到提出問題的流暢性、延展性、獨(dú)創(chuàng)性[18]，蔡金法給出了“不好”的問題3個(gè)現(xiàn)象——“非數(shù)學(xué)、不可解和不相關(guān)”，但是還沒有明確判斷問題好壞的一般標(biāo)準(zhǔn)．事實(shí)上，“不好的問題”反面，即“數(shù)學(xué)的、可解的、相關(guān)的”是“好”的問題的基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)上看，什么是“好”的問題？陳省身先生說過，一個(gè)好的數(shù)學(xué)家要知道什么叫好的數(shù)學(xué)，什么是不好或不太好的數(shù)學(xué)，有的數(shù)學(xué)是具有開創(chuàng)性的，有發(fā)展的，這就是好的數(shù)學(xué)；有些數(shù)學(xué)也蠻有意思，但漸漸變成游戲了[19]．這說明，“發(fā)展性”是數(shù)學(xué)好問題的核心特征．此外，學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于課程內(nèi)容的，需要達(dá)成課程目標(biāo)的，“與課程內(nèi)容及目標(biāo)的契合性”也應(yīng)該是好問題的主要特征之一（這里實(shí)際上把蔡金法提出的“相關(guān)性”特征進(jìn)行了進(jìn)一步的可操作性的細(xì)化描述）．因此，研究者將高價(jià)值的問題界定為具有“發(fā)展性，可解性，與課程內(nèi)容及目標(biāo)的契合性”3個(gè)特征的數(shù)學(xué)問題．問題的發(fā)展性指的是提出的問題具有創(chuàng)新性和內(nèi)生性，能生成一系列新問題；問題的可解性指的是提出的問題在學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)是可解的；與課程內(nèi)容及目標(biāo)的契合性指的是，提出的問題反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，反映相關(guān)課程的核心內(nèi)容，有利于達(dá)成當(dāng)前內(nèi)容的課程目標(biāo)．雖然創(chuàng)新性和情境性也是高價(jià)值問題的重要特征，但是在平時(shí)課堂中是體現(xiàn)在“發(fā)展性”中的．盡管依據(jù)課程內(nèi)容進(jìn)行的提出問題教學(xué)中，學(xué)生提出的是課本上的問題，但是對(duì)學(xué)生來說，如果是新穎的，這樣的問題也是他的拓展和創(chuàng)新，問題既可以從現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)和提出，也可以基于數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的邏輯來提出．

其次，開展問題提出和解決教學(xué)，還要有促進(jìn)學(xué)生提出高價(jià)值數(shù)學(xué)問題的切實(shí)有效的教學(xué)策略和方法．學(xué)生提出問題需要經(jīng)驗(yàn)支撐，是具有領(lǐng)域特殊性的，需要基于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)研究進(jìn)行，從具體研究過程中形成“怎樣研究一類對(duì)象”的大觀念（Big Ides），引領(lǐng)學(xué)生有序地提出高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，這與Contreras（2003）提出的“通過例題講授提出問題的一般方法”觀點(diǎn)一脈相承，也與李懷軍、張維忠提出的“以學(xué)科大概念為中心選擇主題內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生提出和解決問題”的觀點(diǎn)一致[20]．

數(shù)學(xué)問題提出，本質(zhì)上是提出對(duì)事物的本質(zhì)屬性、普遍聯(lián)系和一般規(guī)律的疑問，通過數(shù)學(xué)抽象實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，引入研究對(duì)象，明確研究?jī)?nèi)容和研究目標(biāo)，是對(duì)“在一定條件下能得到事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的哪些屬性、關(guān)系和規(guī)律”的問題表述．在提出數(shù)學(xué)問題的過程中，需要對(duì)情境中對(duì)象及其關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化抽象和邏輯推理，這需要直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵能力的支撐，它是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)；同時(shí)也是引發(fā)這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相關(guān)活動(dòng)的起點(diǎn)．因此，開展提出問題和解決問題活動(dòng)，對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，有著重要的作用．

研究者以等腰三角形內(nèi)容為主題，用數(shù)學(xué)學(xué)科大觀念整合各種問題提出教學(xué)方法進(jìn)行研究性單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，用下面3個(gè)策略引導(dǎo)學(xué)生提出并解決高價(jià)值的問題系列：（1）用學(xué)科大觀念引領(lǐng)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生通過類比和聯(lián)想提出主問題；（2）運(yùn)用“類比，強(qiáng)化/弱化條件，強(qiáng)化/弱化結(jié)論，一般化，特殊化，反向思考”等策略引導(dǎo)學(xué)生從主問題中逐步分化出子問題系列，把總目標(biāo)分解為一系列可達(dá)成的子目標(biāo)，最終達(dá)成總目標(biāo)，解決主問題；（3）通過對(duì)問題及其提出和解決過程的反思質(zhì)疑和類比提出新問題，這與元認(rèn)知相關(guān)．通過教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，基于數(shù)據(jù)分析，考察這些教學(xué)策略能否促進(jìn)學(xué)生提出和解決特殊三角形內(nèi)容中新的高價(jià)值問題．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 概念界定

2.1.1 “問題提出”

要在具體內(nèi)容中實(shí)施“問題提出”教學(xué)，明確“在教育意義上什么是問題提出”是基礎(chǔ)性的．在數(shù)學(xué)教育中，問題的提出指的是師生為了教學(xué)和學(xué)習(xí)目的而提出數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)，Cai和Hwang（2019）就數(shù)學(xué)問題提出從教師的角度和學(xué)生的角度做了全面的界定[21]，將“問題提出”定義為“師生基于特定情境（問題情境）形成（或再形成）和表達(dá)問題（或任務(wù)）的活動(dòng)”，并將教師問題提出分解為5種特定的智力活動(dòng)：（1）教師自己根據(jù)給定的情境提出數(shù)學(xué)問題；（2）教師預(yù)測(cè)學(xué)生根據(jù)給定的情境可能提出的問題種類；（3）教師通過改變現(xiàn)有的問題來提出問題；（4）教師為學(xué)生設(shè)定能夠提出問題的數(shù)學(xué)情境；（5）教師為學(xué)生提出可解決的數(shù)學(xué)問題．

2.1.2 幾何圖形研究的大觀念

研究表明，專家在解決問題時(shí)，具備了圍繞核心概念和原理的高度結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，而組織這種結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系的頂層組織結(jié)構(gòu)、思想和觀念稱之為大觀念，這種大觀念有力地支撐了專家比新手具有更強(qiáng)大的提出問題和解決問題能力[22]．幾何大觀念指的是：融合空間視覺和用語言符號(hào)表達(dá)的邏輯推理研究幾何圖形的屬性及其關(guān)系，獲得對(duì)空間本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí)．具體體現(xiàn)為：如何研究一類圖形及其關(guān)系的基本路徑、內(nèi)容和思想方法，比如如何通過抽象獲得研究對(duì)象（從分析典型圖形的構(gòu)成要素及其關(guān)系入手），概念的定義方式（名義定義、發(fā)生式定義、屬加種差定義等，它是確定圖形的充分必要條件），幾何圖形的性質(zhì)指的是什么（確定圖形的必要條件——要素及相關(guān)要素各自及相互之間的穩(wěn)定關(guān)系），判定是什么（確定圖形的充分條件——要素之間的關(guān)系），用什么路徑和方法（如抽象的思想、推理的思想、變換思想，定性研究與定量研究相結(jié)合的思想）研究等[23]．幾何圖形研究的一般觀念也體現(xiàn)在問題提出的層次性和系統(tǒng)性上：首先基于整體情境產(chǎn)生頂層目標(biāo)，提出主問題；再根據(jù)研究思路逐步推進(jìn)分化出指向總目標(biāo)的子目標(biāo)體系，從主問題出發(fā)提出層次清晰、指向主問題的子問題系列，通過總結(jié)、反思和質(zhì)疑，提出新的、深層次的問題．

2.2 研究假設(shè)

在等腰三角形單元教學(xué)中，用幾何圖形研究大觀念引領(lǐng)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生通過類比聯(lián)想提出主問題；在圖形特例研究的一般思路和圖形變換思想引領(lǐng)下，運(yùn)用“類比、強(qiáng)化/弱化條件、強(qiáng)化/弱化結(jié)論、一般化、特殊化、反向思考”等策略引導(dǎo)學(xué)生從主問題中逐步分化出子問題系列，并解決主問題；通過對(duì)問題及其提出和解決過程的反思質(zhì)疑和類比提出新的研究問題．通過這樣的教學(xué)，可以有效促進(jìn)學(xué)生提出和解決高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題．

2.3 樣本與變量

選擇城區(qū)和農(nóng)村有代表性的兩所初級(jí)中學(xué)作為實(shí)驗(yàn)學(xué)校，城區(qū)學(xué)校是某縣城典型的大型普通初中，生源較好，農(nóng)村學(xué)校是另一個(gè)縣的大型普通農(nóng)村初中，學(xué)生水平中等．在城區(qū)初中選擇4個(gè)班級(jí)（共187人，其中男101人，女86人），兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班（95人，男49人，女46人），兩個(gè)控制班（91人，男52人，女40人）；農(nóng)村初中選擇兩個(gè)班級(jí)共130人（男73人，女55人），一個(gè)班級(jí)為實(shí)驗(yàn)班（67人，男40人，女27人），另一個(gè)班級(jí)為控制班（63人，男33人，女30人），共選取樣本317人．前兩章（三角形和全等三角形）章測(cè)試成績(jī)都沒有顯著性差異（>0.05）．實(shí)驗(yàn)班和控制班由同一位教師執(zhí)教（教齡10年以上的優(yōu)秀教師），教學(xué)實(shí)驗(yàn)前對(duì)實(shí)驗(yàn)教師進(jìn)行為期1天的培訓(xùn)，實(shí)驗(yàn)過程通過互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行伴隨指導(dǎo)．通過這些措施，控制學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)基礎(chǔ)變量和教師專業(yè)水平變量對(duì)教學(xué)效果的影響．著重分析實(shí)施這些教學(xué)策略對(duì)學(xué)生提出和解決高價(jià)值數(shù)學(xué)問題水平的影響．

2.4 教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)

2.4.1 教學(xué)的內(nèi)容

教學(xué)內(nèi)容是人民教育出版社課程標(biāo)準(zhǔn)教科書（2012版）第13章第三單元“等腰三角形”．

2.4.2 控制班教學(xué)方案

控制班根據(jù)教材的規(guī)定進(jìn)行常規(guī)教學(xué)．進(jìn)行基于知識(shí)點(diǎn)的講解式教學(xué)，第一課時(shí)為等腰三角形的性質(zhì)，第二課時(shí)為等腰三角形的判定，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，講解例題，進(jìn)行配套練習(xí)和作業(yè)，習(xí)題課1課時(shí)，共3課時(shí)．

2.4.3 實(shí)驗(yàn)班教學(xué)方案

采用前文提出的教學(xué)策略進(jìn)行單元整體教學(xué)．回顧與復(fù)習(xí)1課時(shí)，等腰三角形整體研究1課時(shí)，習(xí)題課1課時(shí)，共3課時(shí)．設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的邏輯情境和現(xiàn)實(shí)情境，基于三角形研究的路徑、內(nèi)容和方法引導(dǎo)學(xué)生類比直角三角形提出“研究等腰三角形”這一主問題．教師再依據(jù)幾何圖形研究的大觀念引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃研究路徑，根據(jù)研究路徑分化出子目標(biāo)，提出子問題系列，逐步解決主問題．然后，反思和總結(jié)問題解決的思想與方法，形成經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問題提出和解決過程進(jìn)行整體評(píng)價(jià)質(zhì)疑，提出新問題．基于已有問題提出新問題的過程中采用Moore-Russo和Weiss的基于已有問題提出新問題的策略，通過類比、圖形的特殊化和一般化、反向思考（從性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)提出判定的問題）等方法提出子問題系列，通過這些子問題的解決最終系統(tǒng)地解決主問題：“怎樣研究等腰三角形？能得到哪些研究結(jié)論？”在解決了這一主問題后，基于研究過程的反思和總結(jié)，可以進(jìn)一步提出等邊三角形和等腰直角三角形（通過特殊化）、含有30°角的直角三角形（通過分割和類比）及不等邊三角形（通過一般化）等研究問題．這些將作為評(píng)估學(xué)生提出和解決高價(jià)值問題能力問卷調(diào)查中的主要任務(wù)．等腰三角形的研究思路如圖1所示，教學(xué)過程中問題提出過程如圖2表示．

圖1 等腰三角形研究思路

圖2 等腰三角形教學(xué)中問題提出和解決活動(dòng)過程

2.4.3 實(shí)驗(yàn)班教學(xué)過程

*預(yù)備教學(xué)

總結(jié)“三角形”“全等三角形”兩章內(nèi)容的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，比如：如何引入研究對(duì)象（從現(xiàn)實(shí)情境中引入三角形和全等三角形）；從哪些角度定義三角形和全等三角形的（從三角形的邊、角基本元素關(guān)系角度給出充分必要條件）；從哪些角度研究性質(zhì)（從三角形的邊、角這些基本元素和中線、高線和角平分線等相關(guān)元素的關(guān)系角度探索其不變性）；怎樣研究三角形全等的判定條件（從三角形的基本元素和相關(guān)元素關(guān)系出發(fā)，尋找能判定三角形全等的充分條件）；按照什么路徑研究三角形的：給出定義—研究性質(zhì)—研究關(guān)系—研究特例（教科書中安排了對(duì)直角三角形兩銳角關(guān)系的研究，研究的路徑是：給出定義—研究性質(zhì)—研究判定）．設(shè)計(jì)這一預(yù)備學(xué)習(xí)活動(dòng)的目的是通過復(fù)習(xí)回顧形成“研究一類幾何圖形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成幾何圖形研究的大觀念．

*實(shí)施正式教學(xué)活動(dòng)

（1）提出主問題．教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)情境，運(yùn)用適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)語引導(dǎo)學(xué)生引入等腰三角形，提出主問題：研究等腰三角形的空間結(jié)構(gòu)特征．

教師：前面我們?cè)谘芯咳切蔚幕拘再|(zhì)中，研究了直角三角形這種幾何圖形，你認(rèn)為它是由一般的三角形怎樣特殊化得到的？類似地，你能提出需要研究的、新的、特殊的三角形嗎？

學(xué)生：

問題1：研究有一個(gè)角為60°的三角形（三角形內(nèi)角的特殊化）；

問題2：研究有一個(gè)角為45°的三角形（三角形內(nèi)角的特殊化）；

問題3：研究?jī)蛇呄嗟鹊娜切危ㄈ切芜叺拇笮￡P(guān)系的特殊化）；

……

教師評(píng)價(jià)啟發(fā)：在提出的特殊三角形中，兩邊相等的三角形在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)得比較多（展示生活中等腰三角形形象的圖片），因此，首先來研究等腰三角形．

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)情境，在圖形特例研究大觀念引領(lǐng)下，通過特殊化和類比引入研究對(duì)象．

（2）明確研究目標(biāo)．教師運(yùn)用適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)語引導(dǎo)學(xué)生分析主問題中的研究對(duì)象的構(gòu)成（或決定）要素和相關(guān)要素，提出從哪些方面研究主問題．

教師：要研究等腰三角形，你覺得要研究哪些內(nèi)容？可以類比前面直角三角形和全等三角形來提出要研究的問題．

學(xué)生：

問題1 什么是等腰三角形，等腰三角形有哪些性質(zhì)？怎樣判定？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧等腰三角形的定義，介紹頂角、腰、底邊等概念．并進(jìn)一步提出研究等腰三角形性質(zhì)和判定問題．

問題2 研究等腰三角形的性質(zhì)，性質(zhì)指的是什么？

問題3 研究等腰三角形的判定，判定指的是什么？

教師評(píng)價(jià)總結(jié)：對(duì)于一類幾何圖形，明確定義、研究基本性質(zhì)和判定，是研究的基本內(nèi)容．主要從邊、角等基本要素以及中線、高線和角平分線等相關(guān)要素研究．

設(shè)計(jì)意圖：通過等腰三角形的要素分析，明確研究?jī)?nèi)容和目標(biāo)，提出研究的主問題．

（3）規(guī)劃研究路徑．教師通過指導(dǎo)語引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃研究的思路和基本方向．

教師：要用推理的方法研究等腰三角形的性質(zhì)和判定，類比直角三角形，你能從研究方案的角度提出哪些問題？

學(xué)生：

問題1 從哪里出發(fā)研究性質(zhì)和判定？——從定義出發(fā)，即從“三角形的兩邊相等”這個(gè)條件出發(fā)．

問題2 研究的思路是什么？定義—性質(zhì)—判定．

教師評(píng)價(jià)啟發(fā)：下面，從定義出發(fā)，從邊、角等基本要素和中線、高線、角平分線等角度研究它們各自的關(guān)系，得到三角形的性質(zhì)．

設(shè)計(jì)意圖：通過類比提出怎樣研究的問題，規(guī)劃研究的思路．

（4）建構(gòu)等腰三角形性質(zhì)研究的子問題系統(tǒng)．教師通過指導(dǎo)語引導(dǎo)學(xué)生提出性質(zhì)研究的子問題并加以解決．

教師：從等腰三角形的兩邊相等這一條件出發(fā)，要研究性質(zhì)，你能提出哪些問題？

學(xué)生：

問題1 邊有什么性質(zhì)？

教師評(píng)價(jià)：這是定義．那么，除此以外還能提出哪些研究問題？

學(xué)生：

問題2 角有什么性質(zhì)？

問題3 中線、高線、內(nèi)角平分線有什么性質(zhì)？

教師評(píng)價(jià)啟發(fā)：大家能提出這些性質(zhì)的猜想嗎？是怎樣發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)的？

學(xué)生活動(dòng)：

用測(cè)量、觀察和對(duì)折實(shí)驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等，頂角的平分線、底邊上的中線和高線重合，兩腰上的中線、高線及兩底角的平分線長(zhǎng)相等，等等．

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步通過質(zhì)疑直觀發(fā)現(xiàn)的可靠性，提出問題4：為了確定猜想是否正確，需要證明．怎樣證明這些猜想？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一步提出派生性問題：

證明幾何命題的步驟有哪些？已知條件是什么？結(jié)論是什么？

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立地證明猜想，寫出已知、求證和證明，進(jìn)行證明過程的交流和質(zhì)疑，并進(jìn)一步證明等腰三角形的軸對(duì)稱性，理解等腰三角形的性質(zhì)是它的軸對(duì)稱性在它的構(gòu)成要素、相關(guān)要素上的反映．

設(shè)計(jì)意圖：在圖形研究的大觀念引領(lǐng)下，理解圖形的性質(zhì)指的是什么，提出性質(zhì)的研究問題；通過直觀觀察、想象、歸納的方法提出性質(zhì)猜想，通過演繹推理證明猜想，得到性質(zhì)．從而解決性質(zhì)研究的主問題．

（5）構(gòu)建等腰三角形判定研究的子問題系統(tǒng)．教師引導(dǎo)學(xué)生類比直角三角形研究，依據(jù)研究思路，提出等腰三角形判定的子問題，并逐一加以解決．

教師：研究等腰三角形的判定，要解決哪些問題？

學(xué)生：

問題1 什么是等腰三角形的判定？滿足什么條件的三角形是等腰三角形？

問題2 可以從哪些方面提出等腰三角形的判定？

問題3 可能有哪些判定？

教師啟發(fā)：能從三角形的構(gòu)成要素和相關(guān)要素出發(fā)，找到可以判定三角形兩邊相等的最少條件嗎（從角的關(guān)系找，從中線、高線和內(nèi)角平分線關(guān)系找）？

學(xué)生活動(dòng)：通過類比直角三角形的研究，指出從角、中線、高線、角平分線角度通過考察性質(zhì)定理的逆命題提出判定猜想：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；一邊上的中線、高線和其對(duì)角平分線中有兩條重合的三角形是等腰三角形（學(xué)生可能提出“三線合一”條件，教師引導(dǎo)減少條件得到這個(gè)猜想）．

教師啟發(fā)：先從等腰三角形的基本要素邊和角的角度研究其判定，在得到等腰三角形判定的猜想后還需要做什么？

學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立證明提出的判定猜想，畫出圖形，寫出已知、求證及證明過程，進(jìn)行交流與質(zhì)疑．

教師啟發(fā)：現(xiàn)在來研究從三角形的相關(guān)元素關(guān)系出發(fā)研究等腰三角形的判定．

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分組研究，提出猜想，給出證明．

設(shè)計(jì)意圖：在圖形研究的大觀念引領(lǐng)下，理解圖形特例的判定指的是什么，提出判定的研究問題；通過對(duì)性質(zhì)定理的逆向思考，從考察其逆命題中提出判定的猜想．并通過演繹推理證明猜想，解決判定研究的子問題．

（5）引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)．教師在等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定等探究環(huán)節(jié)結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地進(jìn)行反思總結(jié)．

定義環(huán)節(jié)總結(jié)：

教師：得到了等腰三角形的定義，能總結(jié)一下是怎么得到的嗎？

學(xué)生：類比直角三角形定義，從邊的大小關(guān)系的特殊化得到的．

性質(zhì)研究環(huán)節(jié)總結(jié)：

教師：等腰三角形的性質(zhì)的條件和結(jié)論分別是什么？能總結(jié)你的研究過程嗎？從哪些方面總結(jié)？

學(xué)生：等腰三角形性質(zhì)的條件是“兩邊相等”，結(jié)論是“這兩邊所對(duì)的內(nèi)角相等，底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，這些性質(zhì)是等腰三角形的軸對(duì)稱性在等腰三角形的構(gòu)成要素和相關(guān)要素上的反映，是通過觀察、歸納提出猜想，再證明的方法研究的．

判定環(huán)節(jié)總結(jié)：

教師：等腰三角形判定的條件和結(jié)論分別是什么？能總結(jié)你的研究過程嗎？從哪些方面總結(jié)？你能總結(jié)等腰三角形的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法嗎？

學(xué)生：

等腰三角形判定的條件是“兩個(gè)角相等”結(jié)論是“等角所對(duì)的邊相等”；條件是“一邊上的中線、高線與它的對(duì)角的平分線中有兩條重合”結(jié)論是“其余兩邊相等”．

等腰三角形的研究思路是：定義—性質(zhì)—判定．

等腰三角形的研究?jī)?nèi)容是：性質(zhì)和判定；從邊、角和“三線”角度考慮．

研究方法是：通過直觀觀察和歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提出猜想，證明猜想；交換性質(zhì)定理的條件與結(jié)論位置，提出判定猜想．一般到特殊的思想，軸對(duì)稱變換思想、類比的思想．

在等腰三角形研究整體完成后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)研究過程及知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖3．

圖3 等腰三角形研究活動(dòng)總結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：通過分階段的反思總結(jié)，進(jìn)一步提煉圖形特例的研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知，為后繼學(xué)習(xí)提供可遷移的問題提出和解決活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

2.5 數(shù)據(jù)分析方法

2.5.1 設(shè)計(jì)前后測(cè)訪談?lì)}目

為了檢驗(yàn)這種教學(xué)方法能否促進(jìn)學(xué)生在特殊三角形研究領(lǐng)域提出和解決高價(jià)值的問題，設(shè)計(jì)教學(xué)前后的兩次書面訪談任務(wù)作為評(píng)價(jià)工具．在等腰三角形內(nèi)容教學(xué)前，安排一次前置性訪談I，在等腰三角形內(nèi)容教學(xué)后，安排教學(xué)后訪談Ⅱ．兩次訪談時(shí)間均為60分鐘．

訪談I：類比直角三角形，你能通過特殊化提出新的特殊三角形進(jìn)行研究嗎？請(qǐng)你把三角形特殊化后得到盡可能多的新三角形，提出研究問題，選擇一類特殊的三角形進(jìn)行研究，寫出研究報(bào)告．

訪談Ⅱ：類比直角三角形和等腰三角形，你能發(fā)現(xiàn)新的特殊三角形嗎？請(qǐng)寫出盡可能多的新三角形，畫出圖形，提出研究問題，選擇一類特殊三角形進(jìn)行研究，寫出研究報(bào)告．

2.5.2 訪談結(jié)果的數(shù)字化編碼方案

收集學(xué)生提出的問題及其解決過程，進(jìn)行數(shù)字化編碼（方案事前由研究者設(shè)計(jì)，編碼由非實(shí)驗(yàn)教師實(shí)施），在數(shù)字化編碼的基礎(chǔ)上，用SPSS20.0分析前后訪談的相關(guān)性和均值差異．

提出問題成績(jī)從提出問題的數(shù)量和質(zhì)量?jī)煞矫孢M(jìn)行賦分編碼，編碼的具體方案為：根據(jù)提出符合前文提出的高價(jià)值特征的問題數(shù)量，每個(gè)問題記1分，提出有創(chuàng)新性的主問題每個(gè)問題加1分．如在訪談I中提出含45o角的直角三角形研究問題，含有30o的直角三角形等研究問題，含有60o角的直角三角形研究問題，都計(jì)1分．如果提出含有50o角的直角三角形，由于在學(xué)生認(rèn)知水平上不可解，則不得分．如果是提出兩銳角互余的三角形研究問題，由于實(shí)質(zhì)上是直角三角形研究問題，缺乏發(fā)展性，則不得分．如果提出等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形等問題，因?yàn)閺男碌奶厥饣嵌忍岢鰡栴}，具有創(chuàng)新性和發(fā)展性，每個(gè)問題記2分．在訪談Ⅱ中，如果提出等邊三角形的研究問題得1分，提出等腰直角三角形（或含有45o角的直角三角形）研究問題得2分（因?yàn)橥瑫r(shí)考慮了邊的特殊化和角的特殊化），提出含有30o的等腰三角形得1分，如果提出不等邊三角形的研究問題得2分，等等．由于提出問題訪談具有開放性，采用按照學(xué)生實(shí)際提出問題的數(shù)量和質(zhì)量編碼方法，不設(shè)總分限制．

解決問題的成績(jī)包含定義、性質(zhì)、判定的數(shù)學(xué)表達(dá)的全面性、準(zhǔn)確性，以及推理過程的邏輯性．具體編碼方案為：定義0～2分，定義準(zhǔn)確2分，基本準(zhǔn)確1分，不準(zhǔn)確0分；性質(zhì)0～4分，準(zhǔn)確描述性質(zhì)2分，不夠準(zhǔn)確1分，不相關(guān)0分，證明過程按照嚴(yán)謹(jǐn)性給0～2分；判定0～4分，準(zhǔn)確表述2分，不夠準(zhǔn)確1分，不相關(guān)0分，證明過程根據(jù)其嚴(yán)謹(jǐn)性給0～2分；提出與教科書不一樣的性質(zhì)和判定加1分，能給出正確證明的，再加3分．滿分14分．

2.5.3 數(shù)據(jù)分析方法

首先用SPSS20.0進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)，分析317位學(xué)生的前后測(cè)成績(jī)相關(guān)性，問題提出的前后測(cè)及問題解決的前后測(cè)均在0.01水平上顯著相關(guān)，具有較好的信度．在此基礎(chǔ)上，采用SPSS20.0對(duì)實(shí)驗(yàn)樣本和控制樣本的問題提出成績(jī)?cè)隽亢蛦栴}解決成績(jī)?cè)隽康木颠M(jìn)行獨(dú)立樣本檢驗(yàn)分析，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算效應(yīng)量值（ES Cohen’s），

分析實(shí)驗(yàn)樣本與控制樣本在提出和解決問題成績(jī)?cè)隽恐g差異，其中的值為0.2以上，0.5以上，0.8以上分別對(duì)應(yīng)著小、中、大的效應(yīng)．

3 研究結(jié)果

用SPSS20.0分析城區(qū)學(xué)校及農(nóng)村學(xué)校的前測(cè)成績(jī)，發(fā)現(xiàn)問題提出與問題解決成績(jī)均沒有顯著性差異（>0.1）.再計(jì)算問題提出和問題解決的成績(jī)?cè)隽浚ê鬁y(cè)成績(jī)—前測(cè)成績(jī)），用SPSS20.0進(jìn)行獨(dú)立樣本檢驗(yàn)，城區(qū)組結(jié)果如表1、表2，農(nóng)村組結(jié)果如表3、表4．

表1 城區(qū)學(xué)校成績(jī)?cè)隽拷M統(tǒng)計(jì)量

表2 城區(qū)學(xué)校成績(jī)?cè)隽开?dú)立樣本檢驗(yàn)

表3 農(nóng)村學(xué)校成績(jī)?cè)隽拷M統(tǒng)計(jì)量

表4 農(nóng)村學(xué)校成績(jī)?cè)隽开?dú)立樣本檢驗(yàn)

由表1、表2可知，城區(qū)學(xué)校中，實(shí)驗(yàn)樣本的在特殊三角形研究領(lǐng)域中問題提出和問題解決成績(jī)提升增量顯著地好于控制樣本（<0.05）．由表3、表4可知，在農(nóng)村學(xué)校，實(shí)驗(yàn)樣本的在特殊三角形研究領(lǐng)域中問題提出和問題解決成績(jī)提升增量顯著地好于控制樣本（<0.05）．

進(jìn)一步計(jì)算Cohen’s進(jìn)行效應(yīng)量（）檢驗(yàn)，問題提出的增量值和問題解決的增量值Cohen’s計(jì)算結(jié)果如表5、表6．

問題提出增量中，城區(qū)實(shí)驗(yàn)樣本與控制樣本的值為0.56，說明這些教學(xué)策略取得中效果，農(nóng)村實(shí)驗(yàn)樣本和控制樣本值0.81，說明這些教學(xué)策略取得大效果．問題解決增量中，城區(qū)實(shí)驗(yàn)樣本與城區(qū)控制樣本值為0.65，農(nóng)村實(shí)驗(yàn)樣本與農(nóng)村控制樣本的值為0.54，說明這些教學(xué)策略取得中效果．

表5 問題提出增量Cohen’s d計(jì)算

表6 問題解決增量Cohen’s d計(jì)算

4 研究結(jié)果的討論

上述數(shù)據(jù)分析顯示，通過研究提出的問題提出和解決教學(xué)策略組織教學(xué)，可以顯著促進(jìn)學(xué)生提出和解決有價(jià)值的問題．產(chǎn)生這種效應(yīng)的原因如下．

第一，根據(jù)Cifarelli和Cai（2005）的問題提出和問題解決認(rèn)知循環(huán)發(fā)展理論設(shè)計(jì)問題提出和問題解決相融合的教學(xué)宏觀結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生完整經(jīng)歷了問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決過程，可以幫助學(xué)生更深刻地理解問題提出與問題解決的關(guān)系，學(xué)會(huì)從反思和總結(jié)已有問題提出和解決過程中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，有利于提出和解決新的有價(jià)值的問題．通過給學(xué)生創(chuàng)造提出問題和解決問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在問題提出和解決實(shí)踐中形成問題意識(shí)，形成問題提出和解決的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

第二，在等腰三角形的教學(xué)過程中，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)、判定的研究過程，基于幾何圖形的直觀想象進(jìn)行概念的形成、性質(zhì)和判定的語言概括并通過邏輯推理建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程，這符合幾何推理能力發(fā)展基于視覺空間與語言符號(hào)推理相結(jié)合的認(rèn)知原理【Duval（2017）[24]，Tall D，等（2012）[25]】，可以比較有效地提高學(xué)生的幾何推理能力，支撐了等腰三角形研究中幾何問題解決活動(dòng)．

第三，在等腰三角形的研究中，引導(dǎo)學(xué)生通過類比提出新的研究問題，發(fā)展等腰三角形的知識(shí)內(nèi)容，通過子問題系列細(xì)化等腰三角形研究，形成有序分級(jí)的問題系統(tǒng)，這符合English（1997）提出的發(fā)展學(xué)生“創(chuàng)造新問題，發(fā)展新內(nèi)容和拓展問題結(jié)構(gòu)”能力的提出和解決問題能力的訓(xùn)練框架，有利于學(xué)生提出和解決問題能力的發(fā)展．

第四，對(duì)三角形與全等三角形的回顧與復(fù)習(xí)是用幾何圖形研究的大觀念指導(dǎo)的，這種大觀念可以讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)組織幾何知識(shí)及問題提出和解決的“幾何直觀和語言符號(hào)表達(dá)的邏輯推理相結(jié)合”的頂層觀念，引導(dǎo)學(xué)生從研究對(duì)象的引入和定義、研究思路的規(guī)劃、研究?jī)?nèi)容的確定、研究方法的總結(jié)等諸方面對(duì)已有的三角形及直角三角形研究過程進(jìn)行整體回顧和整理，獲得一類幾何圖形及其特例研究的大觀念，這種通過復(fù)習(xí)活動(dòng)獲得的幾何特殊圖形研究大觀念，為學(xué)生引入新的特殊三角形，提出主問題，提出和解決子問題，最終解決主問題提供了思考的方向標(biāo)和導(dǎo)航框架．

第五，等腰三角形研究主問題提出過程中，實(shí)際上以從一般三角形到直角三角形的特殊化為參照，采用了Kilpatrick（1987）提出的類比策略及Moore-Russo和Weiss （2011）提出的基于已有問題提出新問題的特殊化變式提問方法，類比直角三角形進(jìn)行，這也為在等腰三角形研究經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上通過特殊化引入新的特殊三角形，提出新問題提供了經(jīng)驗(yàn)支撐．

正是由于上述原因，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生能提出新的一類特殊三角形的研究問題，在幾何特殊圖形研究的大觀念引領(lǐng)下，進(jìn)行系統(tǒng)的研究，解決新問題，寫出研究報(bào)告．由于控制班采用了基于知識(shí)點(diǎn)的碎片化教學(xué)，沒有提供提出問題、進(jìn)行系統(tǒng)研究并最終解決問題等活動(dòng)機(jī)會(huì)，也沒有幾何特殊圖形研究大觀念的指導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)“沒有具體題目”情境時(shí)，束手無策，不知道朝著什么方向思考．

5 研究的意義和局限

5.1 研究的意義

首先，研究根據(jù)問題提出教學(xué)的相關(guān)理論，通過教學(xué)實(shí)踐再次驗(yàn)證了Cifarelli和Cai的問題提出和解決交替融合策略的可行性和有效性及Kilpatrick、Silver、Moore-Russo和Weiss、English等人提出的問題提出教學(xué)策略的有效性．

其次，研究提出了用幾何圖形研究的大觀念作為學(xué)生提出和解決問題的方向標(biāo)和導(dǎo)航框架，基于單元內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)整體設(shè)計(jì)，綜合運(yùn)用各種促進(jìn)學(xué)生提出問題的策略和方法，為學(xué)生提出和解決高價(jià)值的問題提供了方法論上的支撐，能有效促進(jìn)學(xué)生在反思總結(jié)的基礎(chǔ)上通過類比和特殊化進(jìn)一步提出新的特殊三角形的研究問題，并能進(jìn)行系統(tǒng)研究．這是研究的創(chuàng)新點(diǎn)，也可以作為問題提出和解決的新策略應(yīng)用在今后在課堂中，引導(dǎo)學(xué)生提出高價(jià)值的問題并加以系統(tǒng)研究與解決．

研究提出的“高價(jià)值數(shù)學(xué)問題”的特征是“發(fā)展性、可解性、與數(shù)學(xué)內(nèi)容及其學(xué)習(xí)目標(biāo)的契合性”，這一觀點(diǎn)可以為判斷教師和學(xué)生提出問題的價(jià)值提供一種參照．

最后，研究為等腰三角形內(nèi)容的問題提出教學(xué)提供了一個(gè)典型的教學(xué)案例，而且這一案例的教學(xué)效果具有實(shí)證數(shù)據(jù)的證據(jù)支撐．

5.2 局限和展望

雖然研究者考慮到了中國(guó)的城鄉(xiāng)學(xué)校二元差異，分別從城區(qū)和農(nóng)村選擇了有代表性的初中學(xué)校，對(duì)317名學(xué)生，6個(gè)班級(jí)（城區(qū)4個(gè)班級(jí)，農(nóng)村2個(gè)班級(jí)）進(jìn)行教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，但研究過程并沒不包括農(nóng)村偏遠(yuǎn)學(xué)校，今后需要進(jìn)一步研究偏遠(yuǎn)地區(qū)學(xué)校是否適合這種問題提出教學(xué)；其次，總體上學(xué)生提出問題的水平還不夠高，可能需要長(zhǎng)期堅(jiān)持這種教學(xué)方法才能產(chǎn)生更好的總體效果；第三，大觀念對(duì)數(shù)學(xué)問題的提出起到了很好的導(dǎo)航作用，但這種專家具有的一般觀念是分領(lǐng)域的，今后需要根據(jù)不同的內(nèi)容進(jìn)行分別研究并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐驗(yàn)證；第四，研究通過綜合應(yīng)用問題提出的相關(guān)理論和幾何圖形研究的大觀念進(jìn)行問題提出教學(xué)研究，影響教學(xué)效果的因素可能既有給學(xué)生提供問題提出和解決機(jī)會(huì)的作用，同時(shí)還有數(shù)學(xué)大觀念的引領(lǐng)作用，今后需要深入研究這些要素各起到什么作用.

6 研究結(jié)論

研究表明，以等腰三角形單元內(nèi)容為主題，用“怎樣研究一類幾何圖形”的大觀念為引領(lǐng)，采用單元整體教學(xué)，綜合應(yīng)用Cifarelli和Cai的問題提出和解決交替融合策略，Kilpatrick、Silver、Moore-Russo和Weiss、English等人提出的提出問題教學(xué)策略，能顯著提高學(xué)生提出和解決高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題的能力．這些教學(xué)策略在等腰三角形內(nèi)容中可以進(jìn)一步具體化為：用幾何圖形特例研究大觀念引領(lǐng)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生通過類比聯(lián)想提出主問題；在圖形特例研究整體思路和圖形變換思想引領(lǐng)下，運(yùn)用“類比、強(qiáng)化/弱化條件、強(qiáng)化/弱化結(jié)論、一般化、特殊化、反向思考”等策略引導(dǎo)學(xué)生從主問題中逐步分化出子問題系列，分步解決子問題，最終解決主問題；通過對(duì)問題解決過程的反思質(zhì)疑和類比提出新的研究問題．

研究不僅為這些已有的教學(xué)策略的有效性提供了有確定證據(jù)的教學(xué)實(shí)踐案例闡釋，而且，首次提出了“用數(shù)學(xué)大觀念整合各種問題提出教學(xué)方法進(jìn)行研究性單元整體教學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)思想，給出了3個(gè)具體的教學(xué)策略，并通過教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)其有效性．這為問題提出教學(xué)方法應(yīng)用于課堂教學(xué)實(shí)踐，提供了一條可行的新技術(shù)路線．

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How to Promote Students to Pose and Solve High-Value Mathematical Problems——A Comparative Experimental Study on Isosceles Triangle Unit Teaching

WU Zeng-sheng1, ZHENGYan-hong2, WU Hai-yan3, WANG Ze-feng4

(1. Education and Teaching Research Center of Xianju County, Zhejiang Taizhou 318000, China;2. Anzhou Middle School, Xianju County, Zhejiang Taizhou 317300, China;3. Xinsheng Middle School, Hengxi Town, Xianju County, Zhejiang Taizhou 317312, China;4. Chicheng Middle School, Tiantai County, Zhejiang Taizhou 317200, China)

In recent decades, the research on the teaching of problem posing has been fruitful. The theoretical framework of the cognitive relationship between problem posing and problem solving, the relationship between mathematics and students’ academic achievement, teaching strategies and teaching models has become increasingly mature. However, the case studies of teaching practice are not extensive and in-depth, especially the cases that use data to illustrate the teaching effect are few. Taking the content of the “Isosceles Triangle” unit of junior high school as an example, the study puts forward the teaching strategy of “l(fā)eading with big ideas, based on the holistic teaching design of the unit, integrating existing problem posing teaching methods, and promoting students to pose and solve high-value problems”. The samples were selected in typical urban schools and rural schools forthe comparative teaching experiment. The data were collected and analyzed with SPSS20.0 software, and further Effect Size (ES) analysis was conducted. The results show that this teaching strategy can significantly improve students’ ability to pose and solve high-value mathematical problems.

isosceles triangle; problem posing and solving; comparative teachingexperiment

G632.4

A

1004–9894（2022）01–0042–10

吳增生，鄭燕紅，吳海燕，等．怎樣促進(jìn)學(xué)生提出和解決高價(jià)值的數(shù)學(xué)問題——等腰三角形單元教學(xué)對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：42-51．

2021–10–01

人民教育出版社義務(wù)教育課標(biāo)教材《圖形與幾何》專題研究（KC2019-057）

吳增生（1962—），男，浙江仙居人，特級(jí)教師，正高級(jí)教師，浙江師范大學(xué)教育碩士導(dǎo)師，教育部第三批國(guó)培專家，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]